Проект. «Нестандартные способы сравнения обыкновенных дробей»

XII районный конкурс творческих исследовательских работ школьников Нестандартные способы сравнения обыкновенных дробей Работу выполнил ученик 6 класса МКОУ Устьянцевская СОШ Краснощеков Александр Руководитель Шпилевская О.А. 2016 г. Барабинск

Цель исследования:      Изучить рациональные способы сравнения обыкновенных  дробей, имеющих большие и  разные числители и знаменатели. Задачи исследования:  1.Углубить, обобщить и систематизировать знания по теме   3. Учиться самостоятельно добывать знания, а также   Гипотеза: Существуют рациональные способы овладевать навыками исследовательской работы. сравнения предложенных дробей: «Сравнение дробей». задач.   2.Научиться применять полученные знания к решению    и 200520053 200520057 ; 19981999 20002001 ; и 200420043 200420047 1998 2000 1234567890 2345678901 88888884 88888887 и и 1234567892 2345678903 ; 99999995 99999998

Исследовательская работа на уроке 0 1 4 1 3 1 12 • 1-я группа. Запишите неравенства двух дробей с одинаковыми 11 1 12 17 12 1 2 5 4 3 4 5 6 4 3 3 2 2 3 знаменателями. • 2-я группа. Запишите неравенства двух дробей с одинаковыми числителями. 1 4 правильная, а другая неправильная. 2 3 1 4  3 4 ; 1 3  2 3 ; 1 12  11 .12  1 2 ; 5 6  5 4 ; 3 4  3 .2  5 4 ; 5 6  4 3 ; 1 2  17 .12 • 3-я группа. Запишите неравенства двух дробей, одна из которых

Лабораторная работа • Сравните: ;1 и и ;1 Сделайте вывод. 3 4 4 3 3 4 и 4 .3 • Сравните: 1 ; 2 3 4 и 2 6 и 1 2 ; 3 4 и 2 .6 Сделайте вывод.

Выводы исследовательской и лабораторной работ • Из двух дробей с одинаковыми знаменателями меньше та, у которой меньше числитель, и больше та, у которой больше числитель. • Из двух дробей с одинаковыми числителями меньше та, у которой знаменатель больше, и больше та, у которой знаменатель меньше. • Правильная дробь всегда меньше неправильной. • При сравнении двух правильных дробей удобно пользоваться сравнением этих дробей с . 1 2 • При сравнении правильной и неправильной дробей удобно сравнивать их с 1.

Способы сравнения дробей • путем умножения числителя и знаменателя на соответствующее число уравнять знаменатели и, сравнивая числители, дать ответ на поставленный вопрос (этот способ общий для всех случаев – еще мы его называем способ приведения к общему знаменателю); • составить разность этих чисел и по знаку этой разности дать ответ; • найти отношение этих чисел и сравнить его с единицей; • разделить у каждой дроби числитель на знаменатель и сравнить результаты.

Примеры 1. Не производя вычислений, установите, верно ли неравенство Решение. Дробь больше половины, а дробь меньше 207 520 ? 15 17 207> 520 15 17 половины, значит, первая больше второй. Неравенство верно. 2.Сравним обыкновенные дроби и . Решение. Приведем дроби к общему знаменателю: 5   Так как 35>32, то 8 5 8 35 56 4 7 5 8    4 7 ; 4 7  32 56

Примеры 3.Сравним обыкновенную дробь и десятичную дробь 0,45. 9 20 Решение. Обратив дробь в десятичную, получим, что 9 20 = 0 ,45. 9 20 4.Сравнить отрицательные числа -15 и -23. Решение. Модуль первого числа меньше модуля второго, значит, первое число больше второго, т. е. -15 > -23.

Нестандартные способы сравнения дробей 1.Сравнить числа 200420043 200420047 и 200520053 200520057 ; Решение. Будем сравнивать не сами дроби, а их меньше: дополнения до единицы: если меньше добавляем к дроби до единицы, то эта дробь больше, если больше добавляем к дроби, то она < 4 4 (из двух дробей с одинаковыми числителями меньше та, у которой знаменатель больше), отсюда < . 200520057 200420047 200420043 200420047 200520053 200520057

Нестандартные способы сравнения дробей 1998 2000 2.Сравнить числа и . 19981999 20002001 Введем обозначения а = 1998, b = 2000, тогда 19 981 999 = 19 980 000 + 1 999 = 19 980 000 + 1 998 + 1 = а • 10 000 + а + 1 = 10 001 • а + 1, 20 002 001 = 20 000 000 + 2 001 = 20 000 000 + 2 000 + 1 = b• 10 000 + b + 1= 10 001 • b + 1. Сравним теперь такие две дроби: * а в 10001 а 10001 в   1 1 Умножив обе части неравенства на произведение знаменателей b (10001 b + 1), сведем сравнение дробей к сравнению выражений с целыми коэффициентами. Итак, что больше: * , а ( 10001 b + 1) * b (10001a + 1), т.е. а * b . Но так как а < b (это видно из условия задачи), то окончательно 10001 а 10001 в а в   1 1 • < 1998 2000 19981999 20002001

Нестандартные способы сравнения дробей 3.Сравнить числа и 1234567890 2345678901 1234567892 2345678903 Решение: Введем обозначения а = 1 234 567 890, b = 2 345 678 901. Тогда 1 234 567 892 = 1 234 567 890 + 2 = а + 2, 2 345 678 903 = 2 345 678 901 + 2 = в + 2. Следовательно, сравниваются дроби: и , а в а в   2 2 что сводится к сравнению выражений: а (в+2) *в (а+2); 2а * 2в; а * в. Но по условию а < b , а значит, < . 1234567892 2345678903 1234567890 2345678901

Нестандартные способы сравнения дробей 99999995 99999998 88888884 88888887 4.Сравнить числа и . Решение. Введем обозначение: а=11 111 111, тогда 88 888 884=88 888 888-4=8а-4, 88 888 887=88 888 888-1=8• 11 111 111-1=8а-1, 99 999 995=99 999 999-4=9• 11 111 111-4=9а-4, 99 999 998=88 888 888-1=9а-1. Ответим на вопрос, что больше * ? а 8 8 а   4 1 а 9 9 а   4 1 Он сводится к сравнению выражений: (8а-4) • (9а-1) *(9а-4) • (8а-1), 72а²-8а-36а +4 * 72а²-9а-32а +4, -44а *-41а. Так как а > 0, то -44а < -41а, а значит, < . 88888884 88888887 99999995 99999998

Выводы и 200520053 200520057 ; • 1) • 2) • 3) 19981999 20002001 ; и 200420043 200420047 1998 2000 1234567890 2345678901 88888884 88888887 и и 1234567892 2345678903 ; 99999995 99999998 • 4) • в задаче 1) сравниваются не дроби, а их дополнения до единицы и тогда задача сводится к сравнению дробей с равными числителями; большие числа в дробях выражаются через маленькие и тогда задачи сводятся к сравнению дробей с одинаковыми знаменателями и задача 4) к сравнению отрицательных чисел. • в задачах 2) – 4) применяется метод кодирования: