Программа элективного курса "Теория чисел".

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ЛИЦЕЙ №12 МУНИЦИПАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДСКОЙ ОКРУГ ЛЮБЕРЦЫ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ УТВЕРЖДАЮ Директор МОУ лицея №12 ____________________________ А.И. Буданова «__» _______ 20 __ г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА Элективного курса  «Теория чисел» для  10 б класса  2019­  2020 учебный год                                                    Учитель Меркулова Ирина Львовна Пояснительная записка  Актуальность курса  определяется значимостью понимания школьниками особого положения теории чисел в школьной программе. Но программа школьного курса ограничена и не позволяет в полном объеме рассмотреть задачи на использования алгоритма Евклида при нахождении НОД  и решении   диофантовых   уравнений,   также   подробного   рассмотрения   фигурных,   простых   и составных, дружественных, совершенных чисел. Эти задачи часто включаются в письменные работы при поступлении в различные учебные заведения и вызывают у учащихся трудности, обусловленные необходимостью   понимания   закономерностей,   наличия   навыка   анализа   конкретного   случая   на основе   известных   общих   свойств   объекта,   систематичности   и   последовательности   в   решении, умения   объединять   рассмотренные   частные   случаи   в   единый   результат.   Разрешить   трудности учащихся и рассмотреть вышеназванные задачи может данный элективный курс «Теория чисел». Место и роль курса в образовательном процессе. Курс   «Теория   чисел»   предназначен   для   реализации   в   10   классе.   Он,   с   одной   стороны, поддерживает изучение основного курса алгебры, направлен на систематизацию знаний, реализацию внутрипредметных связей, а с другой – служит для построения индивидуального образовательного пути. Курс формирует такие умения и навыки как логичность и самостоятельность мышления, умение обобщать и систематизировать, навыки в решении задач.  Предлагаемый курс, как и любой другой, улучшает имидж и повышает конкурентоспособность школы, так как реализация данного курса дает более глубокие знания по математике, увеличивает уровень интеллектуального развития учащихся, что благоприятствует их дальнейшему обучению. При реализации курса будут созданы условия для того, чтобы ученик утвердился или отказался от   сделанного   им   выбора   направления   дальнейшего   учения   и   деятельности   в   области «Математика». А именно, при систематическом и более глубоком изучении тем ученик поймет, способен ли он заниматься изучением математики (решать более сложные задачи, чем предполагает школьная программа, рассматривать разные варианты решения одной и той же задачи, находить решение нестандартных задач и т.д.) и хочет ли он это делать.  Цель курса: перейти от репродуктивного уровня усвоения материала (простого решения задач) к творческому;   научить   применять   знания   алгоритма   Евклида,   свойств   простых   и   составных, дружественных,   фигурных,   совершенных   чисел,   Пифагоровых   троек,   составление   диофантовых уравнений при решении задач, а также применение предметной проектной деятельности и создание тематических презентаций учащимися. Задачи курса: ∙углубить и расширить знания по алгебре; ∙предоставить   ученику   возможность   реализовать   свой   интерес   к   выбранному   предмету, определить готовность ученика осваивать выбранный предмет на повышенном уровне;  ∙видеть   фигурные,   простые,   составные,   совершенные   и   дружественные   числа   и   уметь использовать их свойства для решения задач;  ∙уметь применять алгоритм Евклида при нахождении  НОД ; уметь решать диофантовы уравнения.  По типу  данный курс является предметным, главная задача которого состоит в расширении знаний по алгебре.   Мотивами для выбора данного курса у учеников могут быть следующие:      подготовка к выпускным и вступительным экзаменам; поддержка изучения базового курса математики; любопытство; заинтересованность математикой; профессиональная ориентация. 2 Требования, которым отвечает тематика и содержание курса:      поддержание изучения базового курса алгебры;   социальная и личностная значимость: повышается уровень образованности школьников, расширяется   их   кругозор,   удовлетворяются   познавательные   интересы   в   области математики;   обладание   значительным   развивающим   потенциалом   (развитие   математического мышления, умения систематизировать, обобщать, делать выводы). Данный   курс   предусматривает   использование   классно­урочной   и   лекционно­практической систем,   а   также   личностно­ориентированных   педагогических   технологий.   При   решении   задач значительное место должны занимать поиски идей решения, эвристические соображения, и только затем, само решение, найденное эвристически, проводится строгим логическим рассуждением. Теоретическую часть материала предполагается излагать в форме лекции. На всех практических занятиях  должна  присутствовать   самостоятельная   работа  учащихся:  индивидуально,  в  парах,   в группах – в зависимости от уровня обучаемости школьников. Также предусматривается работа с литературой,  работа в компьютерном классе,  публичные выступления,  проектная деятельность. Такая   организация   способствует   реализации   развивающих   целей   курса,   так   как   развитие способностей   учащихся   возможно   лишь   при   сознательном,   активном   участии   в   работе   самих учащихся.   Содержание курса может быть освоено как в коллективных, так и в индивидуально­групповых формах. Данная разработка предполагает освоение курса в коллективной форме. Ожидаемый результат изучения курса:    умение   самостоятельно   добывать   информацию   и   осознанно   ее   использовать   при выполнении заданий; приобретение опыта в нахождении правильного и рационального пути решения задачи; практика работы в группе: умение распределять обязанности, учитывать мнение каждого члена группы, адекватно оценивать работу товарищей (при условии коллективной формы организации обучения). Использование на уроках математики современных ИКТ позволяет моделировать различные уровни учебного процесса, к которым школьнику необходимо адаптироваться, формирует положительную мотивацию к изучению данного предмета, формирует компетенции в области ИКТ. Предлагаемый курс рассчитан на 34 часа.  Данный элективный курс используется для развития и систематизации знаний учащихся по теме и   подготовки   их   к   итоговой   аттестации,   выпускным   экзаменам   в   школе   и   вступительным испытаниям в вузы. Для данного курса не предполагается разработка учебного пособия для учащихся и рабочей тетради. Для самостоятельного и более подробного изучения курса школьниками  используется аннотированный список литературы, подготовленный к каждой теме.  Содержание изучаемого курса 1.Теория чисел.Нумерология. Задачи Пифагора. Фигурные числа. 2.Операции над целыми числами.    Представление целых чисел с помощью письменных знаков  (нумерация).  3.Магические квадраты.     4.   Простые и составные числа. Основная теорема о разложении на        множители.   Решето  Эратосфена. Совершенные числа.  Дружественные числа.     5. Наибольший общий делитель (НОД).  Взаимно простые числа. Алгоритм Евклида. Наименьшее общее кратное (НОК).     6. Диофантовы уравнения.     7. Игры с числами. 3 Учебно­тематический план  Тема №  п\п 1­3  4 5 6­7  Магические квадраты 8­15 Решето Эратосфена. Теория чисел. Нумерология. Задача Пифагора. Фигурные числа. Количество  часов 3 1 1 2 8 Простые и составные числа. Основная теорема о разложении на  множители Совершенные числа. Дружественные числа 16­17 Наибольший общий делитель (НОД) 2 Взаимно простые числа Наименьшее общее кратное 18­19 Алгоритм Евклида 20 21­23 Последовательности 24­30 Уравнения в целых числах. 31­32 Зачет 33­34 Итоговое повторение   Итого часов: 2 1 2 8     2     2 34 КАЛЕНДАРНО – ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ к рабочей программе элективного курса «Теория чисел» на 2019 – 2020 учебный год  (1 час в неделю, 34 часа в год) Учитель  Меркулова Ирина Львовна Тема №  п\п Теория чисел. Нумерология. Теория чисел. Нумерология. Теория чисел. Нумерология. Задача Пифагора. Фигурные числа. Магические квадраты 1. 2. 3. 4. 5. 6. 6 Количест во часов 1 1 1 1 1 1 фактически Дата проведения По  плану 04.09 11.09 18.09 25.09 02.10 09.10 4 Магические квадраты Взаимно простые числа Решето Эратосфена. Решето Эратосфена. 7. 7 8. 9. 10. Простые и составные числа. 11. Простые и составные числа. 12. Простые и составные числа. 13. Основная теорема о разложении на множители 14. Совершенные числа 15. Дружественные числа 16. Наибольший общий делитель (НОД) 17. 18. Алгоритм Евклида 19. Алгоритм Евклида 20. Наименьшее общее кратное 21. Последовательности 22. Арифметическая прогрессия 23. Геометрическая прогрессия 24. Уравнения в целых числах. 25. Уравнения в целых числах. 26. Уравнения в целых числах. 27. Уравнения в целых числах. 28. Уравнения в целых числах. 29. Уравнения в целых числах. 30. Уравнения в целых числах. 31. Уравнения в целых числах. 32. 33. Итоговая работа 34. Повторение Решение задач по теме: «Теория чисел» 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 16.10 23.10 06.11 13.11 20.11 27.11 04.12 11.12 18.12 25.12 15.01 22.01 29.01 05.02 12.02 19.02 26.02 04.03 11.03 18.03 01.04 08.04 15.04 22.04 29.04 06.05 13.05 20.05 5 1. Айгнер М., Циглер Г. Доказательства из Книги. Лучшие доказательства со времен Евклида до наших дней. –М.: Мир, 2006.­265с. Список использованной литературы. 2. Алфутова Н.Б. Устинов А.В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. ­ М.: МЦНМО, 2002.­264 с. 3. Бардушкин В.В., Кожухов М.Б., Прокофьев А.А., Фадеичева Т.П. Основы делимости в целых числах. Факультативный курс.­ М.: МГИЭТ (ТУ),2003.­224с. 4. Гашков С.В. Современная  элементарная алгебра в задачах и решениях.­ М.: МЦНМО, 2006.­ 328 с. 5. Громов,   А.И.   Пособие­репетитор   по   математике.   Подготовка   к   письменному   экзамену [Текст]: Учебное пособие / А.И. Громов, В.М. Савчин. – Ростов н /Д: Феникс, 2001. – 480с. 6. Егоров А.А., Работ Ж.М.Олимпиады «Интеллектуальный марафон».Математика.­ М.: Бюро Квантум, 2006.­128 с. 7. Канцель­Белов   А.Я.,   Ковальджи   А.К.   Как   решают   нестандартные   задачи/   Под   ред.   О.В. Бугаенко.­ 4­е изд., стереотип.­ М.: МЦНМО, 2008. 96с. 8. Мирошин В.В. Делимость натуральных чисел в задачах С6 из ЕГЭ. Математика в школе. Журнал. №3/ 2011, с.21. 9. Нестеренко  Ю.В. Теория чисел:  учебник  для студентов высших  учебных заведений.­  М.: Издательский центр «Академия». 2008. ­272с. 6 Требования к уровню усвоения учебного материала В   результате   изучения   программы   элективного   курса   «Теория   чисел»   учащиеся   получают возможность:   ЗНАТЬ:      различие   между   простыми   и   составными   числами,   а   также   способы   образования фигурных, совершенными, дружественными числами; способ нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного; алгоритм Евклида; приемы решения целочисленных уравнений. определять НОД и НОК  целых чисел, а также с помощью алгоритма Евклида. применять  основную теорему о разложении на множители  решать задачи на составление диофантовых уравнений.  находить способ решения задач, связанных с составлением  диофантовых  уравнений. УМЕТЬ:      Методические рекомендации При реализации программы целесообразно:         адаптировать   учебный   материал   соответственно   уровню   подготовки   контингента обучающихся.   При   этом   доступность   содержания   не   должна   наносить   ущерб   его научности;  при обсуждении задач использовать эвристику – искусство поиска решения, в котором можно   пользоваться   какими   угодно   соображениями,   нестрогими   рассуждениями,   в частности, геометрической интерпретацией;  предельно   ориентировать   содержание   изученного   материала   на   практическое применение;  уделять большое внимание процессу целеполагания;  обеспечить   условия,   необходимые   для   овладения   способами   самостоятельного взаимодействия с различными источниками информации настоящего времени;  использовать   разнообразные   методы   контроля,   итоговой   формой   контроля   является сдача папки с решенными задачами по курсу (не менее 2 задач за занятие);  считать критерием эффективности изучения программы повышение интереса к предмету и дальнейшее обучение в 10 классе математического профиля.  Для практической части необходимо подбирать задачи из действующих учебников алгебры 8­9 классов, отмеченные (*), а также задачи повышенной трудности . Для развития мотивации к изучению   курса   следует   подбирать   (заимствовать)   задачи   из   материалов   вступительных экзаменов в ССУЗы и вузы , либо с некоторыми изменениями в них, такими, чтобы задачи непосредственно примыкали к задачам вступительных экзаменов и по содержанию, и по уровню трудности.   С   другой   стороны,   содержание   вступительных   экзаменов,   уровень   трудности предлагаемых задач достаточно неопределенны, и поэтому решение этих более сложных задач позволит построить процесс диагностики для создания 10 класса математического профиля и, кроме этого, создаст «запас прочности» на будущее. На   заключительном   занятии   элективного   курса   можно   провести   конференцию   учащихся   с подведением   итогов   решения   задач   и   предоставлением   каждым   слушателем   своей   папки   с решенными в ней задачами, заинтересовавшими их (за одно занятие в папку должно отбираться не менее двух  задач). Составление  папки  с задачами способствует  закреплению  и систематизации знаний   учащихся.   В   будущем   она   может   пригодиться   при   подготовке   к   выпускным   и вступительным экзаменам. 7 Список использованной литературы. 10. Айгнер М., Циглер Г. Доказательства из Книги. Лучшие доказательства со времен Евклида до наших дней. –М.: Мир, 2006.­265с. 11. Александров В.А., Горшенин С.М. Задачник – практикум по теории чисел­ М.: Просвещение, 1972.­81с. 12. Алфутова Н.Б. Устинов А.В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. ­ М.: МЦНМО, 2002.­264 с. 13. Бардушкин В.В., Кожухов М.Б., Прокофьев А.А., Фадеичева Т.П. Основы делимости в целых числах. Факультативный курс.­ М.: МГИЭТ (ТУ),2003.­224с. 14. Виноградов И.М. Основы теории чисел. –Москва­Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2003, 176с. 15. Галкин   Е.В.   Нестандартные   задачи   по   математике.   Задачи   с   целыми   числами:   Учебное пособие для учащихся 7­11 кл.­ Челябинск:  Взгляд. 2005.­271 с. 16. Горбачев Н.В. Сборник олимпиадных задач по математике ­ М.: МЦНМО, 2004.­ 560с. 17. Гашков С.В. Современная  элементарная алгебра в задачах и решениях.­ М.: МЦНМО, 2006.­ 328 с. 18. Громов,   А.И.   Пособие­репетитор   по   математике.   Подготовка   к   письменному   экзамену [Текст]: Учебное пособие / А.И. Громов, В.М. Савчин. – Ростов н /Д: Феникс, 2001. – 480с. 19. Егоров А.А., Работ Ж.М.Олимпиады «Интеллектуальный марафон».Математика.­ М.: Бюро Квантум, 2006.­128 с. 20. Ермаков,   Д.   Течения   и   «подводные   камни»   в   море   элективных   курсов   [Текст]   /   Д. Ермаков //Народное образование. – 2007. – №1. – 155­162. 21. Ермаков, Д.С. Создание элективных учебных курсов для профильного обучения [Текст] / Д.С. Ермаков, Г.Д. Петрова //Школьные технологии. – 2003. ­ №6. – С. 22­29. 22. .Канцель­Белов   А.Я.,   Ковальджи   А.К.   Как  решают   нестандартные   задачи/   Под   ред.   О.В. Бугаенко.­ 4­е изд., стереотип.­ М.: МЦНМО, 2008. 96с. 23. Концепция модернизации российского образования на период до 2010 г. [Текст] //Вестник образования. – 2002. ­ №6. – С.3­13. 24. Концепция   профильного   обучения   на   старшей   ступени   общего   образования [Текст]//Стандарты и мониторинг в образовании. – 2002. – №3. – С.3­11. 25. Кудрявцев, Л.Д. О тенденциях и перспективах математического образования [Эл. ресурс]/ Л.Д. Кудрявцев, А.И. Кириллов, М.А. Бурковская, О.В. Зимина – www.AkademiaXXI.ru. 26. Мирошин В.В. Делимость натуральных чисел в задачах С6 из ЕГЭ. Математика в школе. Журнал. №3/ 2011, с.21. 27. Нестеренко  Ю.В. Теория чисел:  учебник  для студентов высших  учебных заведений.­  М.: Издательский центр «Академия». 2008. ­272с. 28. Об   элективных   курсах   в   системе   профильного   обучения   на   старшей   ступени   общего образования  [Эл.  ресурс]:  Информационное  письмо  Департамента  общего  и  дошкольного образования Минобразования России № 14­51­277/13 от 13.11.2003– www.profile­edu.ru  29. Оре.О . Приглашаем в теорию чисел.­ М.: Едиторшал УРСС, 2003.­128с. 30. Петунин,   О.В.   Элективные   курсы   на   этапе   предпрофильной   подготовки   [Текст]   /О.В. Петунин, Л.В. Трифонова // Школьные технологии. – 2006. ­ №1. – С.88­90. 31. Федяева   Л.В.   Элективные   курсы   по   математике   в   системе   профильного   обучения   [Эл. ресурс]/ Л.В. Федяева // Электронный научный журнал «Вестник Омского государственного педагогического университета». – 2007. – www.omsk.edu. 32. Черникова,   Т.В.   Методические   рекомендации   по   разработке   и   оформлению   программ элективных курсов [Текст]/ Т.В. Черникова // Профильная школа. – 2005. ­ №5. – С.11­16. 33. Элективные   курсы   в   профильном   обучении   [Текст]   /Министерство   образования   РФ   – Национальный фонд подготовки кадров. – М.: Вита­Пресс, 2004. – 144c.  8 Разработка занятий элективного курса «Теория чисел»  Занятия 1­3. Теория чисел. Нумерология. Цель:  Открыть   тайны   мира   чисел.   Познакомить   с   обозначением   чисел   у   разных   народов   в прошлом и числами великанами, показать их жизненную необходимость   Закрепление   знаний   по   теме   «Теория   чисел.   Нумерология»;   развитие   умения   решать нестандартные задачи. Ход занятия: 1.  Организационный момент. Введение в элективный курс «Теория чисел», сообщение целей и задач данного курса, требований к учащимся, форм и методов работы, системы контроля уровня достижений учащихся и критериев оценки, ожидаемого результата по окончании изучения курса.  2.  Обзорная лекция по теме Теория чисел. Нумерология. Теория чисел ­ это ветвь математики, имеющая дело с целыми положительными числами 1,2,3, …, которые также называют натуральными. 1 4 1 2 1 2 1 2  ,1 что  или что (­1)*(­1)=1, то какой смысл выкладывается в эти утверждения? Число­это основное понятие современной математики. Но что такое число? Если мы говорим, 1 2 Греки в древнее время в основу созданной или математики положили геометрические концепции точки и прямой; руководящим принципом современной математики стало сведение,   в конечном счете всех утверждений к утверждениям, касающимся натуральных чисел 1,2,3. …. «Бог создал натуральные числа, все прочее дело рук человека». Этими словами Леопольд Кронекер (1823­1891) определил тот прочный фундамент, на котором может быть построено здание математики. Изучение   натуральных   чисел   было   начато   в   Древней   Греции.   Евклид   и   Эратосфен   открыли свойства делимости чисел, доказали бесконечность множества простых чисел и нашли способы их построения.   Задачи,   связанные   с   решением   неопределенных   уравнений   в   целых   числах,   были предметом   исследований   Диофанта,   а   также   ученых   Древней   Индии   и   древнего   Китая,   стран Средней Азии.[28] История возникновение чисел разных народов.      Изучая явление природы и окружающей жизни, люди везде находили предметы для счета. Число  возникло с появлением у человека потребности практической деятельности. Числовые  представления (как и наша речь) неразрывно связаны с существованием самого человека, так как на  всех ступенях своей истории он был связан с процессом счета окружающих предметов и  проведением каких­то измерений. «Число ­ это закон и связь мира, сила, царящая над богами и  смертными». «Все есть число». Вот такие положения проповедовал древнегреческий математик  Пифагор. Наибольшие числа натурального ряда, которые постигали в результате счета, породили у  человека много числовых суеверий и мистических представлений, были для него таинственными,  наделялись сверх естественными свойствами и считались священными. Запись чисел при помощи  цифр возникла не сразу. В течении многих веков люди писали все числа словами. Это занимало  много времени и места, было не наглядно и затрудняло действия. Постепенно слова стали сокращать  или писать только начальными буквы слов, выделяя их из среды других букв особыми знаками.  Некоторые народы от записи слова перешли к записи специально придуманными знаками. Знаки эти  у разных народов были различными, да и у одного народа встречались неодинаковые знаки для  обозначения одних и тех же цифр. Возникали недоразумения, люди перестали понимать друг друга.  Потребовались многие сотни лет, чтобы выработать единые знаки и систему записи чисел. Египтяне  имели нумерацию с десятичной основой. Рассмотрим цифры некоторых народов:  1.  Цифры, которыми пользовались египтяне около 4000 лет назад.  2. Вавилонские цифры. Они тоже употреблялись около 4000 лет назад:  9 У вавилонян ­ шести десятеричная система счисления.  3. У китайцев в ходу было несколько систем цифр.  Вот цифры ученых трактатов:  А эти цифры коммерческие, употреблявшиеся купцами и торговцами:  4. В древней Греции первые 9 букв алфавита с черточками над ними обозначали числа от 1 до 9.  следующие 9 букв обозначали десятки, последние ­ сотни:  Таким образом, число 23 греки писали,  Для обозначения тысяч применялись те же буквы, что и для первого десятка, но они отделялись  от сотен, запятой.  5. Г В IX в. славянские просветители — монахи братья Кирилл (умер в 869 г.) и Мефодий (умер  в885г.) — по образцу и подобию греческой нумерации составили церковнославянскую нумерацию  для Южной Руси.  С годами вместе с церковными книгами эта нумерация проникла в Центральную и Северную Русь  и держалась около 700 лет. Церковнославянская нумерация — точная копия греческой нумерации.  Каждая буква независимо от ее положения обозначала одно и то же число.  Вот таблица славяно­греческих числовых знаков:  10 Образцы записи чисел в старинной русской нумераций;  ЧИСЛО 85 по­славянски записывалось:  Число 128 по­славянски записывалось:  Чтобы указать, что эти буквы следует считать числами, над каждой из них ставили особый знак:  (титло).  Для обозначения тысяч, перед числом тысяч ставили значок. Для обозначения десятков ,тысяч (славяне называли это число тьмою), букву ставкой в кружок.  Нуль не обозначался никак и не писался вообще. Для обозначения сотен тысяч букву брали в кружок из точек» . 2               Римская пятеричная  Это, наверное, самая известная система, после «арабской», она возникла более двух с половиной  тысяч лет назад в Древнем Риме.  11 I V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1 000 Предполагаемое происхождение римских цифр Числа в этой системе, так же как и у нас записывались слева направо, от больших к меньшим.  Например, XI = 11, XII = 12, XIII = 13, но следующее число уже особенное, так как такое число  «XIIII» писать неудобно, римляне придумали сокращения, они стали писать так XIV = 14, т.е. 10+5­1 = 14. Т.е. если цифра с меньшим значением записывалась перед цифрой с большим значением, то  происходило ее вычитание. Так же записывалось число 9 = IX. И кроме этого нельзя было писать  четыре одинаковые цифры подряд, например, «XXXX» = XL (50­10) = 40. О происхождении римских цифр достоверных сведений нет. В римской нумерации явственно  сказываются следы пятеричной системы счисления. В языке же римлян ни каких следов пятеричной  системы нет. Значит, эти цифры были заимствованы римлянами у другого народа (скорее всего  этрусков). Такая нумерация преобладала в Италии до XIII века, а в других странах Западной Европы ­ до XVI века. В Санкт­ Петербурге стоит памятник Петру I. На гранитном постаменте памятника есть римское  число: MDCCLXXXII = 1000 + 500 + 100 + 100 + 50 + 3*10 + 2 = 1782 год. Это год открытия  памятника. Римскими цифрами  пользовались  очень долго.  Еще 200 лет назад в деловых бумагах числа должны  были обозначаться римскими цифрами  (считалось, что обычные арабские цифры легко подделать).  С нею мы достаточно часто сталкиваемся в повседневной жизни. Это номера глав в книгах, указание  века, числа на циферблате часов, и т. д. 3.3                Древнегреческая аттическая пятеричная  В древнейшее время в Греции была распространена так называемая Аттическая система счисления,  название происходит от области Греции – Аттики со столицей Афины. В этой системе числа 1, 2, 3, 4 изображались соответствующим количеством вертикальных полосок: , , , . Число 5 записывалось знаком   (древнее начертание буквы "Пи", с которой  начиналось слово "пять" ­ "пенте"). Числа 6, 7, 8, 9 обозначались сочетаниями этих знаков:   12 Число 10 обозначалось  обозначались H, X, M. Числа 50, 500, 5 000 обозначались комбинациями чисел 5 и 10, 5 и 100, 5 и  1 000, а именно:   ­ заглавной "Дельта" от слова "дека" ­ "десять". Числа 100, 1 000 и 10 000  Числа в пределах первого десятка тысяч записывались так:   3.4                Древнегреческая ионийская десятеричная алфавитная Примерно в третьем веке до нашей эры аттическая система счисления в Греции была вытеснена  другой, так называемой "Ионийской" системой (она возникла в Милеете – греческая малоазиатская  колония Ионии). В ней числа 1 ­ 9 обозначаются первыми буквами древнегреческого алфавита:   числа 10, 20, … 90 изображались следующими девятью буквами: числа 100, 200, … 900 последними девятью буквами: Для обозначения тысяч и десятков тысяч пользовались теми же цифрами, но только с добавлением  особого значка '. Любая буква с этим значком сразу же становилась в тысячу раз больше. Для отличия цифр и букв писали черточки над цифрами.     Древние евреи, арабы и многие другие народы Ближнего Востока имели такие же системы  счисления. При ее помощи можно было просто записать числа до ста миллионов (100 000 000). Эта система по  быстроте счета мало отличается от «арабской». И хоть она не позиционная, но в ней есть  мультипликативность.   3.5                Славянская глаголическая десятеричная Эта система была создана для обозначения чисел в священных книгах западных славян.  Использовалась она нечасто, но достаточно долго. По организации она в точности повторяет  греческую нумерацию. Использовалась она с VIII по XIII в. 1 2 3 4 5 10 20 30 40 50 100 200 300 400 500 1 000         13 6 8 7 9 60 70 80 90 600 700 800 900         Числа записывали из цифр так же слева, направо, от больших к меньшим цифрам. Если десятков,  единиц, или какого­то другого разряда не было, то его пропускали. Такая запись числа аддитивная,  то есть в ней используется только сложение: = 800+60+3 = 863 Для того чтобы не перепутать буквы и цифры, использовались титла ­ горизонтальные черточки над  числами, или точки. 3.6                Славянская кириллическая десятеричная алфавитная Эта нумерация была создана вместе со славянской алфавитной системой для перевода священных  библейских книг для славян греческими монахами братьями Кириллом и Мефодием в IX веке. Эта  форма записи чисел получила большое распространение в связи с тем, что имела полное сходство с  греческой записью чисел. До XVII века эта форма записи чисел была официальной на территории  современной России, Белоруссии, Украины, Болгарии, Венгрии, Сербии и Хорватии. До сих пор  православные церковные книги используют эту нумерацию. Числа записывали из цифр так же слева, направо, от больших к меньшим. Числа от 11 до 19  записывались двумя цифрами, причем единица шла перед десятком: 14 Читаем дословно "четырнадцать" ­ "четыре и десять". Как слышим, так и пишем: не 10+4, а 4+10, ­  четыре и десять. Числа от 21 и выше записывались наоборот, сначала писали знак полных десятков. Запись числа, использованная славянами аддитивная, то есть в ней используется только сложение: = 800+60+3 Для того чтобы не перепутать буквы и цифры, использовались титла ­ горизонтальные черточки над  числами, что мы видим на рисунке. Для обозначения чисел больших, чем 900 использовались специальные значки, которые  дорисовывались к букве. Так образовывались числа:   Тысяча 1000 Тьма 10 000 Легион 100 000 Леодр 1 000000 Ворон 10 000000 Колода 100 000000   Славянская нумерация просуществовала до конца XVII столетия, пока с реформами Петра I в  Россию из Европы не пришла позиционная десятичная система счисления. 7               Древнеиндийские системы счисления Употребляемая нами система нумерации и цифры зародились в Индии не позже V в. н. э. Главное  преимущество индийской системы заключается в том, что значение каждой цифры определяется ее  местом в числе. Нам это кажется очень простым, но додуматься до этого было очень трудно. Это  было величайшим открытием в мировой науке древних. Система счисления кхарошти имела хождение в Индии между VI веком до нашей эры и III веком  нашей эры. Эта была непозиционная аддитивная система счисления. О ней мало что известно, так как сохранилось мало письменных документов той эпохи. Система кхарошти интересна тем, что в  качестве промежуточного этапа между единицей и десятью выбирается число четыре. Числа  записывались справа налево. Наряду с этой системой существовала в Индии еще одна система счисления Брахме. 15 Числа Брахме записывались слева направо. Однако в обеих системах было не мало общего. В  частности первые три цифры очень похожи. Общим было то, что до сотни применялся аддитивный  способ, а после мультипликативный. Важным отличием цифр Брахме, было то, что цифры от 4 до 90, были представлены только одним знаком. Эта особенность цифр Брахме в дальнейшем была  использована при создании в Индии позиционной десятичной системы. В древней Индии так же была словесная система счисления. Она была мультипликативная, позиционная. Знак нуля произносился как «пустое», или «небо», или «дыра». Единица как «луна», или «земля». Двойка как «близнецы», или «глаза», или «ноздри», или «губы». Четыре как «океаны», «стороны света». Например, число 2441 произносилось так: глаза океанов стороны света луны.                   8.Древнекитайская десятеричная Эта система одна из старейших и самых прогрессивных, поскольку в нее заложены такие же  принципы, как и в современную «арабскую», которой мы с Вами пользуемся. Возникла эта система  около 4 000 тысяч лет тому назад в Китае. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 O   Числа в этой системе, так же как и у нас записывались слева направо, от больших к меньшим. Если  десятков, единиц, или какого­то другого разряда не было, то сначала ничего не ставили и  переходили к следующему разряду. (Во времена династии Мин был введен знак для пустого разряда  ­ кружок ­ аналог нашего нуля). Чтобы не перепутать разряды использовали несколько служебных  иероглифов, писавшихся после основного иероглифа, и показывающих какое значение принимает  иероглиф­цифра в данном разряде. 16 10 100 1 000 10 000 ­ 1*1 000 = 1000; ­ 5 * 100+4* 10+8 = 548     Эта мультипликативная запись, так как в ней используется умножение. Она десятичная, в ней есть  знак нуля, кроме этого она позиционная. Т.е. она почти соответствует «арабской» системе  счисления.    9.       Двадцатеричная система счисления Эта система очень интересна тем, что на ее развитие не повлияла ни одна из цивилизаций Европы и  Азии. Эта система применялась для календаря и астрономических наблюдений. Характерной  особенностью ее было наличие нуля (изображение ракушки). Основанием этой системы было число  20, хотя сильно заметны следы пятеричной системы. Первые 19 чисел получались путем  комбинирование точек (один) и черточек (пять).     индейцев Майя или долгий счет     Число 20 изображалось из двух цифр, ноль и один наверху   Записывались числа столбиком, внизу располагались наименьшие разряды, вверху наибольшие, в  результате получалась «этажерка» с полками. Если число ноль появлялось без единицы наверху, то  это обозначало, что единиц данного разряда нет. Но, если хоть одна единица была в этом разряде, то   и называлось уиналу.  знак нуля исчезал, например, число 21, это будет  нулем, 11 – без него. Вот несколько примеров чисел: . Так же в нашей системе счисления: 10 – с  17 В двадцатеричной системе счета древних майя есть исключение: стоит прибавить к числу 359 только  одну единицу первого порядка, как это исключение немедленно вступает в силу. Суть его сводится к следующему: 360 является начальным числом третьего порядка и его место уже не на второй, а на  третьей полке. Но тогда выходит, что начальное число третьего порядка больше начального числа второго не в  двадцать раз (20x20=400, а не 360!), а только в восемнадцать! Значит, принцип двадцатеричности  нарушен! Все верно. Это и есть исключение. Дело в том, что у индейцев Майя 20 дней­кинов образовывали месяц или уинал. 18 месяцев­уиналов  образовывали год или туну (360 дней в году) и так далее:         К'ин = 1 день.         Виналь = 20 к'ин = 20 дней.         Тун = 18 виналь = 360 дней = около 1 года.         К'атун = 20 тун = 7200 дней = около 20 лет.         Бак'тун = 20 к'атун = 144000 дней = около 400 лет.         Пиктун = 20 бак'тун = 2880000 дней = около 8000 лет.         Калабтун = 20 пиктун = 57 600 000 дней = около 160000 лет.         К'инчильтун = 20 калабтун = 1152000000 дней = около 3200000 лет.         Алавтун = 20 к'инчильтун = 23040000000 дней = около 64000000 лет.   18 Это довольно сложная система счисления, в основном использовалась жрецами для астрономических наблюдений, другая система индейцев Майя была аддитивной, похожей на египетскую и  применялась в повседневной жизни. История «арабских» чисел. История наших привычных «арабских» чисел очень запутана. Нельзя сказать точно и достоверно как  они произошли. Вот один из вариантов этого истории этого происхождения. Одно точно известно,  что именно благодаря древним астрономам, а именно их точным расчетам мы и имеем наши числа. Как мы уже знаем, в вавилонской системе счисления присутствует знак для обозначения  пропущенных разрядов. Примерно во II веке до н.э. с астрономическими наблюдениями вавилонян  познакомились греческие астрономы (например, Клавдий Птолемей). Они переняли их позиционную  систему счисления, но целые числа они записывали не с помощью клиньев, а в своей алфавитной  нумерации, а дроби в вавилонской шестидесятеричной системой счисления. Но для обозначения  нулевого значения разряда греческие астрономы стали использовать символ "0" (первая буква  греческого слова Ouden ­ ничто).  Между II и VI веками н.э. индийские астрономы познакомились с греческой астрономией. Они  переняли шестидесятеричную систему и круглый греческий нуль. Индийцы соединили принципы  греческой нумерации с десятичной мультипликативной системой взятой из Китая. Так же они стали  обозначать цифры одним знаком, как было принято в древнеиндийской нумерации брахми. Это и был завершающий шаг в создании позиционной десятичной системы счисления. Блестящая работа индийских математиков была воспринята арабскими математиками и Аль­ Хорезми в IX веке написал книгу "Индийское искусство счета", в которой описывает десятичную  позиционную систему счисления. Простые и удобные правила сложения и вычитания сколь угодно  больших чисел, записанных в позиционной системе, сделали ее особенно популярной в среде  европейских купцов. В XII в. Хуан из Севильи перевел на латынь книгу "Индийское искусство счета", и индийская  система счета широко распространилась по всей Европе. А так как труд Аль­Хорезми был написан  арабском языке, то за индийской нумерацией в Европе закрепилось неправильное название ­  "арабская". Но сами арабы именуют цифры индийскими, а арифметику, основанную на десятичной  системе ­ индийским счетом.  19 изменялась. Та форма, в которой мы их пишем, установилась в XVI веке.  Форма «арабских» цифр со временем сильно   Самое трудное было придумать нуль. Его придумали на много веков позже, чем другие цифры.  Первая, точно датированная запись, в которой встречается знак нуля, относится к 876 г. Но это не  значит, что до этого знак нуля не употреблялся. Он был открыт, вероятно, около 500 г, н.э. может  быть, даже и раньше. До изобретения нуля индийцы пользовались своей системой нумерации без  нуля. Вместо него ставили черточки, писали словами и т. д. В VIII в, арабы переняли индийскую  нумерацию и  передали ее в Европу. На Руси индийские цифры стали известны в начале XVII в/  Христианская церковь­ приняла новые цифры враждебно. Причина заключалась в том, что новью  цифры и система записи чисел были просты и доступны всякому. Люди потянулись к знаниям, а  этого­то как раз и не хотели попы задачей, которых было тормозить распространение грамоты и  математических знаний. Была и еще одна причина враждебного отношения христианской церкви к  новым цифрам. В те годы шла яростная борьба между византийской и римско­католической  церквами за влияние на Руси. У католиков в употреблении были новые цифры. В борьбе за  господство на Руси византийская церковь оказывала сопротивление всему, что в какой­то степени  было связано с католицизмом. Индийская нумерация и десятичная система записи чисел были  объявлены безбожными и колдовскими, книги, в которых встречались новые цифры, запрещалось не  только читать, а даже держать у себя дома. Тех, кто нарушал это, жестоко наказывали. Так,  например, в 1676 г. боярину Морозову было предъявлено обвинение в колдовстве и чернокнижии  только па­тому, что у него дома была найдена медицинская книга, в которой "... писаны многие  статьи цифирью». Боярин поплатился за свое «вольнодумство». Теперь индийские цифры и десятичная система нумерации применяются во всем мире, и мы почти не задумываемся над тем» как долог и как труден был путь ее развития. Числа великаны  Наибольшие числа натурального ряда, которые постигали в результате счета, породили у  человека много числовых суеверий и мистических Наибольшие числа натурального ряда, которые  постигали в результате счета, породили у человека много числовых суеверий и мистических  20