Программа по математике. 9 класс. 34 часа

Параметры в школьном курсе математики.

                                                   Оглавление

Пояснительная записка. 3

Структура курса планирования учебного материала. 4

Краткое содержание курса. 4

I. Первоначальные сведения. 4

II. Решение линейных уравнений (и уравнений приводимых к линейным), содержащих параметр. 5

III. Решение линейных неравенств, содержащих параметр. 7

IV. Квадратные уравнения  и неравенства, содержащие параметр. 9

V. Свойства квадратичной функции в задачах с параметрами. 9

VI. Нестандартные задачи. 10

VII. Текстовые задачи с использованием параметра. 10

Планирование. 10

Заключение. 11

Задачи для самостоятельного решения. 12

Литература. 14

Пояснительная записка

Цель данной программы обучения в старших классах - обеспечение углубленного изучения предмета и подготовка учащихся к продолжению образования.

В заданиях по математике с развернутым ответом , а также с кратким ответом , встречаются задачи с параметрами.

Появление таких заданий  далеко не случайно, т.к. с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, методами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений, уровень логического мышления учащегося и их математической культуры.

Решению задач с параметрами в школьной программе уделяется мало внимания. Большинство учащихся либо вовсе не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкие выкладки. Причиной этого является отсутствие системы заданий по данной теме в школьных учебниках. Трудности при решении задач с параметрами обусловлены тем, что наличие параметра заставляет решать задачу не по шаблону, а рассматривать различные случаи, при каждом из которых методы решения существенно отличаются друг от друга.

В связи с этим возникла необходимость в разработке и проведении элективного курса для старшеклассников по теме: «Решение задач с параметрами».

Многообразие задач с параметрами охватывает весь курс школьной математики. Владение приемами решения задач с параметрами можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления.

При проведении занятий на первое место выходят следующие формы организации работы: лекционно-семинарская, групповая и индивидуальная. Рекомендуемые методы работы: исследовательский и частично-поисковый. Задачи с параметрами дают прекрасный материал для настоящей учебно-исследовательской работы.

Задачи курса

1.      Сформировать у учащихся устойчивый интерес к предмету;

2.      Выявить и развить математические способности;

3.      Подготовить  к обучению в вузе

Цель курса

1.      Формировать у учащихся умения и навыки по решению задач с параметрами, сводящихся к исследованию линейных и квадратных уравнений, неравенств.

2.      Изучение курса предполагает формирование у учащегося интереса к предмету, развитие их математических способностей.

3.      Развивать исследовательскую и познавательную деятельность учащегося.

4.      Обеспечить условия для самостоятельной творческой работы.

В результате изучения курса учащиеся должны

1.      Усвоить основные приемы и методы решения уравнений, неравенств систем уравнений с параметрами.

2.      Применять алгоритм решения уравнений, неравенств, содержащих параметр.

3.      Проводить полное обоснование при решении задач с параметрами.

4.      Овладеть навыками исследовательской деятельности.

Структура курса планирования учебного материала

Темы:

            I.        Первоначальные сведения. 2ч

         II.        Решения линейных уравнений, содержащих параметры. 2ч

      III.        Решения линейных неравенств, содержащих параметры. 2ч

      IV.        Квадратные уравнения и неравенства, содержащие параметры. 8ч

         V.        Свойства квадратичной функции в задачах с параметрами. 6ч

      VI.        Нестандартные задачи с параметрами. 6ч

         §  количество решений уравнений;

         §  уравнения и неравенства с параметрами с некоторыми условиями

   VII.        Текстовые задачи с использованием параметра. 6 ч

 VIII.        Итоговые занятия 2ч.

Краткое содержание курса

I. Первоначальные сведения.

Определение параметра. Виды уравнений и неравенств, содержащие параметр.
Основные приемы решения задач с параметрам.
Решение простейших уравнений с параметрами.

Цель: Дать первоначальное представление учащемуся о параметре и помочь привыкнуть к параметру, рассмотреть понятие «параметр», его существенный признак и двойственная природа, особенности записи ответов при решении заданий с параметром.

Примерное содержание.

Решить уравнение с параметром - это значит найти все те и только те значения параметра, при которых задача имеет решения.

Условимся считать, что параметры в уравнениях принимают действительные значения, в задачах с параметрами  отыскиваются действительные решения.

Другими примерами  равенств с параметрами могут служить  общие виды функций, изучаемых в основной школе.

- линейная функция y=kx+b, (k, b - параметры, x, y- переменные);

- квадратичная функция y= ax²+bx+c, гдеа≠0 (a, b, c-параметры, x, y -переменные).

Задачи с параметрами мы встречаем и в геометрии. Уравнение окружности  с центром в начале координат имеет вид , где x, y- координаты точек - переменные, r- радиус окружности – параметр.

Моделируя различного вида задачи, можно получить различного вида уравнения, для которых нужно уметь выбирать ответы.

2. Решение линейных уравнений (и уравнений приводимых к линейным), содержащих параметр.

Общие подходы к решению линейных уравнений. Решение линейных уравнений, содержащих параметр.
Решение уравнений, приводимых к линейным.
Решение линейно-кусочных уравнений.
Применение алгоритма решения линейных уравнений, содержащих параметр.
Геометрическая интерпретация.
Решение системных уравнений.

Цель: Поиск решения линейных уравнений в общем, виде; исследование количества корней в зависимости от значений параметра.

Примерное содержание.

1. Алгоритм решения уравнений вида    Ах=В.

2. Рассмотреть примеры.

ПРИМЕР 1: Решить уравнение:

Решение.

Приведём данное уравнение к видуАх=В и воспользуемся алгоритмом.

,

,

Рассмотрим случаи:

Еслит.е.  и , то обе части уравнения разделим на . Получим , сократим дробь и получим единственное решение уравнения: .

Если , то подставив это значение параметра в уравнение, получим  или   - неверное числовое равенство, следовательно, данное уравнение решений не имеет.

Если , то подставив это значение параметра в уравнение, получим  или   - верное числовое равенство, следовательно, решением данного уравнения является любое действительное число.

Ответ:   при и   -  единственное решение уравнения:

при   -  нетрешений

при   -   любое действительное число.

ПРИМЕР 2: Решить уравнение:

Решение.

Приведём данное уравнение к видуАх=В и воспользуемся алгоритмом.

,

,

,

.

Рассмотрим случаи:

Еслит.е.  и , тогда получим  единственное решение уравнения: .

Если , то подставив это значение параметра в уравнение, получим  Решение этого уравнения зависит от выражения, стоящего в правой части. Рассмотрим случаи:  а) 2в – 1 = 0, т.е.  то подставив это значение параметра в уравнение, получим - верное числовое равенство, следовательно, решением данного уравнения является любое действительное число.

в) , т.е.  то подставив это значение параметра в

уравнение, получим  или   - неверное числовое равенство, 

следовательно, данное уравнение решений не имеет.

 3.  Если , то подставив это значение параметра в уравнение, получим  

 Решение этого уравнения зависит от выражения, стоящего в правой

части.

Рассмотрим случаи:  а) 4 – а = 0, т.е.  то подставив это значение параметра в

уравнение, получим - верное числовое равенство, следовательно,  

решением данного уравнения является любое действительное число.

в) , т.е.  то подставив это значение параметра в

уравнение, получим  или   - неверное числовое равенство, 

следовательно, данное уравнение решений не имеет.

 4.  Если  и , то подставив эти значения параметров в уравнение, получим  

            - неверное числовое равенство,  следовательно, данное уравнение решений 

не имеет.

Ответ:   при и   -  единственное решение уравнения:

при,   или  ,   -  любое действительное число

при,   или  ,      -   нетрешений.

3. Решение линейных неравенств, содержащих параметр.

Определение линейного неравенства.
Алгоритм решения неравенств.
Решение стандартных линейных неравенств, простейших неравенств с параметрами.
Исследование полученного ответа.
Обработка результатов, полученных при решении.

Цель: Выработать навыки решения стандартных неравенств и приводимых к ним, углубленное изучение методов решения линейных неравенств.

Примерное содержание.

1.На доске записаны следующие неравенства:

Задание. Решите неравенства и запишите ответ.

2.Сформулируйте свойства неравенств, которые использованы при решении.

Неравенства вида axbaxb, где a и b действительные числа или выражения, зависящие от параметров, а x – неизвестное, называются линейными неравенствами.

В зависимости от коэффициентов a и b решением линейного неравенства может быть либо неограниченный промежуток, либо числовая прямая, либо пустое множество.

3..  Решение линейных неравенств вида aх>b.

если a>0, то.

если a<0, то.

если a=0 и b<0, то.

Если a=0 и b0, то решений нет.

Пример 1. Решите неравенство ах>1.

1) если a>0, то 

2) если a<0, то 

3) если a=0, то  решений нет.

4.  Решение линейных неравенств вида aх<b.

если a>0, то.

если a<0, то.

если a=0 и b>0, то.

если a=0 и b0, то решений нет.

Пример 2. Решите неравенство ах<5.

1) если a>0, то 

2) если a<0, то 

3) если a=0, то  .

5. Решение линейных неравенств вида axb.

если a>0, то.

если a<0, то.

если a=0 и b0, то.

если a=0 и b>0, то решений нет.

Пример 3. Решите неравенство  ax4.

1) если a>0, то 

2) если a<0, то 

3) если a=0, то  решений нет.

6. Решение линейных неравенств вида axb

если a>0, то.

если a<0, то.

если a=0 и b0, то .

если a=0 и b<0, то решений нет.

Пример 4. Решите неравенство ах6.

1) если a>0, то  ;

2) если a<0, то  ;

3) если a=0, то  .

7. Решить неравенства.

(m-1)x<5m

если m-1>0,  т.е. m>1, то ,

2          если m-1<0,  т.е. m<1, то ,

3.         если m-1=0, т.е.  m=1, то  .     

(a-1)x>6

еслиa-1>0, т.е. a>1,   то,

2.    если a-1<0, т.е. a<1, то ,

3.    если a-1=0, т.е. а=1,  то решений нет.

При каких значениях параметра b уравнение   имеет положительный корень?

Решение.

Так как корень х>0, то  0,8 b+14>0;   0,8 b>-14;   b>-1,75.

Ответ: при b>-1,75

4. Квадратные уравнения  и неравенства, содержащие параметр.

Актуализация знаний о квадратном уравнении. Исследования количества корней, в зависимости от дискриминанта. Использование теоремы Виета. Исследование трехчлена.
Алгоритм решения уравнений.
Аналитический способ решения.
Графический способ.
Классификация задач, с позиций применения к ним методов исследования.

Цель: Формировать умение и навыки решения квадратных уравнений с параметрами.

Примерное содержание.

1.Повторить

Теорему Виета.

Тождество

Свойства функций   и

При каких значениях a, b, cи Д корни квадратного уравнения одного или разных знаков.

5.    Выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена.

2.Решить уравнения: 1)ax² + 2x + 4=0,

2)(a + 3)x²+2x(a+5)+2a+7=0.

Ответ: 1) x=-2 приа=0; х=-4 при а=1/4; при ; не имеет корней при а>1/4 .2) х=-1/4 при а=-3; х=1, х=-3/2

приа=-4,а=1;   при ; не имеет корней при .   

5. Свойства квадратичной функции в задачах с параметрами.

Область значений функции.
Область определения функции.
Монотонность. Координаты вершины параболы.

Цель: Познакомить с многообразием задач с параметрами.

 Примерное содержание.

Квадратичная функция задаётся формулой y=ax²+bx+c, гдепараметры, x и y- переменные. Графиком квадратичной функции является  парабола. 

Коэффициент  a определяет направление ветвей параболы. Еслиа>0 , то они направлены вверх, если а<0, то направлены вниз.  Дискриминант квадратного трёхчлена  D=b²-4ac  определяет  наличие и количество общих точек с осью  Ох. Если D<0, то парабола не пересекает ось абсцисс. Если D=0, то  парабола и ось имеют одну общую точку. Если D>0, то общих точек  две.

Графический способ решения задач с параметрами является универсальным, а значит  (обратная сторона любой универсальности), есть конкретные случаи, когда задачу можно решить несколько проще.

Пусть для функции y=ax²+bx+c, гдепараметры, x и y — переменные. Числа  и  – нули функции, D = b– 4ac, D> 0, , = - - абсцисса вершины параболы.            В этих задачах, как правило, требуется определить те значения параметра, при которых выполняется некоторое условие для расположения корней.

6. Нестандартные задачи.

Уравнения высших степеней. Теорема Безу. Симметрические уравнения. Система однородных уравнений и приводящиеся к ним. Аналитические способы решения уравнений высших степеней с параметрами. Графический способ решения уравнений  высших степеней с параметром

7. Текстовые задачи с использованием параметра.

Задачи физического содержания. Задачи на объемные доли и концентрации вещества. Задачи на проценты.

В этом разделе формируются навыки решения текстовых задач.

Планирование

(34 часа)

Заключение

Введение данного курса «Решение задач с параметрами» необходимо учащимся в наше время. Владение приемами решения задач спараметрам можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления.

Решение задач, уравнений с параметрами, открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применяемых в исследованиях и на любом другом математическом материале. Именно такие задачи играют большую роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, Поэтому учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами, успешно справляются с другими задачами.

Скачано с www.znanio.ru