Программа элективного курса "Применение математических методов и моделей для решения задач экономического содержания" (8-10 класс)

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 31 города Мурманска Приложение к программе элективного курса   «Применение математических методов и моделей для решения задач экономического содержания » уровень базовый  (усиление прикладной направленности математики) 8­10 класс Автор: Иванова Татьяна Ивановна МБОУ г. Мурманска  СОШ № 31 город Мурманск,  2017 год 1 Примерные задачи, рассматриваемые в курсе изучения экономического модуля Понятие спроса и предложения Микроэкономика занимается анализом деятельности отдельных подразделений хозяйственной   системы   (отдельных   фирм,   предприятий,   рынков   конкретных видов товаров или услуг и т.д.). Одной из важных составляющих такого анализа является изучение взаимодействия спроса и предложения. Спрос – сложившаяся в определённый период времени зависимость  величин спроса на данном товарном рынке от цен, по которым товары  могут быть предложены к продаже. Закон спроса – повышение цен ведёт к уменьшению величины спроса, а  снижение цен к её увеличению. Предложение  – сложившаяся в определённый период времени  зависимость величин предложения на  рынке определённого товара в  течение определённого времени (месяца, года) от уровня цен, по которым этот товар могут быть продан. Закон предложения – повышение цен обычно ведёт к росту величины  предложения, а снижение цен – к её уменьшению 2 Рыночное равновесие – ситуация на рынке, когда предложение и спрос  совпадают или эквивалентны при цене приемлемой и для потребителя  и для производителя (продавца). Равновесная цена ­  цена позволяющая продать весь объём товаров,  который изготовители (продавцы) согласны при такой цене пустить на  продажу.  Прибыль – превышение выручки от продаж товаров над общей суммой  затрат над общей суммой затрат на их изготовление и продажу. выручка прибыль   цена выручка  количество  затраты 8 класс задача № 8.1  Повторение курса 7­го класса (Функции в экономике, спрос и предложение, рыночное равновесие) Зависимость между ценой товара и готовностью покупателей его купить по этой цене выражается формулой:   Q (P) = 15­4P, а зависимость между ценой товара и готовностью продавцов его продать по этой цене выражается формулой: Q (P) = ­3+5P. Определить при какой цене интересы и покупателей, и продавцов  будут  соблюдены, и сколько товара по этой цене будет продано на рынке. Решение. I способ (графический).  Построим в системе координат графики данных функций. P 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 Q Точка их пересечения и даст нам равновесные цену и объём продаж.            Цена:   Р = 2 ден.ед.            Объём продаж:   Q = 7 ед. Замечание:   следует учесть, что  в экономике аргумент функции записывается  на вертикальной оси, а значения функции на горизонтальной.  II способ (аналитический). Составим систему уравнений. 3 P Q     2  7  P 15 5  P 53  Q  Q  Вывод: при цене 2 ден.ед. на рынке будет продано 7 ед. товара. Это та цена и  количество, при которых состояние рынка будет равновесным, т.е. все  покупатели,  которые хотели купить товар смогут его купить, а продавцы  смогут продать весь имеющийся у них товар. Вопросы:     Изменится ли состояние рынка, если продавцы, желая получить больше  прибыли,               установят цену выше рыночной? ( Да. Произойдёт  затоваривание рынка.)  Изменится ли состояние рынка, если увеличится доход населения? Задача № 8.2   (Решение уравнений, возникающих при исследовании математических Дробно ­ рациональные уравнения моделей экономики)  На линии молочного завода изготавливается два вида мороженого: шоколадное  и клубничное. За 8 часов работы с каждой линии сходит одинаковое количество  порций мороженого. Но в этот день на шоколадной линии произошла поломка, и  выпуск шоколадного мороженого сократился на 2 тыс. порций. При этом по  расчётам технологов на изготовление одной порции шоколадного мороженого  затрачивается на 1,2 сек. времени больше, чем на выпуск одной порции  шоколадного мороженого. Сколько порций клубничного и шоколадного  мороженого было выпущено в этот день? Решение. Обозначая через Х число порций клубничного мороженого, выпускаемого за 8  часов                  (480 минут), получаем уравнение: 480  200  480 Х Х  02,0   ( 1,2 сек.=0,02 мин.) Вывод: (традиционный ответ на  поставленный вопрос). Задача № 8.3   (Деятельность банковской системы, простейшие прогнозы выгодности Неравенства сделки.) 4 Клиенту предложили сделку: он кладёт деньги в банк, где они каждый месяц  удваиваются. В это же время клиент платит банку2400 руб., которые банк  изымает из его же денег после каждого их удвоения. Выгодна ли сделка клиенту  и, при каком условии? Решение. Пусть величина первоначального вклада составляет X рублей.  Тогда условие выгодности сделки может быть записано так:                                                                     2Х – 2400 >Х                                                                     Х>2400 Вывод:  сделка будет выгодна клиенту, если его первоначальный вклад будет                 больше 2400 руб. Вопросы:    Что будет при вкладе 2400 руб.? ( При вложенных 2400 руб.клиент ничего не потеряет, но и ничего не выиграет. )  Что будет при вкладе меньше 2400 руб.? (При  вкладе меньше 2400 руб.  клиент и вовсе будет нести потери.) Задача № 8.4    Системы линейных уравнений и системы, сводящиеся к ним (Определение экономической выгоды) Затраты на перевозки одного и того же вида груза разными видами транспорта  вычисляются по формулам:   у 1 у 2   100 200   х 40 20 х , где х расстояние в сотнях  2 1; уу  ­ стоимость перевозки в денежных единицах. Определить  километров;  графически, с какого расстояния более экономичным становится второй вид  транспорта по сравнению с первым.  Решение Построим графики функций  х 40 20 х Пусть А – точка пересечения графиков.    100 200 у 1 у     2 . Очевидно, х, у > 0  5 Координаты точки А определим решив систему      у 1 у 2   х 40 100   200 20 х      х у     5  300 Таким образом, вправо от точки А  ( 5; 300) выгоднее перевозка вторым видом  транспорта, т.е. начиная с 500 км. Ответ: 500 км.  Задача № 8.5 Решение  систем уравнений второй степени с двумя неизвестными и системы сводящиеся к ним. (Производительность труда) Две бригады рабочих начали работу в 8 ч. Сделав вместе 72 детали, они стали работать   отдельно.   В   конце   рабочего   дня,   в   15   ч   выяснилось,   что   за   время раздельной работы первая бригада сделала на 8 деталей больше, чем вторая. На другой день первая бригада делала в час на 1 деталь больше, а вторая — на 1 деталь меньше. Работу бригады вновь начали  в 8 ч. Сделав 72 детали, стали работать   раздельно.   Теперь   за   время   раздельной   работы   первая   бригада сделала   на   8   деталей   больше   уже  к   13   ч.   Сколько   деталей   в   час   делала каждая бригада? Решение. Пусть: в первый день х деталей в час делала первая бригада,   у деталей в час — вторая бригада. 6 Тогда:     72  у х    часа  проработали обе бригады в первый день совместно.  Продолжительность первого рабочего дня 7 часов,  72  поэтому раздельно бригады проработали  Тогда (х+1) – производительность труда первой бригады во второй день, (у­1) ­ производительность труда второй бригады во второй день, значит во   часов.       7 у х  второй день бригады совместно проработали   72  ( )1 ( х у  )1  72  х у  часа. Второй день длился 13­8=5 часов. Значит раздельно бригады проработали     5 72  х у часов.       Тогда  7  72  х у    х ­ количество деталей, сделанных первой бригадой в первый день за время раздельной работы 7     72  х у    у ­ количество деталей, сделанных второй бригадой в первый день  за время раздельной работы Отсюда получим первое уравнение системы 7     72  х у    х  ­  7     72  х у    у  =8, или   7  72  х у  х  8 у  5     72  х у     1  х ­ количество деталей, сделанных первой бригадой во второй  день за время раздельной работы      5  72  х у     у  1 ­ количество деталей, сделанных второй бригадой во второй  день за время раздельной работы   Составим второе уравнение:  5     72  х у     1  х  ­  5     72  х у     у  1  = 8, или 5     72  х у     х  у  8 2  Решим систему способом замены переменных    7  5              7 72  х 72  х у у   у 8 х   8 2 у  х         Пусть     72  х у    а ,   х  b у , тогда система примет вид         b  5  8      7 а а 7 ,  8  а  2   8  Получаем    а 1   b   1   а    b   2 поэтому корень  13, у = 11 2  9  4  3  2  из условия задачи ясно, что  х>у, а значит  x  b y >0,  b 1 4  не подходит, следовательно  a ,3  b 2 , поэтому х =  Ответ: первая бригада делала 13 деталей в час, вторая – 11 деталей в час. Проценты Простые проценты Пусть К — сумма начального вклада, р — годовая процентная ставка. Через п лет величина вклада составит Кп  К 1     р 100  п      (формула 1) Начисления на вклад, определяемые формулой (1), называются простыми  процентами. Начисления на вклад по формуле простых процентов –  прообраз арифметической прогрессии 8 Сложные проценты Проценты считаются сложными, если начисления на вклад ведутся не от первоначального вклада, а с учетом предыдущих процентных накоплений (т.е. с учетом получения процентов на  проценты). Пусть  К  — начальный денежный вклад под р % годовых. После   года вклад будет равен: п  го Величина вклада при сложных процентах, начисляемых не один, а  т раз в год  вычисляется по формуле КК  п    1  р 100 п    КК  п пт 1     р  т 100    Начисления на вклад по формуле сложных процентов  –  прообраз геометрической прогрессии Задача № 8.5 Решение квадратных уравнений (Вычисление ставок процента в банке) Какой процент ежегодного дохода давал банк, если, положив на счёт 13000 руб., вкладчик через 2 года получил 15730 руб.? Решение.  Если Х­годовой банковский процент, то по формуле сложных процентов                                          получаем     п п КК     1  13000    01,01( х 100  15730                                             отсюда                                        Х=10  и   Х= ­ 210 (искл. по смыслу) Вывод:  банк давал 10 % годового дохода.  2) Х  , Вопросы:    Почему исключили  ­ 210 %? ( Сумма вклада растёт, значит, процент не может быть отрицательным)  Если бы Х = 210 , мы бы тоже его отбросили? ( Да, т.к. он нереален. Ни  один банк не станет давать вкладчику за год в качестве процентных  отчислений сумму, которая почти в два раза превышает сам вклад.)  9 Задача № 9.1  9 класс Прогрессии (Простые и сложные проценты. Анализ предполагаемой выгоды.) У нас образовалась прибыль в размере 100у.е. Есть три банка, в которые можно  положить деньги:    1­й банк ­ простые проценты из расчёта 3 % в месяц;                  2­ й банк – под простые проценты из расчёта 40 % в год;                  3 –й банк – под сложные проценты из расчёта 30 % в год. Мы хотим положить деньги на три года. В каком банке это наиболее выгодно? Решение. Простые проценты – прообраз арифметической прогрессии. Постоянно за  определённый промежуток  (месяц, год) начисляется одна и та же сумма,  определённая количеством процентов. Сложные проценты – прообраз геометрической прогрессии. Каждый год сумма увеличивается в одно и то же число раз. 1 а 1.    1­й банк:       100                              Найти  2.     2­й банк:       100                               Найти  1 а , d=0,03 37а .    (Ответ: через 3 года получим 101,08 руб.) , d= 0,4 4а .     (Ответ: через 3 года получим 220 руб.) 3.     3­й банк                                     Найти  1 а 100 , q=1,3 (100 %+30 %) 4а .     (Ответ: через 3 года получим 219,7 руб.) Вывод:  выгоднее положить деньги во второй банк. Вопрос:                  Изменится ли что­то, если деньги класть на 5 лет? ( Да. Выгоднее на 5  лет класть деньги в 3­й банк.) Задача № 9.2 Руководство фирмы считает, что для замены части оборудования потребуется  10 000 тыс ден.ед. На эту сумму в банке был оформлен кредит на 2 года под 6 % годовых. Процентная ставка фиксирована, проценты сложные. Сколько денег  ежемесячно должна вносить фирма в банк, чтобы  в срок погасить кредит? Решение. В нашем случае К =10 000, р =6 %, п = 2. Сумма основного долга и  процентов составит К 2     1 10000  6 100 2    11236 . . ед ден 10 Следовательно, ежемесячные платежи фирмы равны 11236  17,468 . ед . ден 24 Ответ: 468,17 ден. ед. Задача № 9.3 Наибольшее и наименьшее значение функции  (Решение задач о максимальном выпуске и минимальной стоимости без использования производной) Пусть некоторая фирма изучила связь между ценой Р (руб.)единицы своего  товара и количеством q единиц товара, продаваемого за день, и установила, что                                                           q = 570 – 3р Выясним, какую цену на товар установит фирма, чтобы выручка от его  реализации была наибольшей. Решение.    1.  Поскольку  0q    2.   Пусть u­выручка,  значит      3.   Выражение      23 p р =570/6 = 95,             его значение в этой точке равно  27075 . Вывод:  Оптимальная цена равна 95 руб. При этом выручка составит 27075 руб. ,    очевидно, что    u    принимает наибольшее значение при  190 23 p 0 570  или    570 p  0р   и    qp  p p  u   Вопрос:   Будет ли величина прибыли равна 27075 руб.? (Нет. Прибыль – это  выручка минус затраты)  Есть ли смысл повышать цену на товар?  (Нет, т.к. на промежутке  190,95    функция u(P) убывает, а значит,  выручка будет падать.)         Задача № 9.3  Уравнения, неравенства, системы (Рыночное равновесие, динамика равновесия при изменении условий) Исследования рынка труда города М., показали что на местном рынке труда  низкоквалифицированной рабочей силы  спрос на труд имеет следующий вид: L = 5000­2w,  а предложение труда характеризуется функцией:  L=1000+2w,  где L­количество работников, а w­ величина заработной платы.  Каковы значения зарплаты и численности работников на данном рынке труда,  при которых будут удовлетворены и интересы наёмных работников и их  работодателей? Решение. Рассчитаем условие равновесия рынка, решив систему 11 L L     5000  1000   2 w w 2         Решением системы является пара w=1000,  L= 3000 Вывод:  Равновесный уровень заработной платы равен 1000 рублей в месяц при  численности занятых 3000 чел. Вопрос:  Перед выборами губернатор города М. пообещал зафиксировать размер  минимальной зарплаты на уровне 1500 рублей в месяц и снизить  безработицу на рынке низкоквалифицированной рабочей силы.                  Прокомментируйте совместность этих целей. В результате установления минимального размера оплаты труда на уровне 1500  рублей работодатели смогут принять на работу только 2000 человек, а  количество желающих работать при этом уровне зарплаты составит 4000  человек. В итоге занятость сократится до 2000 человек при избыточном  предложении рабочей силы в 2000 человек. Таким образом, имеем, что одновременного увеличения зарплаты и сокращения  безработицы на рынке труда города М., как обещает губернатор, не произойдёт. « Применение дифференциального исчисления» 10 класс Экономический смысл производной 12 Производственная функция — экономико­математическое уравнение,  связывающее переменные величины затрат (ресурсов) с величинами  продукции (выпуска).   Применяются для анализа влияния различных факторов на объем  выпуска в определенный момент времени.    В отдельной фирме, корпорации и т. п. ПФ описывает максимальный  объем выпуска продукции, которую они в состоянии произвести при  каждом сочетании используемых факторов производства. Предельные издержки производства – это дополнительные затраты  предприятия для производства дополнительной единицы продукции Значение производной функции в данной точке есть  предельные  издержки производства при данном его объёме. )(tи и  , выражающая объём произведённой  Производительность труда Пусть дана функция  продукции и за единицу времени t,  а  z(t) – производительность труда в момент времени t  , тогда производительность труда в момент времени есть значение  производной функции  )( tz  tu )( )(tи Задача № 10.1  (экономический смысл производной) (Производительность труда) 10 класс Объём продукции  и,  выпускаемой рабочим в течение рабочего дня , выражается формулой 5 tu t )( 6 15 2 100 t  50   3 2 t  где  t  — время, ч; причем 1