Проект на тему "МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ", 9 класс, по алгебре

Математическими методами решают не только абстрактные математические задачи о числах, фигуры, функции и много других. Прикладные задачи в математике называют такие условия, которые содержат нематематические понятия. Решая прикладную задачу математическими методами, сначала составляют ее математическую модель.Математические модели создают с математических понятий и отношений: геометрических фигур, чисел, выражений. Математические модели по большей части бывают функции, уравнения, неравенства, системы.МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ. Математическими методами решают не только абстрактные математические задачи о числах, фигуры, функции и много других. Прикладные задачи в математике называют такие условия, которые содержат нематематические понятия. Решая прикладную задачу математическими методами, сначала составляют ее математическую модель. Задача 1.В двух магазинах-580 кг яблок. Сколько яблок в каждом магазине, если в первом на 60 кг больше, чем во втором. Составьте разные математические модели этой задачи. Решение: Пусть в первом магазине – х кг яблок, тогда во втором – (х-60) кг, а вместе –(х+х-60) кг. Составим и решим уравнение х+х-60=580; 2х=640; х=320, х-60=320-60=260 Ответ:320 кг и 260 кг. Уравнение х+х-60=580-одна из математических моделей рассмотренной задачи. Можно составить и другую модель. - уравнение у+у+60=580; - система уравнений {█(х+у=580,@х-у=60)┤ Моделью называется специально созданный объект, который отображает свойства исследовательского объекта ( от французского слова modele- копия,образец) Уменьшенные модели самолета, автомобиля, плотина – примеры физических моделей. Математическая модель – это система математических соотношений, которая в абстрактной форме описывает исследовательский объект, процесс или явление. Математические модели создают с математических понятий и отношений: геометрических фигур, чисел, выражений. Математические модели по большей части бывают функции, уравнения, неравенства, системы. Процесс построения математической модели и дальнейшее ее применение для решения конкретных задач называется математическим моделированием. Решение прикладной задачи математическими методами осуществляется в три этапа: составление математической модели задачи; решение соответственной математической модели; анализ ответов. Задача 2. Достаточно одного миллиона литров воды для проведения соревнований с плавания в бассейне с горизонтальным дном прямоугольной формы длиной 100 м и шириной 25 м? Решение: 1) Составление математической модели задачи. Вода в бассейне с горизонтальным дном приобретает форму прямоугольного параллелепипеда, который и есть для данной задачи математической модели реального объекта. В этом параллелепипеде одно ребро соответствует высоте воды (а-искомое значение), другие ребра-длина(b) и ширина (с) бассейна. 2)Решение математической задачи. V = abc – объём прямоугольного параллелепипеда с измерениями а, b, с. По условию задачи а=100м, с=25 м; V=1000000 л=1000000 дм³=1000м³. Имеем: 1000=а ∙ 100 ∙ 25, отсюда а = 1000/2500 = 0,4(м). 3)Анализ ответа. Для соревнований с плавания глубина 0,4 м – слишком мала. Следовательно, 1000000 л воды в данном бассейне недостаточно для проведения соревнований с плаванья. Ответ: не достаточно. Решим вместе! Два фермера, работая на комбайнах, могут вместе собрать урожай пшеницы за12 часов. За какое время каждый из них, работая отдельно, мог собрать этот урожай, если известно, что продуктивность работы первого в 1,5 раза больше от второго? Решение: Пусть первый фермер может собрать эту пшеницу за х ч, тогда второй-за 1,5х ч. За 1ч первый может собрать 1/х часть поля, а второй - 1/1,5х часть. Вместе за 1 час они собирают урожая 1/х + 1/1,5х = 1/12 часть поля. Отсюда 1/х (1 + 1/1,5 ) = 1/12; х = 2,5/1,5 ∙ 12; х=20; 1,5 ∙ 20 = 30. Ответ: 20ч, 30ч. На протяжении каждого тиража лотереи используют 55000 руб. Один билет лотереи стоит 1 руб. Третья часть от продажи билетов идет в выигрышный фонд, четверть – на оплату налогов, а остальные – прибыль организаторам лотереи. Какой была прибыль, если продали 180.000 билетов? Сколько билетов нужно продать, чтобы иметь прибыль больше 30.000 руб? Решение: Пусть S – выручка за продажу билетов, а P – прибыль. Тогда S = S/3 + S/4 + 55.000, а P = 5S/12 – 55.000. 1. Если S = 180.000 руб, то Р= (5 ∙180.000)/12 – 55.000 = 20.000 (руб). 2. Если Р > 30.000, то 5S/12 – 55.000 > 30.000, а S > 204.000 (руб). 3. Если Р ≤ 0, то 5S/12 – 55.000 ≤ 0, а S ≤ 132.000. 3) Поскольку один билет лотереи стоит 1 руб, то количество проданных билетов (К) численно равняется выручке. Следовательно, если К > 204.000 штук, то прибыль превысит 30.000 руб, а если К ≤ 132.000, то организаторы прибыли не будут иметь. Ответ: 20.000 руб; больше 204.000 штук; если количество проданных билетов не превысит 132.000 штук. Составьте математическую модель к задачам и решите их. Корова привязана на лугу к колышку веревки длинной 8 м. Какую площадь она описывает? Чтобы поднять ведро с колодца, нужно сделать 12 оборотов коловорота. Найдите глубину колодца, если диаметр вала коловорота 24 см. Отец старше сына в 4 раза, а через 5 лет он будет старший за сына только в 3 раза. Сколько лет сыну теперь? ЗАДАЧА БЕЗУ. Рабочему сказали, что он получит по 24 су за каждый отработанный день, но при этом вычтут по 6 су за каждый прогул. Через 30 дней оказалось, что ему нечего получать. Сколько дней он работал? На одном складе угля больше в 2 раза, чем на другом. Если на первый привезли еще 80 т, а на второй – 145т, то на обоих складах угля будет поровну. Сколько тонн угля есть на каждом складе? В одном мешке было 60 кг сахара, а вдругом-80 кг. Со второго мешка взяли сахара в три раза больше, чем с первого, и тогда в первом мешке осталось сахара в двое больше, чем в первом. По сколько килограмм сахара было в каждом мешке? Решите задачи 7 и 8 и составьте математическую модель. Два кузнеца выполняют определенную работу за 8 дней. За сколько дней выполнит второй кузнец, если первый может выполнить эту работу за 12 дней? А) Одна бригада может выполнить работу за 3 часа, вторая – 5 ч. За сколько часов выполнят эту работу обе бригады вместе? Б) Одной из двух труб бассейн может наполнить за 3 ч, а другой – за 5 ч. За сколько часов наполнится бассейн, если открыть обе трубы? В) От станции А до станции В и от В до А одновременно выехали два автомобиля. Через сколько часов они встретятся, если известно, что первый автомобиль расстояние АВ преодолеет за 3 часа, а второй – за 5 часов? Проект: Применение математики. Цель данного проекта состоит в том, что ученики в процессе самостоятельной научно-познавательной деятельности раскрыли значение математики в повседневной жизни, особенно использование процентные расчеты и статистические сведения. Предвидится, что проектная деятельность будет сопровождается составлением и решением разных задач на проценты, а также анализом и построением диаграмм. Ученики класса формируются в малые группы. По желанию можно выполнять и индивидуальную проектную деятельность. Каждая группа выбирает для проектную деятельность одну из предложенных тем: Математика в профессии моих родителей. Математика в транспорте. Математика в сельском хозяйстве. Математика на кухне. Как использую я свободное время. Каким книжкам я даю преимущество. Индекс массы в моей семье. Интернет в моей семье-эффективность его использования. В какой банк по класть деньги на сбережение. Использование воды в разных источниках света. Энергоэффективность нашей школы. Темы ученикам сообщают заранее. После выбора темы исследование каждый ученик должен проработать обязательный материал («Процентные расчёты»), и подобрать дополнительные сведенья, что касаются выбранной темы. Результат работы над проектом желательно оформить в виде индивидуальных портфолио с групповой компьютерной презентацией. За результатами достижений можно сделать плакаты, газеты, сборники задач. Защита проектов целесообразно произвести на нескольких тематических внеурочных мероприятиях. Ученикам рекомендуется самостоятельно повторить и проработать поданный ниже теоретический материал. Процентные расчёты. 1%=0,01; 50%=0,5;100%=1. Из простых задач на проценты вы знакомились раньше. Вспомним эти виды задач и способы решения. Существует три основные вида задач на проценты: Нахождение процента от числа: р процентов от а, – а ∙ 0,01р; Нахождение числа за его процентом: число, р процентов которого равно b, -b꞉(0,01 р); Нахождение процентного соотношения: процентное соотношение, а и b,- (а꞉b) ꞏ100%. Рассмотрим примеры таких задач. 1)Нужно вспахать поле, площадь которого равняется 300 га. За первый день трактористы выполнили работу 40 % задания. Сколько гектаров они вспахали за первый день? Решение: 300 га – 100 %, Х га – 40 %. 300/х = 100/40 ; х = (300 ꞏ 40)/( 100) = 120 (га) Ответ: 120 га. 2)За первый день тракторист вспахал 120 га, что составляет40 % поля. Найдите площадь всего поля. Решение: 120 га – 40 %, Х га – 100 %. 120/х = 40/100 ; х = (120 ꞏ100)/( 40) = 300 (га) Ответ: 300 га 3)Нужно вспахать поле, площадь которого 300 га. За первый день трактористы вспахали 120 га. Сколько процентов поля они вспахали за первый день? Решение: 300 га – 100 %, 120 га – х %. 300/120 = 100/х ; х = (120 ꞏ 100)/( 300) = 40 (%) Ответ: 40%. Попробуйте решить каждую задачу несколькими способами, заменив 40% дробью 0,4 или 2/5. Мы увидели, что каждую задачу удобно решать способом пропорции. В сложных прикладных задачах на проценты часто идется про увеличение или уменьшение величины на несколько процентов. В таких случаях нужно хорошо понимать, от чего берутся проценты. Например, если говорят, что заработная плата повысится на 10%, то имеют в виду, что она увеличится на й10% от предыдущей заработной платы. При этом, если значение х больше от у на р %, то значения у меньше от х не на р%. Увеличение в 2 раза соответствует увеличение на 100%, а уменьшению в 2 раза-уменьшение на 50%. Цена товара теоретично может увеличивается на любое число процентов, а уменьшаться, например, на 120% не может. Рассмотрим задачи на проценты. Задача 4.Просуши 55 т зерна 16-процентной влажности. После чего его стало 50 т. Найдите процент влажности просушенного зерна. Решение: Зерно сначала содержало влажность 0,16 ꞏ55 =8,89(т). Испарилось влажности 5 т (55-50=5). Осталось в зерне влажности 8,8–5=3,8(т). Следовательно, процент влажности просушенного зерна равняется: 3,8꞉50=0,076=7,6% Ответ:7,6% Можно решить задачу и по-другому, например, составив уравнение: 0,16ꞏ55-0,01хꞏ50=5. Задача 5. Свежие грибы состоят из 90% воды, а сушенные-12%. Сколько сушенных грибов выйдет с 22 кг свежих? Решение: Свежие Сухие 22 кг х кг 90% 12 % Пусть сушенных грибов будет х кг. У них безводной массы 88%, то есть 0,88х. В свежих грибах безводной массы 10%, то есть 2,2 кг. Безводные массы свежих и сушенных грибов равны, отсюда имеем уравнение: 0,88х=2,2; х=2,5. Ответ: 2,5 кг. Задача 6. Из двух растворов соло-10процентного и 15-процентного – нужно получить 40 г 12 процентного раствора. Сколько граммов каждого раствора нужно взять? Решение: Построим и заполним таблицу, обозначив общие массы первого и второго растворов через х и у г. Раствор Общая масса, г Содержание соли, % Масса соли, г I Х 10 0,10х II У 15 0,15у III полученный 40 12 4,8 По значениям в столбиках «Обща масса» и «Масса соли» составляем систему уравнений: {█(х+у=40,@0,10х+0,15у=4,8,)┤ отсюда х = 24, у = 16. Ответ: нужно взять первого раствора 24 г, а второго – 16 г. Чаше приходится решать задачи на проценты бухгалтерам и работникам банков. Рассмотрим примеры, связанные с начислением инвесторам (вкладчикам) процентных денег. Говорят о простых процентах, если начисляют проценты лишь на начальную сумму. Например, на начало года вкладчик помещает на счет в банк сумму Р под проценты r годовых. За год он получит сумму Р1, которая равняется начальному вкладу плюс начисление процентов Р ( Рr/100 ) или Р1 = Р + Рr/100 = Р( 1 + r/100 ). Через два и три года сумма на счете будет состоять: Р2 = Р + Рr/100 + Рr/100 = р( 1 + 2 r/100 ) и Р№ = Р( 1 + 3 r/100 ). Аналогично можно представить сумму Рn, которую вкладчик получит через n лет: Рn = P( 1 + r/100 n ), где P – сумма начального вклада; Pn- сумма вклада через n лет. Начисление по схеме простых процентов применяется, как правило, в коротко срочных финансовых операциях, когда после интервала начисления вкладчику выплачиваются проценты. В долгосрочных финансово-кредитных условиях чаще используют сложные проценты. Их начисляют не только на основную сумму, а и на численные проценты. В этом случае говорят, что происходит капитализация процентов. Припустим, что вкладчик по клал в банк под 9% годовых 1000 руб. Это начальный капитал. Через год банк начисляет вкладчику за это 90 руб процентных денег (9% от 1000 руб). После этого на счете будет 1090 руб, так как 1000(1+0,09) = 1090. За второй год процентных денег ему начислили уже 9% от 1090 руб; Начисленный капитал вкладчика после двух лет равняется 1000(1+0,09) ² руб. Понятно, что через n капитал будет равняться 〖1000 ( 1+0,09)〗^n руб. Следовательно, вложенный в банк начальный капитал Р под r% годовых через n лет преобразуется в наращённый капитал: Pn = P 〖( 1+ r/100)〗^n. Формула сложных процентов. Она есть одной из базовых в финансовых расчетах. Задача 7. Вкладчик поклал в банк 200.000 рублей под сложные 7% годовых. Какую процентную сумму он будет иметь через 5 лет? Решение: Составляем формулу сложных процентов Pn = P 〖( 1+ r/100)〗^n . В данном случае r = 7, n=5.Следовательно, Р5 = Р (〖1,07)〗^5. При Р = 200.000 имеем: Р5 = 200.000 ꞏ(〖1,07)〗^5= 280.510. Сравним с начальным капиталом: 280.510-200.000=80.510(руб). Ответ: 80.510 руб. Выберите задачи, которые относятся темы вашей исследовательской работе и решите их. Составьте свои задачи с темы выбранного проекта. Оклад служащегося -40.000 руб. С нового года его обещают повысить на 20%. Каким станет оклад служащегося? Для изготовления рассола для засола огурцов нужно 0,76 кг соли на ведро воды (12 кг). Выразите процентный состав раствора. Из 1050 зерен пшеницы 1000 взошло. Какой процент всхожести имеет семечка? Банк обслуживает 50.000 клиентов: 21.000 юридические лица, а остальные- физические. Сколько процентов составляют: а) юридические лица; б) физические лица? Площадь поверхности Земли составляет 510,1 млн км², из них 149,2 млн км ² - суходол. Сколько процентов поверхности Земли покрыто водой? Тракторист должен вспахать 25 га, а вспахал – 27 га. На сколько процентов он выполнил задание? На сколько процентов перевыполнил задание? С молока получают 10% сыра. Сколько нужно молока для 20 кг сыра? С сахарной свеклы получают 12% сахара. Сколько свеклы нужно, чтобы получит 1т сахара? В одной книге на 20% страниц меньше, чем в другой. На сколько процентов во второй книге страниц, чем в первой? Какая была цена товара до переоценки, если после повышения ее на 20% этот товар стоит 4500руб? Цена платья сначала снизилась на 10%, а потом еще раз на 10%. На сколько процентов она изменилась после двух переоценок? Цена на автомобиль сначала повысилась на 20%, а потом снизилась на 20 %. Как снизилась цена на автомобиль после этих двух переоценок? В двух баках содержится 140л бензина. Если с первого бака 12,5% бензина перелили в другой, то в обоих баках бензина станет поровну. Сколько литров бензина в каждой баке? Завод увеличил выпуск продукции за первый год на 20%, а за второй – на 25%. Как вырос выпуск продукции на заводе за два года? Объём работы на строительстве увеличился на 50%, а продуктивность работы – на 20 %. Как изменится количество работников? До 18 кг 10-процентного раствора кислоты долили 2 кг водою. Определите процентную концентрацию нового раствора. Сколько нужно смешать 10 – процентного и 20 – процентного раствора соли, чтобы иметь 1кг 12-процентного раствора? Сколько килограммов 7-процентного раствора нужно долить к 5 кг 5-процентного раствора, чтобы он стал 6-процентный? Сколько пресной воды нужно долить до 100 кг морской, которая содержит 5 % соли, чтобы концентрация соли в ней равнялась 1,5%? Латунь – сплав 60% меди и 40% цинка. Сколько меди и цинка нужно сплавить, чтобы получит 500т латуни? Бронза – сплав меди и олова. Сколько процентов меди в бронзовом слитке, который содержит 17 кг меди и 3 кг олова? Сколько воды нужно долить до 10 кг раствора соли, концентрация которого 5%, чтобы получить раствор концентрацией 3%? Сколько нужно смешать раствора соли концентрацией 2% и раствора соли концентрацией 10%, чтобы получит 800 г раствора, концентрация которого 7%? Сколько золота 375 пробы нужно сплавить из 30 г золота 750 пробы, чтобы получить сплав золота 500 пробы? Из молока жирностью 5 % изготовляют сыр жирностью 15,5%, при этом остается сыворотка жирностью 0,5%. Сколько сира получат из 100 кг молока? На первом поле 65% площади засеяно житом. На другом поле под жито отвели 45% площади. Известно, что на обоих полях житом засеяли 53% общей площади. Какую часть всей засеянной площади составляет первое поле? Фирма взяла в банке кредит 250.000 руб на 5 лет под простые 3:%. Определите: а) сколько рублей фирма повернет банку через 5 лет; б) какую прибыль получит банк? Предприниматель внес в банк 15.000 рублей под сложные 5% годовых. Какой будет сумма его вклада через 4 года? Предприятию дано 500.000 руб в кредит на 6 месяцев за ставкой 8% годовых. Какую сумму предприятие должно вернуть в банк через полгода? На вклад в размере 90.000 руб сроком на 5 лет банк начисляет 18% годовых. Какая сумма будет на счете в конце срока, если начисление процентов происходит по схеме сложных процентов: а) каждые полгода; б) квартально? В задачах 31-32 рассмотрите разные условия начисления процентов. Вкладчик вложил в банк 200.000 руб под 17% годовых. Какие процентные деньги он получит через два года? На каком основании вложенный в банк капитал через два года увеличится на 44%?