Проектная работа "Фигурные числа"

Числа окружают нас повсюду. Две стихии господствуют в математике- числа и фигуры. Действительно, с помощью чисел не только записывают результаты измерений, сравнивают величины, вычисляют, но даже рисуют, проектируют, сочиняют, играют.
Поэтому эта тема позволит заглянуть за страницы учебника математики и познакомиться с группой чисел – фигурными.

В строительстве сооружений древности — пирамид, дворцов и храмов — применялись плиты и кирпичи, имеющие грани в виде треугольника, четырёхугольника, квадрата и некоторых других фигур. С этими же фигурами человек встречался при межевании и измерении земельных участков. Знакомясь с различными геометрическими фигурами, люди начали подмечать их общие свойства. Так постепенно складывалась геометрия — наука о геометрических фигурах. Гео- метрия достигла высокого развития в Древней Греции в школе Пифагора (VI–V вв. до н. э.).  Пифагор и его ученики развивали не только геометрию, но и арифметику, причём их учение о числах тесно переплеталось с учением о геометрических фигурах. Пифагорейцы составляли различные фигуры из камешков или костяшек, изображая числа в виде точек, группируемых в геометрические фигуры.  Такое представление чисел облегчало пифагорейцам (ещё раньше — вавилонянам) изучать свойства чисел. Числа, которые можно представить с помощью геометрических фигур, получили название фигурных.

Фигурные числа встречаются не только у пифагорейцев, но и других греческих учёных: Эратосфена (III–II в. до н. э.), Никомаха (I–II в.), Диофанта (III в.) и др. Фигурные числа изучали также индийские математики.

Эратосфен

Диофант Александрийский

Так например Древнегреческий ученый Диофан нашел простую связь между треугольными числами Т и квадратными К:
8Т+ 1 =К.
Можно наглядно представить эту формулу Диофанта на примере числа 10. На рисунке изображены 81 клеточка, размещенные в квадрате. Они образуют квадратное число К. Одна клеточка занимает центр квадрата, а остальные 80 сгруппированы в 8 треугольных чисел Т в форме восьми «прямоугольных треугольников».
Получается 8Т+ 1 =К.

Решение:
а) Так как число 5 – простое, то является линейным, тогда число 5 изображается в виде точек расположенных на одной прямой.

б) Так же число 5 можно показать в виде правильного пятиугольника 2 – го порядка



в) Представим число 5 в виде телесного числа

Многоугольные числа
Треугольные числа
Квадратные числа
Пятиугольные числа
Шестиугольные числа 

Рассмотрим только треугольные числа.

Какой же вид имеют треугольные числа? Заметим, что
1 = 1
3 =1+2
6 =1+2+3
10 =1+2+3+4
15 =1+2+3+4+5…

Эта закономерность сохраняется и дальше. Можно вывести формулу для получения треугольных чисел:
Тn = 1+2-3+…+n.
На вид она довольно проста, но для вычислений не пригодна, поэтому представим ее в следующем виде: Тn=1/2n(n+1)

Чему равно треугольное число с номером 35? ½*35*(35+1)=1/2*35*36=630
Задача: Шары уложили в равносторонний треугольник, в котором 25 рядов. Сколько потребовалось шаров? 
Ответ: 325
Известно а15=210. каково значение а16?
Ответ: а16=210+16= 226

. Мы не задумываемся о том, что ежедневно встречаемся с фигурными числами. А ведь это так просто и интересно.
При изучении формулы площади прямоугольника используется понятие плоского числа, которое представляется виде произведения двух сомножителей – длины и ширины.
При вычислении объёма прямоугольного параллелепипеда применяется понятие телесного числа, выражаемого произведением трёх сомножителей – длины, ширины и высоты.
Упаковка конфет в форме линейного числа
На параде солдаты стоят правильными рядами, образуя квадраты или прямоугольники (плоские числа). (рис1)
Во время различных праздников мы видим показательные выступления лётчиков. Самолёты в воздухе образуют треугольные или другие фигурные числа. (рис2)
Треугольные числа можно встретить в самых обычных местах (рис3)

Рис 1

Рис 2

Рис 3

Фигурные числа встречаются при упаковке различных товаров в коробки и другие ёмкости.
Телесные числа используются при упаковке конфет, консервных банок, блокнотов, тетрадей, ручек и др. в различные ёмкости. (рис4)
Плоские числа тоже часто используются при упаковке конфет, растительного масла, лимонадных бутылок … (рис5)
К фигурным числам можно отнести пирамидальные числа, которые получаются, если шарики складывать пирамидкой. Как раньше складывались ядра у около пушки. (рис6)
Используя различные фигурные числа как телесные, так и пирамидальные , укладывают товар на прилавке, конфеты в различные упаковки, украшают праздничный стол и т.д. (рис 7)

рис4

рис5

Рис 6

Рис 7

В процессе работы я изучил и исследовал фигурные числа - одно из понятий математики.
Подводя итог работы, пришёл к выводу: невозможно представить современную жизнь без фигурных чисел, они вокруг нас, мы живем среди них, они нам нужны, как солнце, воздух и вода.