Проект по математике по теме "Фракталы"

КИРОВСКОЕ ОБЛАСТНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«ТЕХНИКУМ ПРОМЫШЛЕННОСТИ И НАРОДНЫХ ПРОМЫСЛОВ Г. СОВЕТСКА»

ФРАКТАЛЫ

Авторы: Окунев Николай,

 Струков Александр,

студенты группы № 26,

профессия «Автомеханик»

Руководитель:

Чернова Ирина Николаевна,

преподаватель математики КОГПОАУ

 «Техникум промышленности и

народных промыслов

г. Советска»

Советск, 2017

ВВЕДЕНИЕ

«Математика,

если на нее правильно посмотреть,

отражает не только истину,

но и несравненную красоту»

Бертран Рассел

В 2015 году мы начали посещать математический кружок «УМКа» (увлекательная математика каждому). На одном из первых занятий мы посмотрели фильм о новом направлении геометрии «Фракталы. Поиск новых размерностей». Фильм очень заинтересовал нас. Красота и совершенство фракталов привлекают внимание практически всех. И у нас возникла идея (цель нашего проекта): узнать подробнее, что такое фракталы и  каково их значение в нашей жизни.

Задачи:

1. Узнать, что такое «Фракталы».

2. Изучить историю возникновения  фракталов.

3. Выяснить, где и как применяются фракталы в жизни.

Гипотеза: теория фракталов только развивается, но уже получила широкое применение не только в геометрии, но и в других отраслях.

Объект исследования: фрактальные множества.

Методы исследования: поиск информации, её анализ, отбор, обобщение, создание ролика «Галерея фракталов».

Проектный продукт: презентация и статья (реферат).

Актуальность: интерес к проблеме обусловлен возросшей ролью фракталов. Это модное понятие шагает по планете, завораживая своей красотой и таинственностью, проявляясь в самых неожиданных областях: биологии, архитектуре, искусстве, экономике и даже дизайне. Разветвления трубочек трахей, листья на деревьях, вены в руке, река, бурлящая и изгибающаяся, рынок ценных бумаг – это все фракталы.

ПОДОБИЕ ФИГУР

     Идея отношения и пропорции зародилась в глубокой древности. Одинаковые по форме, но различные по величине фигуры встречаются еще в 3-ем тысячелетии до нашей эры.  Об этом свидетельствуют древнегреческие храмы и знаменитые пирамиды в Гизе, вавилонские зиккураты (ступенчатые башни), дворцы и многие другие памятники древности. Идея подобия развивалась в различных странах параллельно и возникла из потребности решения задач на определение размеров недоступных предметов. В 8 классе мы изучали тему: «Подобные треугольники», познакомились с признаками подобия и научились применять подобие к решению задач. Понятие подобия рассматривается не только для треугольников, но и для произвольных фигур. Так любые два квадрата подобны. Подобны также два прямоугольника, у которых две смежные стороны одного пропорциональны двум смежным сторонам другого. Фракталы безусловно связаны с подобием. Фрактал — это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба.  И, если рассмотреть, например,  фрактал - треугольник Серпинского (приложение 1), то построенный треугольник состоит из подобных ему треугольников.

ИСТОРИЯ СОЗДАНИЯ ФРАКТАЛОВ

     Не один объект природы нельзя описать только ломаной, кругом, многоугольником. Действительно, треугольники, квадраты, круги, параллелограммы, параллелепипеды, пирамиды, шары, призмы - типичные объекты, рассматриваемые классической геометрией. Предметы, созданные руками человека, обычно включают эти фигуры или их фрагменты. Но в природе они встречаются не так уж часто. Действительно, похожи ли, например,  лесные красавицы ели на какой-либо из перечисленных предметов или их комбинацию? Легко заметить, что в отличие от форм Евклида природные объекты не обладают гладкостью, их края изломаны, зазубрены, поверхности шероховаты, изъедены трещинами, ходами и отверстиями.  Но описать такие сложные природные объекты помогают фракталы. Фракталы известны уже почти век (хотя понятие «фрактал» введено лишь в 1975 году), хорошо изучены и имеют многочисленные приложения в жизни. В основе этого явления лежит очень простая идея: бесконечное по красоте и разнообразию множество фигур можно получить из относительно простых конструкций при помощи всего двух операций — копирования и масштабирования.

Изучая информацию о фракталах в первую очередь нас заинтересовала история этого вопроса, и мы решили узнать какие ученые занимались вопросом фракталов и какие открытия были сделаны.

Георг  Кантор

Георг Кантор (1845-1918) явился одним из основателей теории множеств. Он также придумал один из старейших фракталов - множество Кантора (описано им в 1883). На Западе подобные множества называют иногда пылью. Заметим, что существование этого фрактала отмечалось до этого Генри Смитом в 1875 году или еще ранее.

Канторово множество получается следующим образом: из единичного отрезка  удалим среднюю треть, то есть интервал Оставшееся точечное множество обозначим через . Множество  состоит из двух отрезков; удалим теперь из каждого отрезка его среднюю треть, и оставшееся множество обозначим через . Повторив эту процедуру опять, удаляя средние трети у всех четырёх отрезков, получаем . Дальше таким же образом получаем последовательность замкнутых множеств . Пересечение

и называется Канторовым множеством (приложение 2)

Нильс Фабиан Хельге фон Кох

Нильс Фабиан Хельге фон Кох (1870 – 1924) – шведский математик. В 1887—1892 гг. учился в Стокгольмском институте, по завершении которого стал доктором философии и доцентом. В 1905 г. получил звание профессора математики при Технологическом институте, а в 1910 г. стал членом Шведской Академии наук.

Кривая Коха — фрактальная кривая, описанная Хельге фон Кохомв 1904 году (приложение 3) Процесс построения кривой Коха выглядит следующим образом: берём единичный отрезок, разделяем на три равные части и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. В результате образуется ломаная, состоящая из четырёх звеньев длины 1/3. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся звеньев и т. д… Предельная кривая и есть кривая Коха. Три копии кривой Коха, построенные (остриями наружу) на сторонах правильного треугольника, образуют замкнутую кривую бесконечной длины, называемую снежинкой Коха (приложение 4)

Гастон Морис Жюлиа

Гастон Морис Жюлиа (1893—1978) – французский математик, открывший множество, названное его именем.    Случилось это в 1918 году, когда  Гастон Жюлиа лечился в госпитале. Изнывая от безделья, молодой Жюлиа заинтересовался поведением точки последовательности  на комплексной плоскости. Гастон пришёл к выводу, что последовательность точек может вести себя по-разному. Точка последовательности  может уходить в бесконечность либо может стремиться к некоторой конечной точке комплексной плоскости, называемой аттрактором. То есть аттрактор - это точка притяжения итерационного процесса или предел последовательности. 
        Множество всех точек плоскости с конечными аттракторами называется множеством Жюлиа. (приложение 5)

Вацлав Франциск Серпинский

Вацлав Франциск Серпинский - польский математик, известен трудами по теории множеств, аксиоме выбора, континуум-гипотезе, теории чисел, теории функций, а также топологии. Автор 724 статей и 50 книг.

Треугольник Серпинского — фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, предложенный Вацлавом Серпинским в 1915 году. Также известен как «решётка» или «салфетка» Серпинского. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. (приложение 6)

 Квадратная версия была описана Вацлавом Серпинским в 1916 году. Ему удалось доказать, что любая кривая, которую можно нарисовать на плоскости без самопересечений, гомеоморфна какому-то подмножеству этого дырявого квадрата. Как и треугольник, квадрат можно получить из разных конструкций. Справа изображен классический способ: разделение квадрата на 9 частей и выбрасывание центральной части. Затем эти же действия повторяются для оставшихся 8 квадратов, и т. д. (приложение 7)

Как и у треугольника, у квадрата нулевая площадь. Фрактальная размерность ковра Серпинского равна log₃8.

БЕНУА МАНДЕЛЬБРОТ И ЕГО ФРАКТАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Бенуа Мандельброт -  французский и американский математик(1924 —2010), создатель фрактальной геометрии. Лауреат премии Вольфа по физике (1993). У Бенуа Мандельброта был необычный математический дар – великолепное пространственное воображение и  даже алгебраические задачи он решал геометрическим способом. Оригинальность его решений удивляла многих. Термин фрактал был введен Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую популярность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы». Он говорил: «Нужно думать не о том, что вы видите, а как получить то, что вы видите». Множество Мандельброта - одно из самых известных фрактальных объектов - впервые было построено (визуально с применением ЭВМ) Бенуа Мандельбротом весной 1980 г. в исследовательском центре фирмы IBM им. Томаса Дж. Уотсона (приложение 8)

ВИДЫ ФРАКТАЛОВ

Фракталы можно разделить на три группы: геометрические, алгебраические и стохастические. Основными представителями геометрических фракталов являются такие объекты, как: кривая Пеано, снежинка Коха, треугольник Серпинского, пыль Кантора, «дракон» Хартера-Хейтуэя и т.д. Все они получены путем повторений определенной последовательности геометрических построений с использованием точек и линий. Фракталы этой группы самые наглядные. Алгебраическая группа фракталов получила такое название потому, что они образуются при помощи алгебраических формул. Это самая большая группа фракталов. Примером алгебраического фрактала служит множество Мандельброта.

Еще одним известным классом фракталов являются стохастические фракталы, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. Добавляя в формулы, задающие фрактал, случайные возмущения, можно получить фракталы, которые весьма правдоподобно передают некоторые реальные объекты — элементы рельефа, поверхность водоемов, некоторые растения, что с успехом применяется в физике, географии и компьютерной графике для достижения большего сходства моделируемых предметов с настоящими. Типичный представитель стохастических фракталов «Плазма» (приложение 9) Для ее построения берётся прямоугольник и для каждого его угла определяется цвет. Далее центральная точка прямоугольника раскрашивается в цвет равный среднему арифметическому цветов по углам прямоугольника плюс некоторое случайное число. Чем больше случайное число – тем более «рваным» будет рисунок. Если предположить, что цвет точки - это высота над уровнем моря – получится вместо плазмы – горный массив. Именно на этом принципе моделируются горы в большинстве программ. С помощью алгоритма, похожего на плазму строится карта высот, к ней применяются различные фильтры, накладывается текстура и при этом получаются объекты очень похожие на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря. 

ПРИМЕНЕНИЕ ФРАКТАЛОВ

Компьютерная графика

Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких, как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее. Существует множество программ, служащих для генерации фрактальных изображений, для сжатия данных. Создаваемая математическими формулами, фрактальная графика, один из современных и оригинальных видов искусства, завоевывает все больше поклонников. Для его создания не нужны карандаши или краски, все проще и сложнее одновременно. 
Итальянская художница Сильвия Кордедда (Silvia Cordedda) создает, без преувеличения, потрясающей красоты картины, которые являются результатом расчетов фрактальных объектов с последующим визуальным отображением. Сильвию привлекла особенность фракталов повторять очертания цветов. Используя специализированные программы автор «выращивает» растения, которые не встретишь в реальном мире. Но мы можем насладиться ими сейчас (приложение 10) 

Фракталы в дизайне

Дизайн в современном мире охватывает настолько широкую область применения, что для описания всех его разновидностей и областей применения не хватит нескольких книг. Дизайнер Джин Баронс в конце 70-ых впервые использовала фракталы в дизайне одежды. В настоящее время можно встретить фракталы в дизайне предметов интерьера, мебели, паркета, столешниц, подносов, витражей, ваз и даже носков (приложение 11)

Фракталы в архитектуре

Одно из определений фракталов гласит, что это геометрическая фигура, состоящая из частей, являющихся уменьшенной копией целого. Эта трактовка позволяет относиться к фракталу как к объекту геометрии. 
В архитектуре применяются геометрические фракталы. Архитектура во многих своих проявлениях есть мимезис – отражение природы, ее принципов строения форм, конструкций, поверхностей, сочетания цветов и т.д.
Повторение законов природы в архитектурном формообразовании позволило нашим предшественникам на интуитивном уровне создать фрактальные здания и сооружения.
Сооружения с элементами фрактала "Треугольник Серпинского"(приложение 12)

Семиметровая башня Карма, созданная корейским скульптором У Хо Су состоит из 98 вылитых из нержавеющей стали фигур, снизу они более крупные и растянуты вверх до бесконечности, как фрактал. В настоящее время установлена  в художественном музее Нового Орлеана (приложение 13)

Фракталы в искусстве

Наиболее яркий и известный представитель  японского искусства - Кацусика Хокусай, в работах этого художника отчетливо прослеживается связь между изображениями фракталов и его картинами. Кацусика Хокусай интуитивно стремился изобразить явления этого мира с помощью неких закономерных и самоподобных структур. В его творчестве явно видно, как художник использует образы фракталов : это и пятна деревьев, и завитки морских волн, это и горы, и тени туч на земле, и многое другое. Он четко осознавал, что природа полна самоподобными объектами, и старался это изобразить (приложение 14)

Фракталы в природе

Что общего у дерева, берега моря или облака? Существует одно свойство структуры, присущее всем перечисленным предметам: они самоподобны. От ветки, как и от ствола дерева, отходят отростки поменьше, от них — еще меньшие, и т. д., то есть ветка подобна всему дереву.  Фрактальная структура одного дерева может прогнозировать как будет функционировать весь лес (изучение одного дерева позволит предсказать сколько углекислого газа перерабатывает весь лес в целом),  а это важно знать для прогнозов, касающихся глобального потепления (приложение 15)

Если посмотреть на космические снимки морского побережья, то мы увидим заливы и полуострова; взглянем на него же, но с высоты птичьего полета: нам будут видны бухты и мысы; теперь представим себе, что мы стоим на пляже и смотрим себе под ноги: всегда найдутся камешки, которые дальше выдаются в воду, чем остальные. То есть береговая линия при увеличении масштаба остается похожей на саму себя. Это свойство объектов математик Бенуа Мандельброт назвал фрактальностью, а сами такие объекты — фракталами (приложение 16)

С береговой линией, а точнее, с попыткой измерить ее длину, связана одна интересная история, которая легла в основу научной статьи Мандельброта, а также описана в его книге «Фрактальная геометрия природы». Речь идет об эксперименте, который поставил Льюис Ричардсон — весьма талантливый и эксцентричный математик, физик и метеоролог. Одним из направлений его исследований была попытка найти математическое описание причин и вероятности возникновения вооруженного конфликта между двумя странами. В числе параметров, которые он учитывал, была протяженность общей границы двух враждующих стран. Когда он собирал данные для численных экспериментов, то обнаружил, что в разных источниках данные об общей границе Испании и Португалии сильно отличаются. Это натолкнуло его на следующее открытие: длина границ страны зависит от линейки, которой мы их измеряем. Чем меньше масштаб, тем длиннее получается граница. Это происходит из-за того, что при большем увеличении становится возможным учитывать всё новые и новые изгибы берега, которые раньше игнорировались из-за грубости измерений. И если при каждом увеличении масштаба будут открываться ранее не учтенные изгибы линий, то получится, что длина границ бесконечна! Правда, на самом деле этого не происходит — у точности наших измерений есть конечный предел. Этот парадокс называется эффектом Ричардсона.

Фракталы в телекоммуникации

В радиоэлектронике в последнее десятилетие начали выпускать антенны, имеющие фрактальную форму. Занимая мало места, они обеспечивают вполне качественный прием сигнала. Натан Коэн после посещения лекции Бенуа Мандельброта в Будапеште загорелся идеей практического применения полученных знаний. Правда, сделал он это интуитивно, и не последнюю роль в его открытии сыграл случай. Будучи радиолюбителем, Натан стремился создать антенну, обладающую как можно более высокой чувствительностью. Вместо того чтобы изготовить антенну традиционной формы, Коэн взял кусок алюминиевой фольги и вырезал из него фигуру в форме математического объекта, известного как кривая Коха. Как и все фракталы, эта кривая "самоподобна", то есть на любом, самом малом отрезке имеет один и тот же вид, повторяя саму себя. Строя кривую Коха, Коэн ограничился только двумя-тремя шагами. Затем он наклеил фигуру на небольшой лист бумаги, присоединил ее к приемнику и с удивлением обнаружил, что она работает не хуже обычных антенн. Натан Коэн даже вывел теорему, доказывающую, что для создания широкополосной антенны достаточно придать ей форму самоподобной фрактальной кривой. Автор запатентовал свое открытие и основал фирму по разработке и проектированию фрактальных антенн Fractal Antenna Systems, справедливо полагая, что в будущем благодаря его открытию сотовые телефоны смогут избавиться от громоздких антенн и станут более компактными. .Как оказалось позднее, его изобретение стало родоначальником принципиально нового типа антенн, ныне выпускаемых серийно.

Антенны эти очень компактны: встроенная в корпус фрактальная антенна для мобильного телефона имеет размер обычного слайда (24 х 36 мм). Кроме того, они работают в широком диапазоне частот. Все это обнаружено экспериментально, теории фрактальных антенн пока не существует (приложение 17)

Фракталы в экономике

      Теория фракталов в последнее время является одним из самых модных подходов к исследованию рынка. На протяжении веков люди продавали и покупали ценные бумаги. Данный вид сделок с ценными бумагами приносил участникам рынка доход из-за того, что цены на акции и облигации постоянно менялись. В течение веков люди покупали ценные бумаги по одной цене и продавали, когда они становились дороже. Но иногда ожидания покупателя не сбывались  и цены на купленные бумаги начинали падать, таким образом, он не только не получал доход, а еще и терпел убытки. Очень долгое время никто не задумывался, почему так происходит: цена  то растет, то падает. Люди просто видели результат действия и не задумывались о причинно-следственном механизме, его порождающем.

Так происходило до тех пор, пока американский финансист Чарльз Доу  не опубликовал ряд статей, в которых он излагал свои взгляды на функционирование финансового рынка. Доу заметил, что цены на акции подвержены циклическим колебаниям: после продолжительного роста следует продолжительное падение, потом опять рост и падение. Таким образом, Чарльз Доу впервые заметил, что  можно прогнозировать дальнейшее  поведение цены на акции, если известно ее направление за  какой-то последний период.

В середине двадцатого века другой известный американский финансист  Ральф Эллиотт  предложил свою теорию  поведения  цен на акции, которая была основана на использовании теории фракталов.

Волновая Теория Эллиотта – одна из старейших теорий технического анализа. Основой теории служит так называемая волновая диаграмма. Волна – это различимое ценовое движение. Следуя правилам развития массового психологического поведения, все движения цен разбиваются на пять волн в направлении более сильного тренда, и на три волны – в обратном направлении. Например, в случае доминирующего тренда мы увидим пять волн при движении цены вверх и три – при движении (коррекции) вниз.

Для обозначения пятиволнового тренда используют цифры, а для противоположного трехволнового – буквы. Каждое из пятиволновых движений называют импульсным, а каждое из трехволновых – коррективным (приложение 18)

Эллиотт предположил, что каждая из только что показанных импульсных и  коррективных волн  также  представляет собой волновую диаграмму. В свою очередь, те волны тоже можно разложить на составляющие и так далее. Таким образом, Эллиотт применил теорию фракталов для разложения  тренда на более мелкие и понятные части. Знание этих частей в более мелком масштабе, чем самая большая волновая диаграмма, важно потому, что рейдеры (участники финансового рынка), зная, в какой части диаграммы они находятся, могут уверенно продавать ценные бумаги, когда начинается коррективная волна, и должны покупать их, когда начинается импульсная волна.

К сожалению, само существование теории фракталов трудно совместимо с классической наукой. Однако, фракталы непредсказуемы, когда изучаешь хаотическую систему, то можно прогнозировать только модель ее поведения. Поэтому с помощью фракталов не только нельзя построить точный прогноз, но и, соответственно, проверить его. На современном этапе еще не существует математически точного аппарата применения теории фракталов для исследования рыночных цен, поэтому спешить с применением знаний о фракталах нельзя. Вместе с тем, это действительно самое перспективное современное направление математики с точки зрения прикладных исследований финансовых рынков.

Фракталы в медицине

      В человеческом организме множество фракталоподобных образований — в структуре кровеносных сосудов и различных протоков, а также в нервной системе. Наиболее тщательно изучена фрактальная структура дыхательных путей, по которым воздух поступает в легкие. В 1962 г. Э. Уэйбел, Д. Гомес, а позже О. Раабе и его коллеги измерили длину и диаметр трубок в этой нерегулярной системе. Недавно ученые Уэст и Голдбергер в сотрудничестве с В. Бхаргавой и Т. Нельсоном из Калифорнийского университета в Сан-Диего повторно проанализировали такие измерения по слепкам легких человека и некоторых других видов млекопитающих. Они пришли к заключению, что, несмотря на некоторые небольшие межвидовые различия, структура дыхательных путей всегда соответствует той, которая справедлива для размерностей фракталов. Многие другие системы органов также представляются фрактальными, хотя их размерности еще не были количественно оценены.

Фракталоподобные структуры играют важную роль в нормальной механической и электрической динамике сердца. Во-первых, фракталополобная структура сердечных артерий и вен осуществляет кровоснабжение сердечной мышцы. Дж. Бассингтуэйт и X. фон Беек из Вашингтонского университета не так давно воспользовались фрактальной геометрией для объяснения аномалий в кровотоке к здоровому сердцу. Прекращение этого артериального потока может вызвать инфаркт миокарда (разрыв сердечной мышцы). Во-вторых, фракталоподобная структура соединительно-тканных образований (сухожилий) в самом сердце прикрепляет митральный и трехстворчатый клапаны к мышцам.

Также,  по мнению биофизика Питера Бернса,  работающего в Торонто,  фракталы являются  практическим  методом построения математических моделей, которые смогут помочь в ранней диагностике раковых заболеваний.

ВЫВОД

     Фрактальная геометрия выявляет скрытый порядок, описываемый математическими законами, выводит нас на совершенно новый уровень понимания природных явлений. Совершенно удивительно то, что язык дикой природы мы можем перевести на язык математики. Математика является единственно стратегией в познании сложного языка природы, и сегодня фрактальная геометрия значительно расширила словарь этого языка, а чем больше наш словарный запас, тем больше страниц  в великой книге природы мы можем прочесть.

    В нашей работе приведены далеко не все области человеческих знаний, где нашла свое применение теория фракталов. Работая над темой проекта, мы значительно расширили знания по математике и свой кругозор. Мы не только узнали, что такое фракталы и как они связаны с математикой, но и достаточно глубоко выяснили применение фракталов в жизни. Фрактальная геометрия стремительно развивается и позволяет привнести в жизнь немного удивительного и неповторимого кусочка будущего, уже сейчас становящегося настоящим.  Мы  думаем, что после знакомства с нашей работой, вы, убедитесь в том, что математика действительно прекрасна и удивительна.

ИСПОЛЬЗОВАННЫЕ РЕСУРСЫ

1.     http://www.cih.ru/a1/f46.html

2.     https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%B0%D0%BB

3.     http://leganty.com/video/chto-takoe-fraktal.html

4.     https://ru.wikipedia.org/wiki/Множество_Жюлиа

5.     https://ru.wikipedia.org/wiki/Жюлиа,Гастон_Морис

6.     https://ru.wikipedia.org/wiki/Кривая_Коха

7.     http://m-rush.ru/theory/item/184-fraktaly-na-praktyke.html

Скачано с www.znanio.ru