В данной работе приведены задачи, при решении которых применяются признаки делимости натуральных чисел. Материал можно использовать в курсе математики 6 класса при изучении темы "НОД и НОК". Также данный материал можно использовать в старших классах при подготовке к ОГЭ, ЕГЭ,Задачи по теме НОД и НОК.
Приложение 5.
Применение признаков делимости натуральных чисел при решении задач.
Признаки делимости применяются при нахождении НОД и НОК, а также при решении
текстовых задач на применении НОД и НОК.
Задача 1: (Использование общих делителей и НОД)
Ученики 6 класса купили 203 учебника. Каждый купил одинаковое количество книг.
Сколько было шестиклассников, и сколько учебников купил каждый из них?
Решение: Обе величины, которые требуется определить должны быть целыми числами, т.е.
находиться среди делителей числа 203. Разложив 203 на множители, получаем: 203 = 1 ∙ 7 ∙ 29.
Из практических соображений следует, что учебников не может быть 29. Также число
учебников не может равняться 1, т.к. в этом случае учеников было бы 203. Значит,
шестиклассников – 29 и каждый из них купил по 7 учебников.
: 29 шестиклассников; 7 учебников
Ответ
Задача 2. Имеется 60 апельсинов, 165 орехов и 225 конфет. Какое наибольшее число
одинаковых подарков для детей можно сделать из этого запаса? Что войдёт в каждый набор?
Решение
:
Количество подарков должно быть делителем каждого из чисел, выражающих количество
апельсинов, конфет и орехов, причем наибольшим из этих чисел. Поэтому надо найти НОД данных
чисел. НОД (60, 175, 225) = 15. Каждый подарок будет содержать: 60 : 15 = 4 – апельсина, 175 :
15 = 11 – орехов и 225 : 15 = 15 – конфет.
Ответ: В одном подарке – 4 апельсина, 11 орехов, 15 конфет.
Задача 3: В 9 классе за контрольную работу 1/7 учеников получили пятёрки, 1/3 –
четверки, 1/2 тройки. Остальные работы оказались неудовлетворительными. Сколько было таких
работ?
Решение: Решением задачи должно являться число, кратное числам: 7, 3, 2. Найдем сначала
наименьшее из таких чисел. НОК (7, 3, 2) = 42. Можно составить выражение по условию задачи: 42
– (42 : 7 + 42 : 3 + 42 : 2) = 1 – 1 неуспевающий.
Математические отношения задачи допускают, что число учеников в классе 84, 126 и т.д.
человек. Но из соображений здравого смысла следует, что наиболее приемлемым ответом является
число 42.
Ответ: 1 работа.
Задача 4.
В двух классах вместе 70 учеников. В одном классе 7/17 учеников не явились на занятия, а в
другом 2/9 получили отличные отметки по математике. Сколько учеников в каждом классе?
Решение
: В первом из этих классов могло быть: 17, 34, 51… числа, кратные 17. Во втором
классе: 9, 18, 27, 36, 45, 54… числа, кратные 9. Нам нужно выбрать 1 число из первой
последовательности, а 2 число из второй так, чтобы они в сумме давали 70. Причем в этих
последовательностях только небольшое число членов могут выражать возможное количество детей
в классе. Это соображение существенно ограничивает перебор вариантов. Возможным
единственным вариантом оказалась пара (34, 36).
Ответ: В первом классе – 34 ученика, во втором классе – 36 учеников.
Задача 5.
Какое наименьшее число одинаковых подарков можно сделать из 320 орехов, 240 конфет,
200 яблок? Сколько орехов, конфет и яблок будет в каждом подарке?
Решение: НОД(320, 240, 200) = 40 (подарков), тогда в каждом подарке будет: 320:40 = 8
(орехов); 240: 40 = 6 (конфет); 200:40 = 5 (яблок).
Ответ: В каждом подарке по 8 орехов, 6 конфет, 5 яблок.
Задача 6.Два автобуса отправляются от одной площади по разным маршрутам. У одного из
автобусов рейс туда и обратно длится 48 мин, а у другого 1 ч 12 мин. Через сколько времени
автобусы снова встретятся на этой же площади?
Решение: НОК(48, 72) = 144 (мин). 144 мин = 2 ч 24 мин.Ответ: Через 2 ч 24 мин автобусы снова встретятся на этой же площади.