Производная. Точки экстремума и перегиба. Возрастание и выпуклость функции

ГБОУ СПО  КАЛЯЗИНСКИЙ КОЛЛЕДЖ ИМ.Н.М. ПОЛЕЖАЕВА «Производная. Точки экстремума и перегиба.   Возрастание и выпуклость функции» Алгоритм работы:   1. Работа с презентацией позволяет сформировать основные понятия по теме,  познакомиться со свойствами функции с позиции производной. 2. Презентация содержит определения, графики,  свойства и теоремы, которые  в случае необходимости можно законспектировать, нажав паузу.  3. Для перехода на содержание  –         , управление презентацией – по щелчку  мыши Калязин 2014

СОДЕРЖАНИЕ Возрастание функции  Убывание  функции y=f(x) Нули  функции Точки  перегиба  Точки  максимума  Точки  минимума Вогнутость  функции  Выпуклость  функции

1. Возрастание функции Функция y=f(x) называется возрастающей на  промежутке, если при возрастании аргумента,  значение функции увеличивается у>0 у>0 Функция y=f(x) возрастает, если большему  значению аргумента соответствует большее  значение функции y=f(x) у>0 Теорема: Если производная на промежутке  положительная, то функция y=f(x)  на данном  промежутке возрастает.

2. Убывание функции Функция y=f(x) называется убывающей на  промежутке, если при возрастании аргумента,  значение функции уменьшается. у< 0 Функция убывает, если большему значению  аргумента соответствует меньшее значение  функции у< 0 y=f(x) Теорема: Если производная на промежутке  отрицательная, то функция y=f(x)  на данном  промежутке убывает.

3. Точки максимума у>0 у< 0 у>0 Точка х = а называется точкой максимума  функции y=f(x) если  производная в данной точке  равна 0, и при переходе через эту точку слева  направо знак производной меняется с (+) на (­)  у< 0 y=f(x) у>0 f(x) + – x max x 0 Распознать точку  максимума по графику  функции очень просто.  График функции в  окрестности точки  максимума выглядят  как гладкий “холм”  x xma

4. Точки минимума у>0 у< 0 у>0 Точка х = а называется точкой минимума  функции y=f(x) если  производная в данной точке  равна 0, и при переходе через эту точку слева  направо знак производной меняется с (­) на (+)  y=f(x) у< 0 у>0 f(x ) – mi n x0 + x Распознать точку  минимума по графику  функции очень просто.  График функции в  окрестности точки  минимума выглядят  как гладкая “впадина”  Точки минимума и точки максимума   называются точками экстремума. x xmin

5. Выпуклость функции Функция y=f(x) называется выпуклой на  промежутке, если все точки графика функции  расположены ниже касательной. к а с а т е л ь н а я касательная y=f(x) к а с а т е л ь н а я у”<0 ТЕОРЕМА: Функция y=f(x) является выпуклой  на промежутке, если вторая производная на этом  промежутке отрицательная.

6. Вогнутость функции Функция y=f(x) называется вогнутой на  промежутке, если все точки графика функции  расположены выше касательной. у”>0 к а с а т е л ь н а я y=f(x) у”>0 касательная к а с а т е л ь н а я у”>0 ТЕОРЕМА: Функция y=f(x) является вогнутой  на промежутке, если вторая производная на этом  промежутке положительная.

7. Точки перегиба Точка Р называется точкой перегиба  функции y=f(x) если  при переходе через эту  точку слева направо знак второй  производной меняется.  P1 P2 у”>0 у”<0 P1 у”<0 y=f(x) P3 у”>0 Распознать точку  перегиба по графику  функции очень просто.  График функции в  окрестности точки  перегиба выглядит  границей между  “холмом” и “впадиной”  Р

8. Нули функции Точки, в которых график функции пересекает  Ординаты этих точек равны 0.  f(x1)= f(x2)=0  ось ОХ называются нулями функции. y=f(x) X1 = 2,5  и  X2 = 5,5   ­ нули функции f(x1)= f(x2)=0