Производная функции. Геометрический и физический смысл производной функции.
Оценка 4.7

Производная функции. Геометрический и физический смысл производной функции.

Оценка 4.7
docx
математика
24.05.2020
Производная функции.  Геометрический и физический смысл производной функции.
Конспект урока - Производная функции. Геометрический и физический смысл производной функции..docx

Тема: Производная функции.

Геометрический и физический смысл производной функции.

Цели урока:

1. Сформировать понятие производной, скорость изменения функции в точке, а также применение производной к расчету скорости в задачах по физике.

2. Развитие навыков частично-поисковой познавательной деятельности обучающихся; воспитание аккуратности, точности, самостоятельности, привитие навыков групповой работы, сотрудничества.

3. Воспитание у обучающихся интереса к изучаемой теме и ценностного отношения к труду и полученным знаниям.

Тип урока: комбинированный.

Межпредметная связь: математика (средняя скорость изменения функции) – физика (средняя скорость в момент времени).

Ход урока:

1. Орг.момент. Приветствие. Перекличка.

2. Актуализация знаний. Проведение проверочного теста по теме "Графы" (взаимопроверка работ с соседом по парте).

3. Изучение нового материала.

·        Тема урока, цели (на слайде)

·        Историческая справка

·        Определение производной

·        Таблица производных элементарных функций.

·        основные правила дифференцирования.

·        Примеры решения.

·        Тест (закрепление понятия производная)

Введение геометрического смысла

График функции y=f(x)

Рис. 1. График функции http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51183/711f6720_fab0_0130_c248_12313d0128c8.png.

Рассмотрим функцию http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51185/71a536b0_fab0_0130_c24a_12313d0128c8.png, ее график и дадим физическую интерпретацию.

Построим систему координат и кривую http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51186/72380780_fab0_0130_c24b_12313d0128c8.png (см. рис.1), где

http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51188/72ffcbc0_fab0_0130_c24c_12313d0128c8.png независимая переменная или аргумент (время),

http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51189/73fae080_fab0_0130_c24e_12313d0128c8.png – зависимая переменная или функция (расстояние),

http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51190/748f0850_fab0_0130_c24f_12313d0128c8.png – закон или правило, по которому каждому значению http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51192/7514eb20_fab0_0130_c251_12313d0128c8.png ставится в соответствие только одно значение http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51189/73fae080_fab0_0130_c24e_12313d0128c8.png.

Зафиксируем момент времени http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51193/75aec0e0_fab0_0130_c252_12313d0128c8.png (см. рис.2). В этот момент времени можно вычислить по заданному закону http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51194/76452370_fab0_0130_c253_12313d0128c8.png , т.е. имеем точку http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51196/76ccbf60_fab0_0130_c255_12313d0128c8.png. Эта точка показывает, что в данный момент времени http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51193/75aec0e0_fab0_0130_c252_12313d0128c8.png, расстояние - http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51194/76452370_fab0_0130_c253_12313d0128c8.png . Дадим аргументу приращение http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51197/775adcc0_fab0_0130_c256_12313d0128c8.png, т.е. прошло некоторое время http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51197/775adcc0_fab0_0130_c256_12313d0128c8.png. Момент времени, который будет рассматриваться  - это  http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51199/77f1c060_fab0_0130_c258_12313d0128c8.png.

Секущая к графику функции y=f(x)

Рис. 2. Секущая к графику функции http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51186/72380780_fab0_0130_c24b_12313d0128c8.png.

http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51197/775adcc0_fab0_0130_c256_12313d0128c8.png – приращение аргумента – это разность между новым значением аргумента и старым.

Итак, в новый момент времени, расстояние (от дома) - http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51201/791f1ef0_fab0_0130_c25a_12313d0128c8.png. Это расстояние можно вычислить по заданному закону, т.е. если подставить в функцию новое значение независимой переменной (аргумента), то можно вычислить новое значение функции. Так получилась точка http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51203/79b5cbb0_fab0_0130_c25c_12313d0128c8.png. В результате получилась секущая http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51204/7a4cfe80_fab0_0130_c25d_12313d0128c8.png, которая наклонена к оси http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51192/7514eb20_fab0_0130_c251_12313d0128c8.png  под углом http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51206/7adc5e30_fab0_0130_c25f_12313d0128c8.png.

http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51204/7a4cfe80_fab0_0130_c25d_12313d0128c8.png – секущая, http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51206/7adc5e30_fab0_0130_c25f_12313d0128c8.png – ее угол наклона. Этот угол, во – первых, в верхней полуплоскости и, во – вторых, с положительным направлением оси http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51192/7514eb20_fab0_0130_c251_12313d0128c8.png.

Рассмотрим треугольник http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51207/7b86e5c0_fab0_0130_c260_12313d0128c8.png (см. рис.3). Он прямоугольный. В этом треугольнике острый угол – это угол http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51206/7adc5e30_fab0_0130_c25f_12313d0128c8.png-  угол  наклона секущей. Один из катетов - это приращение аргумента, а второй катет – это разность между значением функции в новой точке и значением функции в старой точке.

Приращение функции и приращение аргумента.

Рис. 3. Приращение функции и приращение аргумента.

Величина http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51210/7d1f6c50_fab0_0130_c263_12313d0128c8.png называется http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51212/7dc60680_fab0_0130_c265_12313d0128c8.png – приращение функции и вычисляется как разность значений функции в новый момент времени минус значение функции в старый момент времени

http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51213/7e5c4d50_fab0_0130_c266_12313d0128c8.png.

2. Физический смысл отношения ∆f/∆x

Рассмотрим отношение  http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51214/7ee64240_fab0_0130_c267_12313d0128c8.png, где http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51216/7f714a90_fab0_0130_c269_12313d0128c8.png – приращение функции, http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51197/775adcc0_fab0_0130_c256_12313d0128c8.png – приращение аргумента (см. рис.4).

Из физических соображений ясно, что отношение расстояния ко времени – это средняя скорость http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51217/80542c90_fab0_0130_c26a_12313d0128c8.png. В этом заключается физический смысл отношения  http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51214/7ee64240_fab0_0130_c267_12313d0128c8.png.

Физический и геометрический смысл отношения

Рис. 4. Физический и геометрический смысл отношения   http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51220/817b33c0_fab0_0130_c26d_12313d0128c8.png.

С другой стороны отношение катета http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51210/7d1f6c50_fab0_0130_c263_12313d0128c8.png к катету http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51221/82188110_fab0_0130_c26e_12313d0128c8.png – это тангенс угла http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51206/7adc5e30_fab0_0130_c25f_12313d0128c8.png – тангенс угла наклона секущей, т.е. геометрический смысл отношения  http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51214/7ee64240_fab0_0130_c267_12313d0128c8.png – это тангенс угла наклона секущей  http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51223/82a6d0b0_fab0_0130_c270_12313d0128c8.png.

3. Определение производной

Пусть http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51224/8335ba80_fab0_0130_c271_12313d0128c8.png. Понятно, что и http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51226/84284c40_fab0_0130_c273_12313d0128c8.png. Точка http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51227/84b93360_fab0_0130_c274_12313d0128c8.png будет стремиться к точке http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51229/85518de0_fab0_0130_c276_12313d0128c8.png, а положение секущей http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51204/7a4cfe80_fab0_0130_c25d_12313d0128c8.png будет стремиться занять положение касательной в точке http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51229/85518de0_fab0_0130_c276_12313d0128c8.png к кривой http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51231/87d7c260_fab0_0130_c278_12313d0128c8.png  (см. рис.4). Имеем

http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51232/8888eb60_fab0_0130_c279_12313d0128c8.png

Зафиксируем эту касательную, http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51234/8927f390_fab0_0130_c27b_12313d0128c8.png – угол наклона этой касательной. Если зафиксировать точку http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51193/75aec0e0_fab0_0130_c252_12313d0128c8.png, то отношение  http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51214/7ee64240_fab0_0130_c267_12313d0128c8.png зависит только от величины http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51197/775adcc0_fab0_0130_c256_12313d0128c8.png.

Если отношение  http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51235/89d3ab00_fab0_0130_c27c_12313d0128c8.png  при http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51224/8335ba80_fab0_0130_c271_12313d0128c8.png стремится к какому-то числу, то это число называется производной функции http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51236/8a7e0b80_fab0_0130_c27d_12313d0128c8.png в точке http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51193/75aec0e0_fab0_0130_c252_12313d0128c8.png и обозначается http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51238/8b0d62b0_fab0_0130_c27f_12313d0128c8.png.

Определение. Производной функции http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51236/8a7e0b80_fab0_0130_c27d_12313d0128c8.png в точке http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51193/75aec0e0_fab0_0130_c252_12313d0128c8.png называется число, к которому стремится разностное соотношение  http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51235/89d3ab00_fab0_0130_c27c_12313d0128c8.png  при http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51224/8335ba80_fab0_0130_c271_12313d0128c8.png.

Определение производной с помощью пределов.

Предел при http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51224/8335ba80_fab0_0130_c271_12313d0128c8.png разностного отношения  http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51214/7ee64240_fab0_0130_c267_12313d0128c8.png, если он существует, называется производной функции в точке http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51193/75aec0e0_fab0_0130_c252_12313d0128c8.png и обозначается http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51238/8b0d62b0_fab0_0130_c27f_12313d0128c8.png.

4. Геометрический и физический смысл производной

http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51239/8b9e87c0_fab0_0130_c280_12313d0128c8.png, где http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51241/8c29a5c0_fab0_0130_c282_12313d0128c8.png – мгновенная скорость в момент http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51193/75aec0e0_fab0_0130_c252_12313d0128c8.png. В этом заключается физический смысл производной. Производная – это также тангенс угла наклона касательной http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51242/8cc7c730_fab0_0130_c283_12313d0128c8.png, где http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51234/8927f390_fab0_0130_c27b_12313d0128c8.png - угол наклона касательной к кривой http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51185/71a536b0_fab0_0130_c24a_12313d0128c8.png в точке с абсциссой http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51193/75aec0e0_fab0_0130_c252_12313d0128c8.png.

5. Алгоритм нахождения производной

Для того чтобы найти http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51243/8d5bbbf0_fab0_0130_c284_12313d0128c8.png нужно:

1) Задать приращение http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51197/775adcc0_fab0_0130_c256_12313d0128c8.png – это приращение аргумента и вычислить соответствующее приращение функции http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51212/7dc60680_fab0_0130_c265_12313d0128c8.png или http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51245/8df4f7b0_fab0_0130_c286_12313d0128c8.png.

2) Найти разностное соотношение  http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51214/7ee64240_fab0_0130_c267_12313d0128c8.png, упростить его и сократить на  http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51197/775adcc0_fab0_0130_c256_12313d0128c8.png.

3) Если отношение  http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51214/7ee64240_fab0_0130_c267_12313d0128c8.png при http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51224/8335ba80_fab0_0130_c271_12313d0128c8.png стремится к какому-то числу, то это число будет http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/51243/8d5bbbf0_fab0_0130_c284_12313d0128c8.png.

 

4. Подведение итогов, дз: § 9.2 - 9.6 , № 9.34 - 9.40


 

Скачано с www.znanio.ru

Тема: Производная функции.

Тема: Производная функции.

Рассмотрим функцию , ее график и дадим физическую интерпретацию

Рассмотрим функцию , ее график и дадим физическую интерпретацию

Рассмотрим треугольник (см. рис

Рассмотрим треугольник (см. рис

Рис. 4. Физический и геометрический смысл отношения

Рис. 4. Физический и геометрический смысл отношения

Предел при разностного отношения , если он существует, называется производной функции в точке и обозначается

Предел при разностного отношения , если он существует, называется производной функции в точке и обозначается
Скачать файл