Применение алгоритмов при решении математических задач.

Применение алгоритмов при решении математических задач Любое   живое   существо,   а   тем   более   человек,   с   рождения   сталкивается   с непрерывно изменяющимся миром. Чтобы существовать в этом мире долго и успешно, нужно понимать, что произойдёт в следующую минуту. А поняв это, предпринять   действия,   которые   приведут   к   нужной   цели.   Ребёнок   учится достигать цели постепенно. Для этого он овладевает различными навыками. Сначала сидеть, ходить, говорить, читать и так далее. Приобретаемые   навыки   подразумевают   закладывание   различных   схем   для действий в различных ситуациях. Сами схемы и их выбор в зависимости от обстановки   является алгоритмом поведения.   Чем   сложнее   навыки,   тем более сложные алгоритмы они в себе содержат. Зная даже некоторые общие принципы, гораздо легче овладевать конкретными навыками.   Общими   принципами   для   всех   навыков   валяются базовые алгоритмы,   из   которых   строятся   схемы,   а   также   методы построения алгоритмов и   их свойства.   Например,   известный   факт,   что,   освоив   один иностранный язык, другой осваивать уже намного проще. Теперь можно ответить на многие вопросы, связанные с алгоритмическим мышлением.   Иногда   психологи   называют   его алгоритмический   стиль мышления. Такой   тип   мышления   очень   сильно   помогает   освоению   многих   знаний   и навыков, в том числе и школьных предметов. Способность мыслить точно, формально, если это нужно, становится одним из важных признаков общей культуры человека в современном высокотехнологизированном мире. Вот некоторые умения, которые требуется во многих сферах:      Разбиение общей задачи на подзадачи Умение планировать этапы и время своей деятельности Оценивать эффективность деятельности Искать информацию Перерабатывать и усваивать информацию Конечно, ещё Гёте заметил, что сущее не делится на разум без остатка. Но разум   очень  помогает   в  жизни.  Когда  говорят,  что  человек   умеет   думать, обычно, подразумевают развитое алгоритмическое мышление. Как развить алгоритмическое мышление? Как   и   всё,   что   требует   развития,   алгоритмическое   мышление   нужно тренировать.   Можно   тренировать   бессистемно,   например,   играя   в стратегические   игры.   Но   так   развитие   получается   однобокое.   Хуже   всего будет развито понимание свойств и ограничений. Выводы Современное   общество   требует   от   нового   поколения   умения   планировать свои   действия,   находить   необходимую   информацию   для   решения   задачи, моделировать   будущий   процесс.   развивающий алгоритмическое   мышление,   формирующий   соответствующий   стиль мышления, является важным и актуальным.   Поэтому   курс, Мышление — высшая ступень человеческого познания, процесс отражения  окружающего реального мира, основанный на двух принципиально различных  психофизиологических механизмах: образования и непрерывного пополнения  запаса понятий, представлений и вывода новых суждений и умозаключений.  Изучение основ алгоритмизации и программирования, физики и математики в  рамках среднего специального профессионального образования необходимо  для развития алгоритмического или процедурного мышления. Искусство составлять задачи требует особого мыслительного навыка ­  алгоритмического мышления, которым люди, как правило, изначально не  обладают. Обратим внимание, что это именно навык, т.е. доведённое до  автоматизма умение решать тот или иной вид задачи. Алгоритмическое мышление это система мыслительных действий и приемов,  направленных на решение теоретических и практических задач результатом  которых являются алгоритмы как специфические продукты человеческой  деятельности . Данный стиль мышления характеризуется точностью, определенностью,  формальностью и, как правило, связывается с теоретической деятельностью.  Он позволяет решать задачи, возникающие в любой сфере деятельности  человека, а не только в теоретической, например, в программировании или  математике, как традиционно считается. Алгоритмическое мышление не  связано лишь с вычислительной техникой, так как само понятие алгоритма,  хотя и интуитивное, возникло задолго до появления первого компьютера.  Решая большинство задач, человек, в той или иной мере, применяет  алгоритмический подход, хотя отдельные этапы этого процесса могут носить  ассоциативный характер. Оперативным мышлением называют процесс решения практических задач,  который приводит к созданию у человека мыслительной модели  предполагаемой совокупности действий – плана операций – с реальными  объектами и процессами. В свою очередь, на понятие алгоритмического стиля мышления влияют  особенности оперативного мышления. Среди таких особенностей выделяется,  прежде всего, его практическая направленность. Применяя оперативное  мышление при решении разнообразных задач студент должен спланировать не  только действия, но и выбрать ресурсы (информационные, технические),  используемые при решении. Основной целью изучения любой дисциплины является не изучение теории как таковой, а ее практическое применение. Именно поэтому во время лекций  необходимо подробно останавливаться на примерах решения задачи. При  рассмотрении типовых задач видна практическая значимость изучаемого  материала. Начинать решение необходимо с разбора условия задачи получаем готовую  программу: 1. Например, таковыми являются задачи, относящиеся к так называемым задачам на  переливания. Следует отметить, что и познавательный потенциал рассмотрения таких задач достаточно велик. Рассмотрим в качестве примера следующие задачи. 1.1. В первый сосуд входит 8 л, во второй – 5 л, в третий – 3 л. Первый сосуд наполнен водой, а остальные два пусты. Как с помощью этих сосудов отмерить 1 л воды? Условие данной задачи очень просто по своему содержанию, что делает его доступным  ученикам начальной школы. Составим таблицу данных и используем ее в процессе решения. 1­й сосуд (8 л) 2­й сосуд (5 л) 3­й сосуд (3 л) 8 0 0 3 5 0 3 2 3 Количество находящейся в них  воды На VI этапе получаем необходимое значение в первом сосуде. На I этапе на II этапе на III этапе 6 2 0 6 0 2 1 5 2 на IV этапе на V этапе на VI этапе 1.2. Как, имея лишь два сосуда емкостью 5 л и 7л, отмерить 6 л воды? Решение. 1­й сосуд (7 л) 7 2 2 7 4 4 0 7 6 2­й сосуд (5 л) 0 5 0 2 5 0 4 4 5 Переливания Сосуды 1.3. Каким образом из реки можно принести ровно 6 л воды, если имеется только два ведра:  одно емкостью 4 л, другое – 9 л? Решение. 1­й сосуд (9 л) 9 5 5 1 1 0 9 6 2­й сосуд (4 л) 0 4 0 4 0 1 1 4 Переливания Сосуды 1.4. Бидон емкостью 10 л заполнен молоком. Требуется перелить из этого бидона 5 л в  семилитровый бидон, используя при этом еще один бидон, вмещающий 3 л. Решение. 1­й сосуд (10 л) 1033669922 2­й сосуд (7 л) 0 74411075 3­й сосуд (3 л) 0 03030113 Переливания Сосуды 1.5. Имея два бидона емкостью 4 л и 5 л, можно ли налить в ведро 3 л воды, если емкость  ведра не менее 3 л? Решение. 1­й сосуд (5 л) 0 4 4 5 5 4 0 4 3 0 2­й сосуд (4 л) 3­й сосуд (не менее 3 л) 0 0 0 0 3 Переливания Сосуды 2. Сходны с задачами на переливания задачи на затруднительные положения, например,  переправы. Решение таких задач возможно путем описания порядка действий или  заполнения таблиц. 2.1. Как перевезти в лодке с левого берега на правый волка, козла и капусту, если известно,  что волка нельзя оставить без присмотра с козлом, а козел “неравнодушен” к капусте. В  лодке только 2 места, поэтому можно брать с собой одновременно или одно животное или  капусту. Решение. Опишем организацию перевозки. В первом рейсе перевозчик берет с собой козла, оставляя на левом берегу волка и капусту.  Переехав на правый берег, перевозчик оставляет там козла и возвращается на левый берег. Во втором рейсе перевозчик берет с собой волка, оставляя на левом берегу капусту.  Переехав на правый берег, перевозчик оставляет там волка, забирает с собой козла и  возвращается с ним на левый берег. В третьем рейсе перевозчик берет с собой капусту, оставляя на левом берегу козла.  Переехав на правый берег, оставляет там капусту с волком и возвращается на левый берег. И, наконец, в четвертом рейсе он перевозит с левого берега на правый козла. 2.2. Как перевезти в лодке с левого берега на правый козла, капусту, двух волков и собаку,  если известно, что волка нельзя оставлять без присмотра с козлом и собакой, собака в  “ссоре” с козлом, а козел “неравнодушен” к капусте? В лодке только три места, поэтому  можно брать с собой не более двух животных или одно животное и капусту. Решение. В первом рейсе перевозчик берет с собой козла и собаку, оставляя на левом берегу двух  волков и капусту. Переехав на правый берег, перевозчик оставляет там козла и с собакой  возвращается на левый берег. Во втором рейсе перевозчик берет с собой собаку и капусту, оставляя на левом берегу  только волков. Переехав на правый берег, перевозчик оставляет там собаку и капусту, а с  козлом возвращается на левый берег. В третьем рейсе перевозчик берет с собой двух волков, оставляя на левом берегу козла.  Переехав на правый берег, он оставляет там двух волков и капусту, берет с собой собаку и  возвращается на левый берег. В четвертом рейсе перевозчик забирает с собой собаку и козла и переезжает на правый  берег. На этом перевоз закончен. 2.3. Двое мальчиков катались на лодке. К берегу подошел отряд солдат. Лодка так мала, что на ней могли переправиться двое мальчиков или только один солдат. Как солдаты смогли  переправиться через реку? Решение. Мальчики на лодке плывут к другому берегу. Один из них остается там, а другой  возвращается. Один солдат переправляется, вылезает, а мальчик возвращает лодку. Таким  образом, чтобы переправить одного солдата, лодка 4 раза плывет от берега до берега.  Аналогично переправляются остальные. 3. Одним из способов решения последующих задач является последовательное заполнение  соответствующих таблиц в соответствии с алгоритмом разрабатываемым самими учащимися. 3.1. Беседуют трое: Белокуров, Чернов и Рыжов. Брюнет сказал Белокурову: “Любопытно,  что один из нас русый, другой – брюнет, а третий – рыжий, но ни у кого цвет волос не  соответствует фамилии”. Какой цвет волос имеет каждый из беседующих? Решение. Для решения задачи воспользуемся таблицей. Фамилия Белокуро в Чернов Рыжов Цвет волос Рыжий БрюнетРусый                   По условию задачи Белокуров не русый, Чернов не брюнет, и Рыжов не рыжий. Это  позволяет поставить знак “–” в соответствующих клетках. Кроме того, по условию задачи  Белокуров не брюнет, и, значит, в клетке на пересечении строки “Белокуров” и столбца  “Брюнет” также нужно поставить знак “–”. Фамилия Белокуро в Чернов Рыжов Цвет волос Рыжий БрюнетРусый     – – –   –     Из таблицы следует, что Белокуров может быть только рыжим. Поставим знак плюс в  соответствующей клетке. Отсюда видно, что Чернов не рыжий. Обозначим это знаком минус  в таблице. Теперь ясно, что Чернов может быть только русым, а Рыжов – брюнетом. Фамилия Белокуро в Чернов Рыжов Цвет волос Рыжий БрюнетРусый + – – – – + – + – 3.2. В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Известно,  что: 1. вода и молоко не в бутылке; 2. сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом; 3. в банке не лимонад и не вода; 4. стакан стоит около банки и сосуда с молоком. Куда налита каждая жидкость? Решение. Воспользуемся следующей таблицей. Сосуд Жидкость БутылкаСтакан КувшинБанка Молоко   Квас   Лимонад     Вода                         Из условия 1 задачи следует, что в бутылке не вода и не молоко, и поэтому в  соответствующих клетках нужно поставить знак минус. Из условия 2 следует, что в кувшине  не лимонад и не квас. Отметим это в таблице. Из условия 3 известно, что в банке не лимонад и не вода. На пересечении столбца “Банка” и строк “Лимонад” и “Вода” ставим минусы. Из  условия 4 следует, что молоко не в банке и не в стакане. Для молока остается кувшин. Эти  данные заносим в таблицу. Сосуд Жидкость БутылкаСтакан КувшинБанка Молоко Квас   Лимонад   Вода – – –             – – – – – Теперь, когда все условия задачи использованы, видно, что молоко в кувшине, а квас в  банке. Поэтому квас не может быть в бутылке и стакане, а вода не в кувшине. Поставим знак  минус в этих клетках. При этом становится ясно, что лимонад в бутылке, а вода в стакане. Сосуд Жидкость БутылкаСтакан КувшинБанка Молоко Квас – – – – + – – + Лимонад Вода + – – + – – – – 3.3. Три подруги вышли погулять в белом, зеленом и синем платьях и в туфлях таких же  цветов. Известно, что только у Ани цвет платья и цвет туфель совпадают. Ни туфли, ни  платье Вали не были белыми. Наташа была в зеленых туфлях. Определите цвет платья и  туфель на каждой из подруг. Решение. Для решения воспользуемся следующей таблицей: Цвет туфель Цвет платья Имя Белый зеленый синий белый зеленый синий   Аня Валя   Наташа                                 Так как Наташа была в зеленых туфлях, то обозначим это знаком плюс в таблице и пометим,  что туфли у нее не могут быть белыми и синими. У Ани и Вали в столбце “Цвет туфель  зеленый” ставим минус. Так как ни туфли, ни платье Вали не были белыми, то в  соответствующих клетках ставим знак минус. Теперь видно, что у Ани туфли белые, а у Вали  – синие. Так мы установили цвета туфель девочек. При этом, учитывая условие задачи, мы  делаем вывод, что у Ани платье белое, у Вали платье не синее, а у Наташи платье не  зеленое. Следовательно, у Вали платье зеленое, а у Наташи – синее. Цвет туфель Цвет платья Имя Белый зеленый синий белый зеленый синий Аня Валя Наташа + – – – – + – + – + – – – + – – – + 3.4. Три студента: Андреев, Борисов и Воронов – учатся на различных факультетах  Новгородского педагогического института (историческом, физико­математическом и  иностранных языков). Все они приехали из различных городов: Таллинна, Твери, Вышнего  Волочка, причем один из них увлекается футболом, другой – баскетболом, третий –  волейболом. Известно, что: 1) Андреев не из Вышнего Волочка, а Борисов не из Твери. 2) Студент, приехавший из Вышнего Волочка, учится не историческом факультете. 3) Тверянин учится на факультете иностранных языков и увлекается футболом. 4) Воронов учится на историческом факультете. 5) Студент физико­математического факультета не любит волейбол. Из какого города приехал каждый студент, на каком факультете он учится и каким видом  спорта увлекается? Решение. Воспользуемся тремя таблицами. Фамилия Город Таллинн Тверь В. Волочек Андреев Борисов Воронов – – + + – – – + –   Вид спорта Фамилия Футбол Баскетбо л Волейбол Андреев Борисов Воронов + – – – + – – – + Факультет   Город Таллинн Тверь В. Волочек Исторический Физико­математический Иностранных языков + – – – – + – + – Из первого условия следует, что на пересечении строки “Андреев” и столбца “В. Волочек”, а  также в клетке “Борисов – Тверь” надо поставить знак минус. Из второго условия следует, что в клетке “В. Волочек – исторический” третьей таблицы  следует поставить знак минус. Из третьего условия следует, что в клетке “Тверь – иностранный язык” третьей таблицы  следует поставить знак плюс. Но тогда студенты из Таллинна и В. Волочка не могут учиться  на факультете иностранных языков. Кроме того, студент из Твери не учится на  историческом и физико­математическом факультетах. Поставим знак минус в  соответствующих клетках. Но тогда, очевидно, что таллиннец учится на историческом, а  студент из В. Волочка – на физико­математическом. По четвертому условию Воронов учится на историческом факультете, и поэтому Воронов из  г. Таллинна, а Андреев и Борисов живут в другом городе. Отметим это в таблице. Воронов не житель Твери и В. Волочка. В этих клетках можно поставить знак минус. Тогда, очевидно,  что Борисов живет в В. Волочке, а Андреев – в Твери. Первая таблица заполнена. По условию 3 тверянин увлекается футболом. Но тверянином является студент факультета  иностранных языков Андреев. Значит, Андреев увлекается футболом, и поэтому в  соответствующей клетке второй таблицы поставим знак плюс и отметим, что Андреев не  играет в баскетбол и волейбол, а Борисов и Воронов не увлекаются футболом. Наконец, студент физико­математического факультета не любит волейбола. Этот студент –  житель В. Волочка, т. е. Борисов. Во второй таблице ставим знак минус в строке “Борисов” и  столбце “Волейбол”. Таблица легко заполняется до конца. Прежде чем давать сложные задания, надо вооружить ребёнка сложными умениями. Такой вывод делает В.А. Сухомлинский