Программа элективного курса по математике "Такие разные параметры"

Пояснительная записка.         Решение   уравнений,   неравенств,   систем   с   параметрами   является,   пожалуй,   самым трудным  разделом курса элементарной математики. Причина этого заключается в том, что основная стратегия математического образования в школе – это развитие умений и навыков решения определенного набора  стандартных задач, которые в основном связаны с техникой алгебраических   преобразований.   Уравнения   и   неравенства   с   параметрами     относятся   к иному типу задач – задач, для решения которых необходимо  умение проводить логические построения.   Кроме   того,   арсенал   стандартных   преобразований   должен   быть   пополнен некоторыми специфическими преобразованиями.         Элективный курс имеет   прикладное и общеобразовательное значение, способствует развитию   логического   мышления,   концентрации   внимания     и   математической   культуры учащихся,  повышает графическую культуру   школьников.   Воспитательный   эффект   заключается   в   формировании   таких   качеств,   как трудолюбие, аккуратность, целеустремленность.   ­   способствует   удовлетворению   познавательных   интересов   в   различных   областях       Данный элективный курс выполняет несколько функций:  ­ это «надстройка» профильного курса, затем такой профильный курс  становится в полной мере углубленным;   ­ расширяет содержание базисного курса (так как в курсе школьной математики данной теме уделено очень мало внимания и времени), что позволяет получить дополнительную подготовку для сдачи ЕГЭ по математике и лучше подготовиться к  поступлению в вуз;   деятельности.              Цели и задачи курса:        ­ сформировать   у  учащихся  представление   о  задачах  с параметрами  как задачах исследовательского     возможность непосредственного использования  задач с параметрами в повседневном опыте;   ­  научить применять  аналитический метод в решении задач с параметрами;   ­ научить приемам  выполнения изображений на плоскости  и их использовании  в решении задач с параметрами ( графический способ);          ­ способствовать развитию интеллектуальных и творческих способностей; интереса к исследовательской деятельности;    ­ формировать познавательный интерес к математике, развивать творческие способности, способствовать   подготовке   учащихся     вступительному   экзамену   по   математике     и       к продолжению образования.    характера,   показать   их   многообразие   и В результате изучения программы элективного курса учащиеся : ­должны     уметь   решать   линейные,   квадратные   уравнения   и   неравенства,   несложные уравнения   и   неравенства     иррациональные,   логарифмические,   тригонометрические   и показательные; ­использовать графики функций и уравнений при изображении множеств точек плоскости, заданных неравенствами; ­ овладеют методом решения задач с использованием графических интерпретаций;  ­ приобретут  навыки самостоятельной работы, работы  с учебной, справочной литературой и другими источниками информации. увереннее себя чувствовать на экзамене и показать свои знания в полном объеме.           Курс « Такие разные параметры»  рассчитан на 34 часа и состоит из  3 глав.            В первой главе  формируется понятие о параметре,   о методах   решения задач  с параметрами.         Во второй главе   основное внимание уделяется  аналитическому методу  решения (на примере   линейных,   квадратных   уравнений   и   неравенств,   и   уравнений   и   неравенств, приводящихся к данным типам ).         Третья глава   посвящена задачам, которые  решаются  с использованием графической интерпретации  , а также  задачам, решаемым различными способами.                 При     составлении данного курса использованы задания с параметрами, которые включались в ЕГЭ по математике за последние пять лет.               В работе имеется тематическое планирование, содержание курса  с методическими рекомендациями,   приложения,   содержащие   дополнительную   информацию   по   данному курсу.           Разработана организация и  аттестация учащихся по данному курсу. По результатам курса   учащиеся   получают   сертификат   об   окончании     данного   курса,   который   потом прикладывается в « Портфель достижений учащихся». Тематическое планирование   элективного  курса                                        «Такие разные параметры»                                   Тема о в т с е ч и л о К   в о с а ч                      Учебное      время                                                              Самообразовательная  работа                                                      учащихся                                                                  я и ц к е л   Работа с  литерату рой р а н и м е с с с а л к а м о д  конспект с с а л к а м о Д а т о б а р   я а к с ь л е т а в о д е л с с И   е о н ь л е т я о т с о м а С ы м е т     е и н е ч у з и Компьютерные технологии я и ц а т н е з е р П т е н р е т н И й о т е к с и д   с   а т о б а Р   я а к с ь л е т а в о д е л с с И а т о б а р а т о б а р   я а н ь л е т я о т с о м а С а т о б а р   я а н ь л о р т н о к   я я н ш а м о Д                         ) т е ч а з   (   1.1.Знакомство с параметром.  Понятие о задачах  с параметром.  Понятие об основных  методах  решения  задач с параметрами. Глава 1.Введение (2 часа) 2 + + + + + +  Глава 2. Аналитическое решение задач с параметрами (13 часов) +   +      +       +        +   +     +    +          +  +       +    +        +       + + +            +  +  +                +     +     2     2  + +      7 +   +   +   +   +  +  +          + 2.1.Решение линейных уравнений и   неравенств с параметрами. 2.2.Решение  квадратных уравнений и неравенств с параметрами. 2.3.Квадратный  трехчлен и                  параметр:  А)задачи на расположение  корней  квадратного трехчлена;  Б) Решение задач с  параметрами:   параметр и поиск решений , параметр и  количество решений уравнений,  неравенств и систем.  2.4. Обобщающее занятие по  решению задач с параметрами  аналитическими  методами. 2.5.Зачетная работа по данной                    теме.                                                                       Глава 3. Использование графических интерпретаций  в решении                                                       задач с параметрами (19 часов).                             3.1.Введение  координатно –  параметрического метода с  использованием  плоскости ХоА.  Решение задач  с использованием   изображения на плоскости ХоА.         +       +      1 +   +      +        6    +    +   +    +      +   +          +     +   +   +    1  + 3.2.Решение задач с использованием   изображения на плоскости ХоУ. 3.3.Решение задач   с параметром   разными  методами –  аналитический+графическая  интерпретация. Применение  к  высшей математике. 3.4.Обобщающее занятие  по  решению задач  графическим   способом. 3.5. Зачетная работа по данной теме.    2    6    1    2   +   +   +  +        +   +     +      +    +   +   +    +    +     +       +    +    +       + 3.6.Практическое приложение задач с параметрами.  Итоговое занятие.    1    1   +  +    +    +      +   + МУНИЦИПАЛЬНОЕ  ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  УЧРЕЖДЕНИЕ         СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №5                          426000, Г. Ижевск, ул.К.Маркса, 427, тел. 43­60­93                                                                      Рецензия на  элективный курс учителя математики Лепихиной Ольги Викторовны по теме «Такие разные параметры».     Элективный курс  представляет собой работу на актуальную тему. Актуальность темы обусловлена тем, что  данный элективный курс имеет  прикладное и   общеобразовательное значение, стимулирует  инициативность  математического  мышления и выработку  навыков практического  применения знаний по математике,   способствует  развитию логического мышления, концентрации внимания  и  математической культуры учащихся, повышает графическую культуру учащихся.      В процессе работы над элективным курсом  учителем были изучены теоретические  основы данной проблемы по научным трудам ученых­педагогов. Учитель  внедряет  данный курс на практике на базе  школы №5.     Элективный курс рассчитан на 34 часа для учащихся старших классов и состоит из  трех глав. В первой главе формируется понятие о параметре. Во второй главе основное  внимание уделяется аналитическому методу решения уравнений и неравенств. Третья  глава посвящена задачам, которые  решаются с использованием графических  интерпретаций.     В работе имеется тематическое планирование, содержание курса с методическими  рекомендациями, приложения, содержащие дополнительную информацию по курсу,  алгоритмы решений, дидактический материал, разработка двух занятий. В тематическом  планировании отражены все самостоятельные, индивидуальные, домашние и творческие  работы и самообразовательная работа учащихся. Кроме этого учителем разработана  балловая  рейтинговая система для учащихся, которую можно перевести в оценку. По  окончании курса учащиеся получают «Свидетельство», которое можно приложить в  портфолио. Материалы элективного курса соответствуют теме.   Материалы могут быть использованы в педагогической практике, при проведении  педагогических семинаров, заседаний школьного  методического объединения.    В целом работа О.В.Лепихиной соответствует требованиям, предъявляемым к  элективному курсу и заслуживает высокой оценки. Учитель математики  высшей категории                                Бухарина Ф.В. Учитель математики высшей категории                                  Шарипова Л.М. Руководитель ШМО,  учитель физики    высшей категории                                       Овчинникова Л.В. Алгоритм ПРИЛОЖЕНИЕ построения  Геометрического   Места Точек  (ГМТ) заданного   равенства: 1)Из заданного равенства  выразить переменную – ординату, как функцию другой переменной  – абсциссы. 2) Построить  график полученной функции – искомое ГМТ.  Замечание: при выполнении (1) может получиться  не одна функция, а несколько. Тогда  ГМТ состоит из объединения  полученных линий.Алгоритм построения ГМТ заданного неравенства:        1)заданное неравенство преобразовать таким образом, чтобы переменная – ордината была  уединена, а все переменные  ­абсциссы­ находились в другой части неравенства (при этом  возможно, что исходное неравенство заменится на эквивалентную ему схему из нескольких  неравенств).        2) Для построения ГМТ заданного неравенства в котором переменная – ордината  уединена, надо: А) построить границу искомого ГМТ путем замены неравенства  равенством и построить ГМТ  равенства (алгоритм выше). б)Построенная  граница искомого ГМТ  делит  координатную плоскость  на части (куски). в) Методом пробной  точки определить , какие куски отвечают заданному неравенству; г)Куски плоскости, входящие в искомое ГМТ, заштриховать, как множество точек входящих в  искомое ГМТ. д)Если граница или ее часть входит в искомое ГМТ, ее изобразить сплошной линией, если не  входит – пунктирной.          3)Построенные ГМТ заданные неравенствами перечисленными в схеме, надо объединить  или  пересечь в соответствии со схемой. Замечание: Если чертеж трудночитаемый, то рекомендуется письменно  указывать входит та  или иная часть границы или нет Графический подход                   при решении задач с параметрами  в плоскости ХоА: 1)Построить ГМТ в плоскости ХоА, чьи координаты удовлетворяют условию задачи; 2)Прочитать картинку ( при каждом фиксированном значении параметра а выверить те  абсциссы, для которых (х;а) принадлежит построенному ГМТ); 3)Соотнести найденное множество абсцисс при данном значении параметра а с условием  задачи; 4)Записать проект решения, внести в него необходимые уточнения, путем вспомогательных  вычислений и записать ответ.    Когда этот метод работает? Способ эффективен, когда можно построить ГМТ, т.е. параметр а входит линейно; или можно после преобразований привести к системе или совокупности неравенств или равенств; или  когда можно построить окружность или полуокружность.                       Аннотация  курса. Предлагаемый курс  ставит своей целью расширить математический кругозор учащихся  и развить у них  интерес  к применению математики  в различных областях. Эта цель реализуется посредством  знакомства с важным математическим  понятием «параметр» и разнообразием способов решений задач с параметрами. С многими исследовательскими задачами, которые приводят к параметру, учащиеся  сталкивались при доказательстве  теорем. С такими задачами учащиеся встречаются и при  решении текстовых, геометрических и физических задач. Поэтому  уравнения и неравенства с параметрами  имеют реальное  внутриматематическое и прикладное значение. Предпочтение в этом элективном курсе  отдается решению задач с параметрами  методом   «Геометрического места точек». Этот метод красив, удобен и более понятен учащимся при его  отработке. Но также рассматривается и аналитическое решение, и практическое применение.  Тематика и содержание  элективного курса  позволит  учащимся собрать воедино все математические знания, полученные к 11 классу; данный курс стимулирует   инициативность  математического мышления и выработку  навыков практического применения знаний по математике и является  ценнейшим средством развития способности учащихся к математической деятельности. Задания по теме «Аналитическое решение задач с параметрами» 1.Опора-конспект по теме «Линейные уравнения с параметрами» «Линейные нераенства с параметрами» 2. «Линейные уравнения и неравенства»- задания для самообразовательной работы учащихся. 3.Домашняя контрольная работа по теме «Квадратные уравнения с параметрами» 4.Задания по теме» Расположение корней квадратного трехчлена». 5.«Задачи на расположение корней квадратного трехчлена» - самостоятельная работа 6.Задания для подготовки к зачету 7.Дополнительные задания для сильных учащихся 8.»Задачи на исследование квадратного трехчлена» 9.Задачи для зачетной работы по теме «Аналитическое решение задач с параметрами». «Использование графических интерпретаций в решении задач с Задания по теме параметрами» 1.Алгоритм построения ГМТ 2.»Задачи, решаемые ГМТ» - домашняя контрольная работа 3.»Решение задач с использованием изображения на плоскости ХоУ» 4. Задания, решаемые с помощью ГМТ.ЕГЭ.2003год. 5.»Зачетная работа по теме «Использование графических интерпретаций в решении задач с параметрами». 6.»Уравнения, неравенства и системы с параметрами» - самостоятельная работа с использованием различных способов. 7. Задания с параметрами Занятие16 . Введение координатно – параметрического метода с использованием плоскости хОа. «Но когда эти науки (алгебра и геометрия) объединились, они энергично поддержали друг друга и быстро зашагали к совершенству». Ж.А.Лагранж. Цель: ввести   координатно­ параметрический метод, познакомить с основоположником   координатной плоскости Рене Декартом, рассмотреть алгоритм ГМТ, на примере  показать  применение данного метода (работа на занятии  ведется по распечатке  «Задачи, решаемые с помощью ГМТ. ЕГЭ.2004 год».). Учитель. При решении задач с параметрами наряду с аналитическими методами   эффективно применяется  метод аналитической геометрии –координатный метод  Декарта.  Обратимся к историческим фактам. (Предлагается   рассмотреть   биографические сведения из жизни Рене Декарта,  сделать обзор  работы Декарта   «Рассуждения о методе..». Это может сделать учитель или учащиеся, которым данное  задание было предложено на предыдущем уроке. )    Решение данным методом  приводит к необходимости рассмотреть  на координатной  плоскости  семейства линий и связан с построением  множеств и графиков функций.    Решая уравнения и неравенства необходимо делать равносильные преобразования, так  как проверка может оказаться затруднительной.   Рассмотрим алгоритм  построения ГМТ (геометрического места точек)­ распечатка с  алгоритмом у учащихся лежит на столе. (Обсудить алгоритм и показать его применение  на следующей задаче.) a6   можно расположить два отрезка длиной 4 и длиной 1, не  Найти все значения параметра а, при которых в множестве решений неравенства   x(x­2a+6)+a²<12a­ x имеющих общих точек.   Решение:                       x(x­2a+6)+a²<12a­ x                       х²­2ах+6х+а²­12а+6а²/х<0                       (х­а)²+ <0 a6    6 6 a x  12 ax x 6 (х­а)²< 0 x (   <0 )( xax x                        (х­а)²+                        (х­а)² (1+6/х)<0 )6                           Построим геометрическое место точек  заданное данным неравенством в плоскости   хОа.  Построим  графики данных  функций: 1) х=а 2)  х=­6 3)  х=0. Учитывая, что неравенство строгое, эти линии строим пунктиром. Данные прямые поделили всю плоскость на  6  областей.   Определяем знак каждой области методом пробной точки.    Учитывая, что (х­а)²>0 всегда, можно рассмотреть  выражение     (Знак первых двух областей просчитать вместе с учащимися, остальные области  учащиеся просчитывают самостоятельно.) x 6   . x  0  0             67   Должна получиться следующая запись:  1) (­7;0)             2)(­7;­8)            3)(­1;0)              7 67                                                                           4)(­1;­2)                  5)(1;2)                   6)(1;0) 61                                                                               1 61   7             0  0  0    1 61  61  1  1  0 После этого заштриховываем те области, где получился знак  « ­ ».  Получается следующий чертеж.   Считываем рисунок и записываем: Если а≤­6,     то  х(­6;0) Если ­6<а<0, то  х(­6;а) (а;0) Если  а>0,      то  х(­6;0).  Далее формируем ответ.   Если а<­5,  то в ГМТ  можно расположить  два отрезка длиной  4 и длиной 1 и они не  имеют общих точек, так как решение выглядит, как (­6;0).   Если а=­5,  то в ГМТ нельзя поместить  эти два отрезка, так как решение выглядит , как (­6;­5) (­5;0).   Если  ­5<а<­4, то в ГМТ можно расположить два отрезка предложенных длин.   Если ­4≤а≤­2, то в ГМТ нельзя поместить два отрезка  указанных размеров, так как  решение выглядит , как (­6;а) (а;0).   Если ­2<а<­1,  то в ГМТ можно расположить два отрезка предложенных длин.   Если а=­1, то решение выглядит , как (­6;­1) (­1;0) и два отрезка предложенных длин  там не поместятся. Если а>­1, то в ГМТ  можно расположить  два отрезка длиной  4 и длиной 1 и они не  имеют общих точек, так как решение выглядит, как (­6;0).   Записываем ответ.  Ответ : при а(­ ;­5) (­5;­4) (­2;­1) (­1;+  ) в множестве решений неравенства   можно расположить два отрезка длиной 4 и длиной 1, не имеющих общих точек.     На закрепление  решить задание №2 ( с частичной проверкой на доске).  Домашнее задание:1) предложить учащимся найти дополнительные сведения в  Интернете;                                  2) сделать презентацию по данному методу;                                  3) Выдать домашнюю контрольную работу ( она выполняется в  течение определенного времени и сдается к какому­то сроку с подробным  оформлением в отдельной тетради);                                  4) домашнее задание к следующему занятию: рассмотреть и решить  задачи с листа «Задания, решаемые с помощью ГМТ. ЕГЭ 2004».Задачи №3­7 и 1­3. Задания с параметрами.  p  x . p  2 7( p  3 x 32   7 p  p 2  p 3 1  21 67  2  )3 x 35  x 5 )32( xp  x 1.Известно, что уравнение (3р+10)х²+(р+14)х+9=0 имеет хотя бы один корень. Найти все значения параметра р, при которых число различных корней этого уравнения равно  числу различных корней уравнения 2.Найти все значения параметра р, при каждом из которых  число различных корней  уравнения  равно числу различных корней уравнения (р+3)х²+2х(р+9)+27=0. 3.Найти все значения параметра р, при каждом из которых  число различных корней  уравнения  равно числу различных корней уравнения (4­3р)х²­(р­4)х+1=0. 4. Найти все значения параметра а, при каждом из которых  уравнению  (2х­а­2)log x+a+1  0   А) два значения переменной х;   Б) одно значение переменной х;   В) имеют  корни, принадлежащие   отрезка. 5. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение  aa  (х­1)log x+a+1   1 x А) имеет  один корень; Б) удовлетворяет ровно два различных значения переменной; В) имеет решения, принадлежащие отрезку [ 2;4], но не имеет решений, лежащих вне  этого отрезка; Г) не имеет решений. , но не имеет корней, лежащих вне этого    удовлетворяют  ровно 3 ax 2 2 ax  x  6 6 x a   3 12 5;2 =0   x  1 6. Решить уравнение и указать количество решений при каждом значении параметра а   a 4 x    x 2 a  11 8 x  0 . .   p 1 = 3 x   )6 x p   5 x (2 p )2 x )38(4  p 7( )3  )(1 x ([ (2х­3а)log a+2­x  7. Даны два уравнения log 5 (x(3p²+1))=(p­3)4 ­12x  и   2x+  Значение параметра р выбирается так, что р#­2 и число различных корней первого  уравнения в сумме с числом  различных корней второго уравнения дает число 4­р.  Решите первое уравнение при каждом значении параметра выбранного таким образом. 8.Даны  два уравнения  =2х­3­2р  и  (1+2   ) =85­х. Значение параметра р выбирается  так, что р#0 и число различных корней первого уравнения в сумме с числом 1+р дает   число  различных корней второго уравнения. Решите второе уравнение при каждом  значении параметра выбранного таким образом. 9. Даны  два уравнения  log 3(х Значение параметра р выбирается так, что р#­4 и число различных корней первого  уравнения в сумме с числом    различных корней второго уравнения дает число  7­р. Решите первое уравнение при каждом значении параметра выбранного таким  образом. = 5р­10х  и  Х­  + (2 p ( px )2 x )4   9p 12(5 3 x xp )19 15 3 x  .   x 2  p 1  x 8   1 x   (2 x p 4( )1 x ) p р²+10­16х и   . Значение параметра р выбирается так, что р#4 и число  10. Даны  два уравнения  log 4   Х+   различных корней второго уравнения  равно произведению числа различных корней  первого уравнения и числа р­2. Решите первое уравнение при каждом значении  параметра выбранного таким образом. 11. Найти все значения параметра а, при которых  сумма целых чисел, принадлежащих  области определения функции больше 10, но меньше 20.  У=(а х+1 +х 4 log  a+а 3+5log x­( x ) 10+2xlog a­ a 16) ­0,8/ 12. Найти значения, которые может принимать сумма квадратов различных  действительных корней уравнения  х²+3ах+3а²­3а­15=0. 13.При каких действительных р уравнение  4 х +2 х+2 +7=р­4 –х ­2∙2 1­х имеет решение?  14.Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение  8x =­ах+3а+2 имеет единственное решение? 15. Найти все значения р, при которых уравнение 8sin³x=p+9cos2x:  а) не имеет решений;  б)имеет одно решение;  в) имеет два решения? 16. Найти  все значения а, при которых множество решений неравенства содержится  в  a   некотором отрезке длиной 7 и при этом содержит какой­нибудь отрезок длиной 4:  1­ x a 2 8 (1­ x a2  ). x < 17.Найти все значения а, при каждом из которых  оба числа 4sina­3  и + x 8cos2a+16sina+1  являются решением неравенства    2 21( x x  log x )65 x  29 ≥0.  2 2 a 2 a 7 2 x 20 4 ))≤0. +1  и ­2а³­6 являются решениями  неравенства 18.Найти все значения а, при каждом из которых оба числа а 7а²+8а 7  log 0,5x­2  (log 5( 19.Найти все значения  х, которые удовлетворяют неравенству (2а­1)х²<(а+1)х+3а при  любом значении параметра а, принадлежащем промежутку (1;2). 20. При каких значениях m  неравенство  (m­2)x+2m­16<0 верно при всех значениях х,  удовлетворяющих условию |х|≥5. 21. При каких значениях к неравенство  (к­1)х+2к+1>0  верно при всех значениях х,  удовлетворяющих условию ­2≤х≤5. 22.При каких значениях а множество решений неравенства  х(х­4)+а²(а+4)≤ах(а+1) содержит  не более  4 целых значений х? 23.Найти все значения параметра а, при которых неравенство (х­3а)(х­а­3)<0  выполняется при всех х, таких что 1≤х≤3. 24. Найти все значения х, которые удовлетворяют неравенству  (2а­1)х²<(а+1)х+3а при любом значении параметра а, принадлежащего (1;2). 25.При каких значениях параметра а множество решений неравенства х(х­4)+а²(а+4)≤ах(а+1)  содержит не более 4 целых решений? 26.Найти все значения параметра а, при которых неравенство (х­3а)(х­а­3)<0  выполняется при всех х, таких что 1≤х≤3. 27.Найти все значения х, при которых неравенство (2а­6)х²+(32­10а)х­(8+а)<0 выполнено для всех а, удовлетворяющих условию 2<а<4? 28.Найти все значения параметра а, при каждом из которых  решением неравенства log x  (x­a)>2 является объединение двух ограниченных промежутков?