Применение производной к исследованию функции
Применение производной к исследованию функции
Чётность, нечётность функции Периодичность функции
Чётность, нечётность функции
Периодичность функции
Точки пересечения графика с осями координат
Область определения функции
Вычисление производной
Критические точки
Промежутки возрастания и убывания функции
Точки экстремума функции
Область значений функции
Схема исследования функции
Область определения – множество значений x, на котором определена функция f (x)
Область определения – множество значений x, на котором определена функция f (x).
Область определения дробно-рациональных функций – это множество всех действительных чисел, кроме корней g (x), т.е.
y = 2x3 + 3x2 - 5x
D (y) = (а; b)
b
a
Чётность, нечётность функции . чётная функция нечётная функция функция ни чётная, ни нечётная
Чётность, нечётность функции
.
чётная функция
нечётная функция
функция ни чётная, ни нечётная
График чётной функции симметричен относительно оси ординат (oy)
График чётной функции симметричен относительно оси ординат (oy).
Функция называется чётной, если для любого х из её области определения выполняется равенство f (-x) = f (x).
Чётная функция
Функция называется нечётной, если для любого х из её области определения выполняется равенство f (-x) = - f (x)
нечётная функция
Функция называется нечётной, если для любого х из её области определения выполняется равенство f (-x) = - f (x).
График нечётной функции симметричен относительно начала координат (0;0).
Равенства не выполняются Симметрии нет
функция ни чётная, ни нечётная
f (-x) = f (x),
f (-x) = - f (x).
Равенства не выполняются
Симметрии нет.
Периодичность функции Функции, описывающие процессы и явления повторяющегося характера, называются периодическими
Периодичность функции
Функции, описывающие процессы и явления повторяющегося характера, называются периодическими.
функции
периодические
непериодические
Точки пересечения графика с осями координат
Точки пересечения графика с осями координат
А). Точки пересечения графика с осью ординат (oy): x=0.
B). Точки пересечения графика с осью абсцисс (ox): y=0 – нули функции.
a
b
c
A(a;0), B(b;0), C(c;0).
d
D(0;d)
Вычисление производной Производную вычисляем по формулам и правилам
Вычисление производной
Производную вычисляем по формулам и правилам.
Критические точки Это внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует
Критические точки
Это внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует.
Критические точки
Критические точки В критических точках касательная параллельна оси абсцисс (ох)
Критические точки
В критических точках касательная параллельна оси абсцисс (ох).
находим критические точки
находим производную
критическая точка
-1
3
Критические точки находим производную находим критические точки критические точки -2 3
Критические точки
находим производную
находим критические точки
критические точки
-2
3
Промежутки возрастания и убывания функции
Промежутки возрастания и убывания функции
Если f / (x) > 0 в каждой точке интервала I, то функция f (x) возрастает на I.
Если f / (x) < 0 в каждой точке интервала I, то функция f (x) убывает на I.
Функция возрастает при
Функция убывает при
Определяем знак производной
(+или-) на каждом промежутке.
Разбиваем числовую ось критическими точками на промежутки.
Находим критические точки.
Находим производную.
+
+
-
Промежутки возрастания и убывания функции a b c d m
Промежутки возрастания и убывания
функции
a
b
c
d
m
Функция возрастает при
Функция убывает при
Точки экстремума функции Если функция f непрерывна в точке x0 ,f /(x)<0 на интервале (a;x0) и f /(x)>0 на интервале (x0;b), то точка x0 является…
Точки экстремума функции
Если функция f непрерывна в точке x0 ,f /(x)<0 на интервале (a;x0) и f /(x)>0 на интервале (x0;b), то точка x0 является точкой минимума функции f.
Если функция f непрерывна в точке x0 , f /(x)>0 на интервале (a;x0) и f /(x)<0 на интервале (x0;b), то точка x0 является точкой максимума функции f.
Если в точке x0 производная меняет знак с + на -, то x0 точка максимума функции.
Если в точке x0 производная меняет знак с - на +, то x0 точка минимума функции.
min
max
Находим значение функции в точке x0.
Точки экстремума функции min По графику определяем координаты точек min и max
Точки экстремума функции
min
По графику определяем
координаты точек
min и max.
(x2; y2)
max
(x1; y1)
Определяем знак производной (+или-) на каждом промежутке
Определяем знак производной
(+или-) на каждом промежутке.
Разбиваем числовую ось критическими точками на промежутки.
Находим критические точки.
Находим производную.
Функция возрастает при
Функция убывает при
+
+
-
Точки экстремума функции
Находим значение функции в точке x0.
min
max
max
min
экстремумы
Область значений функции Область значений функции - это множество, состоящее из всех чисел f (x), таких, что x принадлежит области определения функции f
Область значений функции
Область значений функции -это множество, состоящее из всех чисел f (x), таких, что x принадлежит области определения функции f.
Область значений функции – это множество значений y.
p - y наибольшее
k - y наименьшее
k
p
E (y) = (k;p)
План исследования функции 1. Область определения
План исследования функции
1. Область определения.
2. Чётность, нечётность функции.
3. Периодичность.
4. Точки пересечения графика с координатными осями: а).x=0, f(0)=… → (0;y), б). f (x)=0 → x=a, x=b …→ A(a;0), B(b;0) …
5. f/ (x)=…
6. Критические точки: f/ (x) =0 или → x=m, x=n или
7. Промежутки возрастания и убывания функции. Определяем знак f/ (x) на промежутках: если f/ (x) > 0, то функция возрастает, если f/ (x) < 0, то функция убывает.
10. По графику определяем область значений функции, наибольшее и наименьшее значения функции.
Находим значения функции в точках min и max.
9. Строим график.
8. Экстремумы.
Практикум Исследуй функцию и построй график
Практикум
Исследуй функцию и построй график.
Область определения. 2. Чётность, нечётность
y = 4 | ||
1. Область определения.
2. Чётность, нечётность.
3. Периодичность.
6. Критические точки f/ (x) = 0
4. Точки пересечения a) х = 0
б) f (х) = 0
5. f/ (x) = …
7. Промежутки возрастания и убывания функции
функция возрастает
функция убывает
8. Экстремумы:
9. Область значений.
y - наибольшее
min
max
y - наименьшее
чётная
не периодичная
(0;0)
(0;0), (-2;0), (2;0)
+
+
-
-
х
Область определения. 2. Чётность, нечётность
| ||
1. Область определения.
2. Чётность, нечётность.
3. Периодичность.
6. Критические точки f/ (x) = 0
4. Точки пересечения а) х = 0
б) f (х) = 0
5. f/ (x) = …
7. Промежутки возрастания и убывания функции
функция возрастает
функция убывает
8. Экстремумы:
9. Область значений.
y - наибольшее
min
y = - 25
y - наименьшее
чётная
не периодичная
(0;-9)
(-3;0), (3;0)
+
+
-
-
х
max
Область определения. 2. Чётность, нечётность
| ||
1. Область определения.
2. Чётность, нечётность.
3. Периодичность.
6. Критические точки f/ (x) = 0
4. Точки пересечения а) х = 0
б) f (х) = 0
5. f/ (x) = …
7. Промежутки возрастания и убывания функции
функция возрастает
функция убывает
8. Экстремумы:
9. Область значений.
y - наибольшее
min
y - наименьшее
ни чётная, ни нечётная
не периодичная
(0;0)
(0;0), (3;0)
+
-
-
х
max
Область определения. 2. Чётность, нечётность
| ||
1. Область определения.
2. Чётность, нечётность.
3. Периодичность.
6. Критические точки f/ (x) = 0
4. Точки пересечения а) х = 0
б) f (х) = 0
5. f/ (x) = …
7. Промежутки возрастания и убывания функции
функция возрастает
функция убывает
8. Экстремумы:
9. Область значений.
y - наибольшее
min
y - наименьшее
нечётная
не периодичная
(0;0)
+
-
-
х
max
Область определения. 2. Чётность, нечётность
| ||
1. Область определения.
2. Чётность, нечётность.
3. Периодичность.
6. Критические точки f/ (x) = 0
4. Точки пересечения а) х = 0
б) f (х) = 0
5. f/ (x) = …
7. Промежутки возрастания и убывания функции
функция возрастает
функция убывает
8. Экстремумы:
9. Область значений.
y - наибольшее
min
y = - 4
y - наименьшее
чётная
не периодичная
(0;-3)
+
+
-
-
х
max
x x y 0 - 2 2 4 x y 0 -3 - 25 3 x y 0 3 4 x y 0 -√3 -…
x
x
y
0
- 2
2
4
x
y
0
-3
- 25
3
x
y
0
3
4
x
y
0
-√3
- 4
√3
д)
в)
а)
б)
г)
- 9
x
y
0
-√3
√3
- 3
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.
