производная

  • ppt
  • 10.11.2022
Публикация в СМИ для учителей

Публикация в СМИ для учителей

Бесплатное участие. Свидетельство СМИ сразу.
Мгновенные 10 документов в портфолио.

Иконка файла материала производная.ppt

Применение производной к исследованию функции

Чётность, нечётность функции

Периодичность функции

Точки пересечения графика с осями координат

Область определения функции

Вычисление производной

Критические точки

Промежутки возрастания и убывания функции

Точки экстремума функции

Область значений функции

Схема исследования функции

Область определениямножество значений x, на котором определена функция f (x).

Область определения дробно-рациональных функций – это множество всех действительных чисел, кроме корней g (x), т.е.

y = 2x3 + 3x2 - 5x

D (y) = (а; b)

b

a

Чётность, нечётность функции

.

чётная функция

нечётная функция

функция ни чётная, ни нечётная

График чётной функции симметричен относительно оси ординат (oy).

Функция называется чётной, если для любого х из её области определения выполняется равенство f (-x) = f (x).

Чётная функция

нечётная функция

Функция называется нечётной, если для любого х из её области определения выполняется равенство f (-x) = - f (x).

График нечётной функции симметричен относительно начала координат (0;0).

функция ни чётная, ни нечётная

f (-x) = f (x),

f (-x) = - f (x).

Равенства не выполняются

Симметрии нет.

Периодичность функции

Функции, описывающие процессы и явления повторяющегося характера, называются периодическими.

функции

периодические

непериодические

Точки пересечения графика с осями координат

А). Точки пересечения графика с осью ординат (oy): x=0.

B). Точки пересечения графика с осью абсцисс (ox): y=0 – нули функции.

a

b

c

A(a;0), B(b;0), C(c;0).

d

D(0;d)

Вычисление производной

Производную вычисляем по формулам и правилам.

Критические точки

Это внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует.

Критические точки

Критические точки

В критических точках касательная параллельна оси абсцисс (ох).

находим критические точки

находим производную

критическая точка

-1

3

Критические точки

находим производную

находим критические точки

критические точки

-2

3

Промежутки возрастания и убывания функции

Если f / (x) > 0 в каждой точке интервала I, то функция f (x) возрастает на I.

Если f / (x) < 0 в каждой точке интервала I, то функция f (x) убывает на I.

Функция возрастает при

Функция убывает при

Определяем знак производной
(+или-) на каждом промежутке.

Разбиваем числовую ось критическими точками на промежутки.

Находим критические точки.

Находим производную.

+

+

-

Промежутки возрастания и убывания
функции

a

b

c

d

m

Функция возрастает при

Функция убывает при

Точки экстремума функции

Если функция f непрерывна в точке x0 ,f /(x)<0 на интервале (a;x0) и f /(x)>0 на интервале (x0;b), то точка x0 является точкой минимума функции f.

Если функция f непрерывна в точке x0 , f /(x)>0 на интервале (a;x0) и f /(x)<0 на интервале (x0;b), то точка x0 является точкой максимума функции f.

Если в точке x0 производная меняет знак с + на -, то x0 точка максимума функции.

Если в точке x0 производная меняет знак с - на +, то x0 точка минимума функции.

min

max

Находим значение функции в точке x0.

Точки экстремума функции

min

По графику определяем
координаты точек
min и max.

(x2; y2)

max

(x1; y1)

Определяем знак производной
(+или-) на каждом промежутке.

Разбиваем числовую ось критическими точками на промежутки.

Находим критические точки.

Находим производную.

Функция возрастает при

Функция убывает при

+

+

-

Точки экстремума функции

Находим значение функции в точке x0.

min

max

max

min

экстремумы

Область значений функции

Область значений функции -это множество, состоящее из всех чисел f (x), таких, что x принадлежит области определения функции f.

Область значений функции – это множество значений y.

p - y наибольшее

k - y наименьшее

k

p

E (y) = (k;p)

План исследования функции

1. Область определения.

2. Чётность, нечётность функции.

3. Периодичность.

4. Точки пересечения графика с координатными осями: а).x=0, f(0)=… → (0;y), б). f (x)=0 → x=a, x=b …→ A(a;0), B(b;0) …

5. f/ (x)=…

6. Критические точки: f/ (x) =0 или → x=m, x=n или

7. Промежутки возрастания и убывания функции. Определяем знак f/ (x) на промежутках: если f/ (x) > 0, то функция возрастает, если f/ (x) < 0, то функция убывает.

10. По графику определяем область значений функции, наибольшее и наименьшее значения функции.

Находим значения функции в точках min и max.

9. Строим график.

8. Экстремумы.

Практикум

Исследуй функцию и построй график.

y = 4

1. Область определения.

2. Чётность, нечётность.

3. Периодичность.

6. Критические точки f/ (x) = 0

4. Точки пересечения a) х = 0

б) f (х) = 0

5. f/ (x) = …

7. Промежутки возрастания и убывания функции

функция возрастает

функция убывает

8. Экстремумы:

9. Область значений.

y - наибольшее

min

max

y - наименьшее

чётная

не периодичная

(0;0)

(0;0), (-2;0), (2;0)

+

+

-

-

х

1. Область определения.

2. Чётность, нечётность.

3. Периодичность.

6. Критические точки f/ (x) = 0

4. Точки пересечения а) х = 0

б) f (х) = 0

5. f/ (x) = …

7. Промежутки возрастания и убывания функции

функция возрастает

функция убывает

8. Экстремумы:

9. Область значений.

y - наибольшее

min

y = - 25

y - наименьшее

чётная

не периодичная

(0;-9)

(-3;0), (3;0)

+

+

-

-

х

max

1. Область определения.

2. Чётность, нечётность.

3. Периодичность.

6. Критические точки f/ (x) = 0

4. Точки пересечения а) х = 0

б) f (х) = 0

5. f/ (x) = …

7. Промежутки возрастания и убывания функции

функция возрастает

функция убывает

8. Экстремумы:

9. Область значений.

y - наибольшее

min

y - наименьшее

ни чётная, ни нечётная

не периодичная

(0;0)

(0;0), (3;0)

+

-

-

х

max

1. Область определения.

2. Чётность, нечётность.

3. Периодичность.

6. Критические точки f/ (x) = 0

4. Точки пересечения а) х = 0

б) f (х) = 0

5. f/ (x) = …

7. Промежутки возрастания и убывания функции

функция возрастает

функция убывает

8. Экстремумы:

9. Область значений.

y - наибольшее

min

y - наименьшее

нечётная

не периодичная

(0;0)

+

-

-

х

max

1. Область определения.

2. Чётность, нечётность.

3. Периодичность.

6. Критические точки f/ (x) = 0

4. Точки пересечения а) х = 0

б) f (х) = 0

5. f/ (x) = …

7. Промежутки возрастания и убывания функции

функция возрастает

функция убывает

8. Экстремумы:

9. Область значений.

y - наибольшее

min

y = - 4

y - наименьшее

чётная

не периодичная

(0;-3)

+

+

-

-

х

max

x

x

y

0

- 2

2

4

x

y

0

-3

- 25

3

x

y

0

3

4

x

y

0

-√3

- 4

√3

д)

в)

а)

б)

г)

- 9

x

y

0

-√3

√3

- 3