производные показательной и логарифмической функций

Производные показательной и логарифмической функций

Сегодня на занятии:

Вспомним производные элементарных функций;
Вспомним правила дифференцирования;
Познакомимся с формулами для вычисления производных показательной и логарифмической функций;
Научимся вычислять производные показательной и логарифмической функций.
 

Повторим

Повторим

Повторим

Существует ли функция, производная которой равна самой функции?
Ответить на этот вопрос легко. Например, функция которая является нулевой константой, обладает этим свойством.
Т.е. 0 ′ 0 0 0 0 ′ ′ 0 ′ =0
А можно ли указать такую функцию f, определенную на R, отличную от нулевой константы, чтобы 𝑓 ′ 𝑓𝑓 𝑓 ′ ′ 𝑓 ′ 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 =𝑓𝑓 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 для любого 𝑥𝑥𝜖𝜖R? Ответ на этот вопрос неочевиден.

Оказывается, что среди показательных функций 𝑓𝑓 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 = 𝑎 𝑥 𝑎𝑎 𝑎 𝑥 𝑥𝑥 𝑎 𝑥 существует единственная функция такая,
что 𝑓 ′ 𝑓𝑓 𝑓 ′ ′ 𝑓 ′ 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 =𝑓𝑓 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 для всех 𝑥𝑥𝜖𝜖R. Для этой функции число, число, которое является основанием степени, обозначают буквой e, и саму функцию записывают в виде
𝑓𝑓 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 = ⅇ 𝑥 ⅇ ⅇ 𝑥 𝑥𝑥 ⅇ 𝑥 .
Таким образом, ⅇ 𝑥 ′ ⅇ 𝑥 ⅇ 𝑥 ⅇ ⅇ 𝑥 𝑥𝑥 ⅇ 𝑥 ⅇ 𝑥 ⅇ 𝑥 ′ ′ ⅇ 𝑥 ′ = ⅇ 𝑥 ⅇ ⅇ 𝑥 𝑥𝑥 ⅇ 𝑥

Установлено, что число е – иррациональное.
Его можно записать в виде бесконечной непериодической десятичной дроби:
е=2,71828182845…
Функцию 𝑓𝑓 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 = ⅇ 𝑥 ⅇ ⅇ 𝑥 𝑥𝑥 ⅇ 𝑥 называют экспонентой.
Отметим одну особенность графика экспоненты.
Имеем: 𝑓 ′ 𝑓𝑓 𝑓 ′ ′ 𝑓 ′ 0 0 0 =𝑓𝑓 0 0 0 = ⅇ 0 ⅇ ⅇ 0 0 ⅇ 0 =1

Следовательно, касательная к графику экспоненты в точке с абсциссой, равной нулю, имеет угловой коэффициент, равный 1. Значит, эта касательная образует угол 45 0 45 45 0 0 45 0 с положительным направлением оси абсцисс.