Применение признаков делимости при решении задач.

Приложение 5. Применение признаков делимости натуральных чисел при решении задач. Признаки  делимости  применяются   при нахождении  НОД  и  НОК,   а  также   при решении текстовых задач на применении НОД и НОК. Задача 1:   (Использование общих делителей и НОД) Ученики   6   класса   купили   203   учебника.   Каждый   купил   одинаковое   количество   книг. Сколько было шестиклассников, и сколько учебников купил каждый из них? Решение: Обе величины, которые требуется определить должны быть целыми числами, т.е. находиться среди делителей числа 203. Разложив 203 на множители, получаем:        203 = 1 ∙ 7 ∙ 29. Из  практических   соображений  следует,   что  учебников   не   может  быть  29.   Также   число учебников   не   может   равняться  1,   т.к.   в   этом   случае   учеников   было   бы   203.   Значит, шестиклассников – 29 и каждый из них купил по 7 учебников.  : 29 шестиклассников; 7 учебников Ответ   Задача  2.  Имеется   60   апельсинов,   165   орехов   и   225  конфет.   Какое   наибольшее   число одинаковых подарков для детей можно сделать из этого запаса? Что войдёт в каждый набор?  Решение    :  Количество подарков должно быть делителем каждого из чисел, выражающих количество апельсинов, конфет и орехов, причем наибольшим из этих чисел. Поэтому надо найти НОД данных чисел.  НОД (60, 175, 225) = 15.  Каждый подарок будет содержать: 60 : 15 = 4 – апельсина,    175 : 15 = 11 – орехов и  225 : 15 = 15 – конфет.   Ответ: В одном подарке – 4 апельсина, 11 орехов, 15 конфет.  Задача   3:  В   9   классе   за   контрольную   работу   1/7   учеников   получили   пятёрки,   1/3   – четверки, 1/2 ­ тройки. Остальные работы оказались неудовлетворительными. Сколько было таких работ?   Решение: Решением задачи должно являться число, кратное числам: 7, 3, 2. Найдем сначала наименьшее из таких чисел. НОК (7, 3, 2) = 42. Можно составить выражение по условию задачи: 42 – (42 : 7 + 42 : 3 + 42 : 2) = 1 – 1 неуспевающий. Математические  отношения задачи допускают, что число учеников в классе 84, 126 и т.д. человек. Но из соображений здравого смысла следует, что наиболее приемлемым ответом является число 42.  Ответ: 1 работа. Задача 4. В двух классах вместе 70 учеников. В одном классе 7/17 учеников не явились на занятия, а в другом 2/9 получили отличные отметки по математике. Сколько учеников в каждом классе?  Решение    : В первом из этих классов могло быть: 17, 34, 51… ­ числа, кратные 17. Во втором классе:   9,   18,   27,   36,   45,   54…   ­   числа,   кратные   9.   Нам   нужно   выбрать   1   число   из   первой последовательности,   а   2   число   из   второй   так,   чтобы   они   в   сумме   давали   70.   Причем   в   этих последовательностях только небольшое число членов могут выражать возможное количество детей в   классе.   Это   соображение   существенно   ограничивает   перебор   вариантов.   Возможным единственным вариантом оказалась пара (34, 36).  Ответ:  В первом классе – 34 ученика, во втором классе – 36 учеников. Задача 5. Какое наименьшее число одинаковых подарков можно сделать из 320 орехов, 240 конфет, 200 яблок? Сколько орехов, конфет и яблок будет в каждом подарке? Решение:     НОД(320, 240, 200) = 40 (подарков),  тогда в каждом подарке будет: 320:40 = 8 (орехов);   240: 40 = 6 (конфет);   200:40 = 5 (яблок). Ответ: В каждом подарке по 8 орехов, 6 конфет, 5 яблок. Задача 6.Два автобуса отправляются от одной площади по разным маршрутам. У одного из автобусов рейс туда и обратно длится 48 мин, а у другого 1 ч 12 мин. Через сколько времени автобусы снова встретятся на этой же площади? Решение:    НОК(48, 72) = 144 (мин).     144 мин = 2 ч 24 мин. Ответ:   Через 2 ч 24 мин автобусы снова встретятся на этой же площади.