Применение проблемно- исследовательских ситуаций на уроках математики.

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОБЛЕМНО­ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ СИТУАЦИЙ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ. Янковская Ольга Александровна. ФМБОУ «Кяхтинская средняя общеобразовательная школа № 4  города Эрдэнэт Всякое знание остается мертвым, если в учащихся не развивается  инициатива и самостоятельность,  стремление к науке … Н.А. Умов. Применение проблемно­ исследовательских ситуаций на уроках математики.                                    Цель: Показать возможные пути реализации проблемно­ исследовательских ситуаций  на уроках математики. Главные задачи:  помочь ученику  раскрыть творческие способности; выбор эффективных форм и методов решения проблемных                  ситуаций; приучать учащихся мыслить, рассуждать и находить решения  нетрадиционным путем; научить сформулировать окончательные выводы; привлечение к исследовательской деятельности. Задача   учащихся  –   найти   ответ,   решение   и   доказательство,   поиски решения заданий проблемного характера. Задача учителя  ­ воспитывать веру ученика в свои силы. Поддержать ребенка   вовремя,   дать   возможность   попробовать   себя   во   всех   типах деятельности.   Актуальность – развитие интереса к математике, повышение мотивации на   обучение,  развитие   самостоятельности   в   нахождении   способов   решения учебных задач. Учитель учит самостоятельно анализировать, делать выводы, используя проблемно ­ развивающие задания. Ожидаемые   результаты   ­  умение   логически   мыслить,   находить решение нетрадиционным путем, применять логические знания на практике. Перспективный результат – Ученик  мыслит, думает, находит решения и   делает   выводы.   Этим   определяются   его   первые   шаги   к   будущему новаторству. 1 Глобальные   изменения   современного   общества   требуют   воспитания подлинно   свободной   личности.   Современный   учитель   ­   исследователь, творческая   личность.   Он   ищет   эффективные   пути   и   средства   развития потенциальных   возможностей   школьников.   Одним   из   главных   методов творческой деятельности является метод проблемно­ поискового обучения, согласно которому учитель не преподносит истину, а учит ее находить. Проблемное обучение­ это обучение, построенное на создании и решении проблемных ситуаций. В   процессе   преподавание   математики   перед   учителем   возникают проблемные вопросы:  как помочь ученику в раскрытии его творческих способностей. Чему учить, как учить. какие эффективные методы и формы выбрать. как учить  мыслить и рассуждать. как привлечь к исследовательской деятельности. как научить сформулировать соответствующие выводы. Сталкиваясь с этими вопросами, разработаны нетрадиционные уроки с использованием проблемно­развивающих заданий. Цель : раскрыть методы использования проблемно­поисковой ситуации на уроках, показать возможные пути реализации мини – исследовательской деятельности.  Используя такой метод работы, четко учитывать следующее:  уровень трудности для ученика должен быть доступным;  вопросы должны вызывать интерес своим содержанием;  проблемно­исследовательские   задания   должны   способствовать получению ученикам новых знаний и умений. Проблемная   ситуация   способствует     мыслительной деятельности   и   желания   к   исследованию.   Обучаемый   должен   проявлять волевые  качества  характера  для разрешения проблемной ситуации. Иногда это бывает сделать достаточно трудно. Поэтому учитель, который создает проблемную ситуацию на уроке, должен соблюдать определенные правила:   активизации   Основываться на тех знаниях и умениях, которыми ученик обладает в достаточной степени. Ученик   должен   понимать   закономерности   процессов   и   явлений,   без которых нельзя обойтись в рамках решаемой проблемной ситуации. Проблемное   задание,  решаемое   учеником,  должно   быть   принято   им   и должно вызывать потребность в его решении. В   педагогической   науке   определены   четыре   уровня   проблемного обучения. Первый уровень: Проблемное изложение учебного материала.   На   этом   уровне   ведущая   роль   принадлежит   педагогу.   Учитель формулирует   проблему   и   показывает   пути   ее   решения.   Учащимся 2 предлагается учебная информация в виде проблемы, которую формулирует сам   учитель   и   демонстрирует   учащимся   возможные   пути   ее   решения,  ход рассуждений, решение проблемы.  Данный путь решения проблемной ситуации имеет большое значение для учащихся, так как учит учащихся решать проблему, показывает этапы работы над   решением   ситуации,   закладывает   умения   делать   выводы,   принимать решения.         При  изложении   нового   материала   проблемный  вопрос  можно  задать  в форме эвристического характера. Применяется эта форма, когда   учащиеся не   имеют   достаточного   запаса   знаний,   чтобы   сами   ученики   активно участвовали над решением проблемной ситуации.  Второй   уровень:   Создание   решения   проблемных   ситуаций   по аналогии. Второй уровень проблемного обучения заключается в том, что учитель ставит проблему, излагает ее суть и предлагает учащимся  самостоятельно их решить.   Проблема,   которую   предлагает   учитель   для   самостоятельного решения   учащимся,   требует   применения   творческого   подхода   к   решению задач.   Третий уровень: Решение мини – исследовательских заданий. На этом уровне учитель формулирует  проблему, определяет те учебные знания, которые необходимы для ее решения, пути выхода из нее. Ученик должен самостоятельно решить проблему, привлекая для этого знание ранее полученных   материалов.   Учитель   предлагает   найти   ответ   и   предположить варианты его решения.   Четвертый уровень: Исследовательский.   Учащимся   предлагается   решать   проблемную   ситуацию,   которая   им незнакома. Учащиеся определяют проблему в изучаемом учебном материале, формулируют,   исходя   из   задач   урока,   решают   проблему   самостоятельно, опираясь на полученные знания. При   решении  проблемных   задач   мыслительная   деятельность   учащихся сводится к следующему:  1. Для   учащихся   проблемная   ситуация   создается   проблемным формулированием   заданий,   вопросов,   задач   поискового   характера.   При решении проблем «как действовать при этом?», «чем они интересны?», «на что необходимо обратить внимание, что в них кажется противоречивым?» и другие. Таким образом, у них формируется круг вопросов изучения и пути самостоятельного поиска решения. 2. Осознав   недостаточность   полученных   знаний,   ученик   начинает строить   предварительные   гипотезы   относительно   способа   решения проблемной ситуации, устанавливает причинно­следственные связи. 3. Сложившаяся проблемная ситуация и потребность в новых знаниях побуждает   искать   его   новый   способ   объяснения   или   действий, вырабатывается вариант решения данной проблемы.  3 В   конце   решения   проблемных   ситуаций   учащиеся   подводят окончательные итоги и отчеты по результатам исследования.   Используя   проблемные   ситуации   на   уроках,   я   пришла   к   выводу,   что можно   вывести   следующие   основные   этапы   уроков   проблемно­поискового обучения:  1. восприятие проблемы, установление причинно­следственных связей; 2. поиск решения; 3. доказательство и проверка гипотезы; решения проблем; 4. подведение итогов, нахождения результата.  Используя проблемные ситуации на уроках, я раскрыла возможные этапы и приемы работы в организации проблемно­поисковых ситуаций на уроках математики:      Этапы и приемы работы в организации  проблемно­поисковых ситуаций на уроках математики Основные этапы Прием учебной работы Деятельность учителя 1. Восприятие и осознание проблемы Установление причинно­ следственных связей 2. Формулировка и гипотезы исходя из данных условий. Поиск Выдвижение гипотезы предположений и поиск решений.  Создает условие размышлением над проблемой и самостоятельного поиска решения проблемы Организует поиск гипотезы Деятельность Учащихся Устанавливает причинно­ следственные связи. Определяют круг вопросов для решения той или иной проблемы.  Ведут поиск решения проблемы. Выдвигают предварительные гипотезы решений 3. Доказательство и проверка гипотезы 4. Нахождение результата Обоснование гипотезы  Проверка гипотезы Вывод Создает условие для выработки подходящего варианта Вырабатывают и доказывают вариант решения проблемы Сформулируют окончательные выводы Проводя такие уроки, убедилась, что ученик, получив право выбрать способ   усвоения   учебного   материала,   сам   оценивает   свои   способности   и возможности.               4 Рассмотрим некоторые фрагменты уроков.      Математика  5 кл.     Проблемное  изложение  нового материала.                 Изучение новой темы начать с постановки вопроса:  На доске записать:          71 + 37;             19 – в;          23 + с;     127 – 63;      х + у;      71 – 18; ­ Ребята, внимательно посмотрите , на какие две группы можно разделить эти  выражения? Попросить записать их в два столбика:                           71 + 37;                                  19 – в;                          127 – 63;                                 23 + с;                           71 – 18;                                    х + у; ­  почему вы пришли к такому разделению? ­  дайте название каждому столбику (числовые и буквенные). ­  сформулируйте тему сегодняшнего урока. Молодцы, с вашей помощью определили тему нашего урока:  «Числовые и буквенные выражения»                 Сегодня мы будем учиться читать и записывать буквенные выражения. Другой пример:        При объяснении темы «Уравнения», на доске записываю:                   у + 47;   79 + х;   х – 23 = 75;   а – 41 ;   у + 136 = 362:    251 – х; I. Ребята внимательно рассмотрите записи. Есть ли знакомые вам выражения?  Как их называют? (буквенные ) ­  среди них выделите «другие выражения». Объясните, почему вы так  решили? (это равенства).  ­  что такое равенство? ­  кто помнит, как называется такое равенство?  (уравнением). ­ кто может дать определение ( равенство содержащее неизвестное число  называется уравнением). ­ в чем разница между уравнением и буквенным выражением? ­  придумайте и запишите в тетрадях свои уравнения ( два, три примера). ­ кто может сформулирует тему нашего урока? (уравнения). Сегодня продолжим изучение темы, «уравнения» полученные в начальной  школе.     II.  Работа по пункту учебника.     III. Комментированные решения уравнений. Найдите корни уравнений? Ученики решают уравнение на доске и в тетрадях:                                365 + х = 542;       у + 136 = 362;         5 ­  какой компонент неизвестен? Назовите первое слагаемое и сумму?     ­  как найти неизвестное слагаемое?                                476 ­ х = 107;       х – 23 = 75;  ­ как найти неизвестное уменьшаемое? ­ как найти неизвестное вычитаемое? ­  что значит решить уравнение? Учитель делает обобщение.  Если класс сильный можно провести мини – исследовательскую работу по  теме уравнения.      На доске записываю буквенные выражения                                           а + 45;               28 + х ; ­  из данных выражений составьте равенства, а сумму пока не пишите (ставлю  вопросительный знак).                                           а + 45 = ? ;        28 + х  = ? ; Видите вопросительный знак?  Проведем маленькое исследование. Проблемный вопрос: ­  всякое ли число можно брать вместо суммы?  Задание 1­ое:  ­  берите число меньше известного слагаемого, решайте и сделайте проверку.                                    а + 45 = 8 ;        28 + х  = 15 ; Ученики решают в тетрадях и на доске. Учитель предлагает посовещаться в группах. ­  можно ли брать число меньше известного слагаемого? ( нет). ­  какой вариант можете предложить? Кто как думает. Задание 2­ое: ­  берите число больше известного слагаемого, сделайте вывод. Вывод учащихся: берем число большее известного слагаемого.                              а + 45 = 105 ;        28 + х  = 196 ; Приведите свои примеры и решайте.       Подведем итог нашего исследования :  когда неизвестно одно из двух  слагаемых, сумма всегда больше чем известное слагаемое. Привести  контрольный пример:                                        х + 11 =  2010; Поработаем над следующими уравнениями:                                         а – 63 = ?;                          74 – х = ?: Какой компонент неизвестен в этих уравнениях? Как их найти. ­  каким числом может быть разность данных уравнениях, исследуйте дома.         6 Пример проблемного задания.       Урок математики, 6 класс. Учебная задача проблемного характера: Цена товара была равна А. Затем  цена повысилась на 10 %. В новом году она снизилась на 10 %. Изменилась ли  первоначальная цена товара. Каково выше мнение?  Ответ учащихся. Цена товара не изменилась.  Возникает проблемная ситуация, требующая разрешения.   Давайте посчитаем. Цена товара  была 100 рублей. После повышения на 10%,  цена товара стала 110 рублей. А после понижения на 10% стала равна 99  рублей.   ­  какое мнение, у вас сложилось после решения примера?.  Второй пример: В пакете лежали сливы. Сначала из него взяли 50% слив, а  затем 50% остатка. После этого в пакете осталось 9 слив. Сколько слив было  в пакете первоначально? Возможно ли такое? Решайте дома. Алгебра 7 класс. Урок исследования.      Сегодня мы с вами проведем необычный урок, а урок исследование. Исследование взаимного расположения графиков линейных функций. ­ Сегодня рассмотрим вопрос о том, как зависит взаимное  расположение графиков линейных функций от значений коэффициента k и b. ­ Наша задача найти ответы на следующие вопросы:  выяснить, как расположены графики линейных функций в   влияют ли коэффициенты k и b на расположение графика  зависимости от k и b. функции.  что такое угловой коэффициент? Чтобы получить ответы на поставленные вопросы мы с вами проведем  следующую работу: I Расположение графика функции у = kx + b, в координатной  плоскости. Задание 1: Постройте в одной системе координат графики функций а) y = 2x + 3,          б) у = ­ 2х + 5,        х у 2 7 ­1 1 7 х у 0 5 1 3                                                                  рис 1 Ответьте на вопросы: 1) что представляют собой графики функций. 2) в каких координатных четвертях расположены графики? 3) что показывает число b, в формуле линейной функции? 4) каково влияние коэффициентов k и b на расположение графика функции? Примерные ответы учащихся:           Графики функций представляют собой прямые.           при k > 0, график функции расположен в I и III четверти,            при к < 0, график функции расположен во II  и IV четверти.             В формуле линейной функции число b показывает ординату точки  пересечения графика с осью Оу. Учитель делает обобщение: ­ Из построенного графика мы видим что, прямые наклонены к оси Ох  под каким то углом. Этот угол зависит от коэффициента k. Так как коэффициент k характеризует угол, который образует график  линейной функции с положительным направлением оси Ох, то k называют  угловым коэффициентом прямой. Число k называют угловым коэффициентом прямой.             Исследуем от чего зависит угловой коэффициент. 8 Задание 2:  Схематически постройте графики следующих функций.                      а) у = 3х + 2;     б). у = ­2х + 4;                                                                         рис 2 Используя построенные графики обратите, внимание на угол наклона  графиков функций к оси Ох.  Каков угол наклона к оси Ох, когда k > 0.  Каков угол наклона к оси Ох, когда k < 0.  От чего зависит угловой коэффициент Ответы учащихся:  Когда k > 0, угол наклона острый.  Когда k < 0, угол наклона тупой.  Угловой коэффициент зависит от числа k. Следующий урок по этой же теме: Практическая работа « Исследование взаимного расположения  графиков линейных функций». В начале урока предложить учащимся построить графики функций по  группам. Исследовательская работа по группам. Цель исследования: Выявить влияние коэффициентов k и b на взаимное     расположение графиков линейных функций.             Постройте в одной системе координат графики функций 9 Группа А                             Группа В                                  Группа С а) у = 2х + 4,                   а) у = ­2х + 4,                            а) у = 3х – 2,      б) у = 2х,                         б) у = х + 4,                               б) у = ­4х + 2,    в) у = 2х – 6.                   в) у = 4.                                      в) у = 2х.                          рис 3                                       рис 4                                     рис 5 Используя полученные результаты, ответьте на следующие вопросы: Группа А. 1. Чему  равны коэффициенты предложенных вам функций.  2. Как расположены  графики функций, если коэффициенты при х  одинаковы. 3. Чему равны ординаты пересечения графиков функций с осью Оу. 4. Каково взаимные расположения графиков. Сделайте вывод. Группа В. 1. Как расположены  графики функций, если коэффициенты при х  разные. 2. Влияет ли число b на взаимное расположение графика функций. 3. От чего зависит угловой коэффициент прямой. 4. Каково взаимное расположение графиков. Сделайте вывод. Группа С. 1. Как расположены  графики функций. 2.  Каковы коэффициенты при х. 3.  Что известно про числа b. 4.  Каково взаимное расположение графиков. Сделайте вывод. Примерные выводы учащихся:  Группа А:  Так как коэффициенты предложенных функций при х  одинаковы, то графики функций параллельны. Число b это точка пересечения графика с осью ординат. При k > 0, графики расположены в 1­й и 3­й  координатных четвертях, углы наклона графиков функций к оси Ох острые. Группа В:   Графики линейных функций пересекаются,  так как  коэффициенты     при х различны. Пересечение графиков означает что, они  имеют общую точку, это число     b. Группа С: Графики линейных функций не пересекаются в одной точке и не параллельны.  10 Алгебра 8 класс. Урок поиск. Предложить  учащимся  решить несколько квадратных уравнений.          а) х2 – 5х + 6 = 0.                       в) х2 – 7х + 10 = 0.          б) х2 + х  ­ 30 = 0.                       г) х2 – 15х – 16  = 0. Для каждого из уравнений найдите сумму и произведения корней.  Тема урока учащимся не сообщается. Дается проблемно­поисковое задание следующего содержания: Задание 1.                  а) Для каждого из уравнений найдите  сумму    х1  + х 2 =?  и                      произведения    х1  х2 =?  корней.                  б) Сравните полученные числа с коэффициентами уравнений.                  в) Какова связь между коэффициентами и корнями уравнений.          Сделайте вывод. При     такой       постановке     вопроса,     ребята     чувствуют     себя исследователями, которые   разыскивают   что­то. А, у   исследователей, не хватает   факторов   для   дальнейшей   работы   (поиска),   им   нужна   опора,   т.е. теорема, которую они еще не знают.  На  основе  выполнения  таких  заданий  силами  учащихся необходимо сформировать свойство корней квадратного уравнения, т.е. теорему Виета.  В этот момент  сообщаю тему урока: Теорема   Виета:   Сумма   корней   приведенного   квадратного   уравнения равна   второму   коэффициенту,   взятому   с   противоположным   знаком,   а произведение корней равно свободному члену.    Записать следующую схему:  Дано:  х2 + рх + q = 0        х1  ; х 2  ­  корни уравнения Доказать :        х1 +  х 2 = ­ р                           х1     х2  =  q. Доказательство   теоремы   рассмотреть   для   приведенного   квадратного уравнения по учебнику на странице 121. Далее   идет   закрепление   изученного,   путем   решения   квадратных уравнений по теореме Виета: № 573 (а – г) устно, № 576 письменно, для примера берем:       в) x² + x – 56 = 0            х1 +  х 2 = ­1                      х1  = ­8             х1     х2  = ­56                     х2 = 7  Алгебра 9 класс. Тип урока: проблемно­поисковый. «Разложение квадратного трёхчлена на множители». 11 В начале дать  задание: Сократите дробь:           а) х  2  ­5х                                   б)        х2­25                   в)  х2­10х+25               х2­25                                           х2­10х+25                  (х­5) (х+2) Ученики   сразу   не   смогут   сократить   эти   дроби,   после   некоторого замешательства   ребята   вспоминают,   что   ранее   они   уже   встречались   с похожими случаями, когда раскладывали на множители разность квадратов и квадрат   разности   и   начинают   решать.   Затем   проверяется   задание   и подводится  итог  ранее  изученного  материала. 2 этап:        Новой  объяснение    темы.        Теперь  ребята, сократите дроби:          а)  х  2   – 4х                                             б)   х2­6х+5              х2­5х+4                                                   х2­7х+10  Здесь создается проблема!   Как   сократить   эти   дроби?   В   данном   случае   неприменимы   формулы сокращенного умножения! Возникает вопрос: Как разложить на множители числитель и знаменатель этих дробей? Далее   перед   учащимся   ставится   задача:   Как   научится   раскладывать квадратный  трёхчлен   ах2+вх+с  на  линейные  множители.  Даю опорную схему  ах2+вх+с=(х ­?) (х ­?)         Далее  учащимся  предлагается  найти  в  учебнике  общую  формулу. Оказывается,  есть   теорема:   Если   х1  и   х2  корни   квадратного   трёхчлена,   то ах2+вх+с= а(х­х1)(х­х2).          Вывод:    получили формулу корней квадратного трехчлена ах2 + вх + с = а(х­х1)(х­х2).           В настоящее время сама жизнь продвигает неотложную практическую задачу  –  воспитание   человека  –творца,  созидателя   и  новатора,   способного разрешать любые проблемы.          Говоря о проблемах творческих способностей, необходимо помнить, что творчество   невозможно   без   деятельности,   причем   продуктивной деятельности. Именно об этом сказал великий ученный Л.С. Выгодский, когда написал «Творчество на деле существует не только там, где создает великие исторические   произведения,   но   и   везде   там,   где   человек   воображает, комбинирует,   изменяет   и   создает   что­либо   новое,   какой   бы   крупицей   ни казалось это новое по сравнению с созданием гениев. 12 13