Проценты на все случаи жизни.

Негосударственное частное общеобразовательное учреждение  « ЮВЕНТА»  Элективный курс по математике  «Проценты на все случаи жизни» для учащихся 10­11 классов                                              Ловушкина С.Н.,                                                        учитель  математики,                                                                  высшая  квалификационная                                       категория.                                                г. Санкт – Петербург, 2010г Элективный курс  для учащихся 10­11 классов «Проценты на все случаи жизни» Аннотация программы Понятие «проценты» вошло в нашу жизнь не только с уроками в средней школе и с проведением сложных научно­исследовательских работ, не только с выпечкой кулинарных изделий и приготовлением лакомств, солений и варений, оно буквально атакует нас в пору утверждения рыночных отношений в экономике, в пору банкротств, кредитов, инфляций, девальваций. Проценты творят чудеса. Зная их, бедный может стать богатым. Обманутый вчера   в   торговой   сделке   покупатель   сегодня   обоснованно   требует   процент   торговой скидки.   Вкладчик   сбережений   учится   жить   на   проценты,   грамотно   размещая   деньги   в прибыльное дело.   Элективный курс «Проценты на все случаи жизни» призван помочь старшеклассникам систематизировать знания и умения по теме проценты, повысить свою математическую и алгоритмическую культуру, достичь уверенных навыков в решении стандартных задач по алгебре, освоить эвристические подходы к решению нестандартных, творческих задач, а также сформировать привычку поисковой активности, существенную отнюдь не только при занятиях математикой, но и в обыденной жизни. Это программа  для тех, кто изучает  математику,  физику, химию, кому завтра предстоят выпускные и вступительные экзамены, кому в повседневной жизни приходится считать. Пояснительная записка Предлагаемый элективный курс посвящён одной из важнейших тем математики «Процентные исчисления». В рамках общеобразовательной школы процентам уделяется несправедливо мало учебного времени, а, следовательно, уровень знаний, необходимый для приобретения умений, навыков для свободного оперирования ими на уроках математики, химии,   физики   и   просто   в   быту,   оказывается   недостаточным.   Проценты   изучаются   на первом этапе основной школы, когда учащиеся в силу возрастных особенностей ещё не могут   получить   полноценные   представления   о   процентах,   об   их   роли   в   повседневной жизни.  Понимание   процентов   и   умение   производить   процентные   расчёты   необходимы каждому   человеку;   прикладное   значение   этой   темы   велико   и   затрагивает   финансовую, демографическую, экологическую, социологическую и другие стороны нашей жизни. Поэтому представляется необходимым возвращение к процентам на старшей ступени. Элективный курс «Проценты на все случаи жизни» предназначен для реализации в старших классах. Он направлен на удовлетворение познавательных интересов учащихся, имеет   прикладное   общеобразовательное   значение,   способствует   развитию   логического мышления учащихся, использует целый ряд межпредметных связей.   Предлагаемый курс демонстрирует учащимся применение математического аппарата к решению повседневных бытовых проблем каждого   человека, вопросов рыночной экономики и задач технологии производства.  Данный курс должен позволить учащемуся не столько приобрести знания, сколько овладеть различными способами познавательной деятельности.  В каждом разделе курса   имеются   задания   на   актуализацию   и   систематизацию   знаний   учащихся,   задачи различного уровня сложности, сюжеты подавляющего большинства которых, в отличие от обычных   искусственных   текстовых   задач,   непосредственно   взяты   из   действительности, окружающей современного человека, в том числе и старшеклассника, ­ финансовая сфера (платежи, налоги, прибыли), демография, экология, социологические опросы и пр. Уровень сложности задач варьируется от простых упражнений  на применение изучаемых формул до достаточно трудных примеров расчёта процентов в реальных банковских ситуациях. При   постановке   и   решении   задач   возникают   математические   понятия,     например, прогрессии, степени с произвольным действительным показателем и логарифмы, что даёт учащимся дополнительную возможность понять их глубинную суть.  Тема «Проценты» является универсальной в том смысле, что она связывает между собой   многие   точные   и   естественные   науки.   У   учащихся   воспитывается   чувство удовлетворения   от   установленной   им   возможности   приложения   математики   к   другим наукам.   Они   увидят,   что   такие,   на   первый   взгляд,   «бесполезные»   вопросы,   как   сумма членов  арифметической или геометрической прогрессии, имеют глубокий экономический смысл. Этот   курс   направлен   на   то,   чтобы   вооружить   желающих   дополнительными знаниями   по   процентным   исчислениям   для   использования   их   не   только   в   учебно­ познавательном процессе, но и в повседневной жизни – при расчёте выгодности банковской сделки, рентабельности бизнеса, коммерческого предложения. Содержание курса способствует решению задач самоопределения ученика в его дальнейшей профессиональной деятельности. Цели курса:  повторить и привести в систему сведения о процентах;  создать основу для расширения сюжетов решаемых задач, сближающих содержание школьного курса с практическим приложением математики как науки;  способствовать   интеллектуальному   развитию   учащихся,   формированию   качеств мышления, характерных для математической деятельности, развитию практических способностей, необходимых человеку для общей социальной ориентации.                             Задачи курса:  актуализировать   ранее   изученный   и   новый   материал   для   обеспечения   ученикам достаточно высокого уровня компетентности по этой теме;  способствовать   развитию   учащихся   в   отношении   интеллекта,   способностей, мотивации, навыков самостоятельной деятельности;  сформировать   умения   производить   процентные   вычисления,   необходимые   для применения   в   практической   деятельности   и   для   решения   задач   из   смежных дисциплин;  помочь   ученику   оценить   свой   потенциал   с   точки   зрения   образовательной перспективы.              В результате курса учащиеся должны:  понимать   содержательный   смысл   термина   “процент”   как   специального   способа выражения доли величины;  знать широту применения процентных вычислений в жизни;  уметь применять формулы “простых” и “сложных” процентов, формулы массовой концентрации вещества, формулы процентного содержания вещества;  уметь сочетать  устные  и  письменные  приёмы   вычислений,  использовать   приёмы, рационализирующие вычисления. Для   достижения   целей   курса   предлагается   следующие   способы организации деятельности учащихся на различных уроках:    на уроках­лекциях учащиеся учатся конспектировать, анализировать возникновение новых методов решения задач; на уроках­беседах совместными усилиями учителя и учащихся решаются ключевые задачи; на уроках­практикумах учащиеся самостоятельно решают задачи, добиваясь тех или иных навыков, анализируют ошибки и пути их исправления; Элективный курс предусматривает классно­урочную и лекционно­практическую системы обучения. Практическая часть предполагает использование типового школьного оборудования кабинета математики. Программа элективного курса  предлагает знакомство с теорией и практикой рассматриваемых вопросов и  рассчитана на  34 аудиторных часа.  Программа   содержит   темы   творческих   работ   и   список   литературы   по предложенным темам. В   процессе   изучения   данного   курса   предполагается   использование   различных методов активизации познавательной деятельности школьников, а также различных форм организации их самостоятельной работы. Содержание курса Основные задачи на  Основные задачи на  проценты проценты  Проценты  Проценты Что значит жить  Что значит жить  на проценты? на проценты? Задачи на процент­ Задачи на процент­ ный прирост,  ный прирост,  сложные проценты сложные проценты Задачи на смеси,  Задачи на смеси,  сплавы сплавы Проценты от числа Проценты от числа Число по данным  Число по данным  его процентам его процентам Процентное  Процентное  отношение  отношение  Проценты на  Проценты на  экзаменах экзаменах Концентрация,  Концентрация,  процентное  процентное  содержание содержание Олимпиадные  Олимпиадные  задачи задачи Содержание программы Тема 1.  Что надо знать о процентах. (6ч). Устраняются  проблемы  в знаниях  по решению основных задач на проценты: что такое проценты, как выразить число в процентах, как выразить проценты в десятичной дроби, нахождение процентов от данного числа, нахождение числа по его процентам, процентное отношение двух чисел, изменение величины в процентах, проценты и теория вероятности. Тема 2.  Решение задач с помощью уравнений и неравенств. (3ч). Сюжеты задач взяты из действительности: демография, экология, социологические опросы и т. д. Тема 3.  Задачи на процентный прирост и вычисление “сложных  процентов”. (5ч). Введение базовых понятий экономики: процент прибыли, стоимость товара, бюджетный дефицит и профицит, изменение тарифов и т. д. Решение задач, связанных с банковскими расчётами. Тема 4.  Задачи на смеси, сплавы, концентрацию и процентное содержание. (5ч). Концентрация  вещества,  процентное содержание  вещества  – введение  соответствующих понятий и формул. Тема 5.  Проценты на экзаменах. (5ч). Задачи,   предлагаемые   в   КИМах   на   ЕГЭ,   на   вступительных   экзаменах   на   различные факультеты МГУ и других высших учебных заведений. Тема 6.  Олимпиадные задачи. (3ч). Обобщение   полученных   знаний   при   решении   задач   на   проценты.   Задачи   школьных математических олимпиад. Задачи региональных математических олимпиад. Тема 7. Что значит жить на проценты. (3ч). Стратегия   ликвидности,   стратегия   доходности,   цепные   вклады,   государственные краткосрочные облигации. Тема 8. Деловая игра “Проценты в современной жизни. Проценты в мире профессий”. (4ч). Для   старшеклассников   характерна   ориентация   на   свою   будущую   роль   в   обществе.   Их интересуют политические и социальные явления. В игре сосредоточены творческие задания. Можно моделировать жизненные ситуации и сосредоточивать   игровые   действия   вокруг   социальных   проблем   и   отношений   между людьми. Сориентировать   учащихся   на   прикладное   применение   математических   знаний,   в неформальной обстановке произвести диагностику качества знаний учащихся по данной  теме. Построение курса позволяет изучать любой из семи модулей, входящих в элективный курс, отдельно, т.е. если ученик пропустил по каким­либо причинам часть курса или в процессе изучения   скорректировал   уже   сделанный   выбор,   сопоставляя   его   со   своими возможностями. К примеру, он может отказаться от изучения  VI модуля и увеличить практикум в III, IV модулях, что обеспечит индивидуализацию обучения.     Разработанный элективный курс может быть использован учителями математики при подготовке к математическим олимпиадам, ЕГЭ, централизованному тестированию и вступительным экзаменам в высшие учебные заведения. Формы контроля Зачет по итогам освоения модуля может проводиться в форме: письменной контрольной работы; самостоятельной работы;  тестирования; творческой индивидуальной работы     как, например: “Геометрическая   прогрессия   и   её   приложения   в   экономике”   или   «Проценты   в стохастике» и т.п.;  По окончанию курса готовится и проводится деловая игра. собеседования по оценке результатов, достигнутых учеником (рейтинг); Учебный план элективного курса для учащихся 10­11 классов «Проценты на все случаи жизни»  № урока Название темы (модуля) Кол­ во часов Форма проведения лекция беседа практи­ ка Форма контроля Что надо знать о  процентах? Вводный тест по теме  «Проценты» Что надо знать о  процентах? Вычисление процентов   по количеству,   количества по  процентам. Сколько процентов  составляет одно число  от другого?  Изменение величины в  процентах. 1 2 3 4 6 1 1 1 1 2 1 1 1 3 1 1 Тестирование. Конспект. Конспект, самостоятельная работа. Конспект, самостоятельная работа. 5 6        7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Проценты в стохастике Основные задачи на  проценты. Решение задач с  помощью уравнений и неравенств. Стратегия решения  расчётных задач с  помощью уравнений. Решение задач с  помощью уравнений,  систем уравнений и  неравенств. Решение задач с  помощью уравнений и  неравенств. Задачи на  процентный прирост  и вычисление  “сложных   процентов”.  Прикладные задачи Формулы сложных  процентов в задачах с  финансово­ экономическим  содержанием Распродажа. Тарифы.  Штрафы. Банковские операции.  Голосование. Задачи на процентный  прирост и вычисление  “сложных  процентов”.  Задачи на смеси,  сплавы,  концентрацию и  процентное  содержание.  Задачи на смеси,  сплавы, концентрацию и процентное содержание. Растворы, смеси.  Сплавы. Концентрация и  процентное содержание. Комбинированные  задачи. 1 1 3 1 1 1 5 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Творческая работа Контрольная работа. Конспект. Конспект, самостоятельная работа. Самостоятельная работа. Конспект. Конспект. Конспект. Самостоятельная работа, собеседование. Конспект. Конспект, самостоятельная работа. Конспект, самостоятельная работа. Конспект Задачи на смеси,  сплавы, концентрацию и процентное содержание. Проценты на  экзаменах.  Арифметическая и  геометрическая  прогрессии. Простые и  сложные проценты. Решение задач из  КИМов ЕГЭ. Решение  экзаменационных задач  «на проценты» Решение  экзаменационных задач  «на проценты» Решение  экзаменационных задач  «на проценты» Олимпиадные  задачи.  Примеры олимпиадных  задач «на проценты» с  решениями. Олимпиадные задачи  «на проценты». Олимпиадные задачи  «на проценты». Что значит жить на проценты?  Стратегия ликвидности, стратегия доходности,  цепные вклады,  государственные  краткосрочные  облигации. Решение задач. Что значит жить на  проценты? Проценты в  современной жизни.  Проценты в мире  профессий. Прикладные задачи «на  19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 1 5 1 1 1 1 1 3 3 1 4 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 4 1 Самостоятельная работа, собеседование. Конспект. Конспект, самостоятельная работа. Конспект, самостоятельная работа. Самостоятельная работа Контрольная работа. Конспект. Конспект, самостоятельная работа. Самостоятельная работа, собеседование. Конспект. Конспект, самостоятельная работа. Творческая работа. Исследовательская проценты» 32 33 34 Прикладные задачи «на  проценты»      1 Проценты в  современной жизни.  Проценты в мире  профессий. 1 1 1             работа в          малых группах Исследовательская              работа в          малых группах Защита исследовательского проекта, игра «Математик­ бизнесмен» Деловая игра Список литературы для учащихся 1.   Усов Н.А. Повторим математику. – Киев, 1994 Дорофеев, Г. В., Седова, Е. А. Процентные вычисления. 10­11 классы: учеб.­метод. пособие. – М.: Дрофа, 2003. – 144 с. 2. Денищева,   Л.   О.,   Бойченко,   Е.   М.,   Глазков,   Ю.   А.   и   др.   Готовимся   к   единому государственному экзамену. Математика. – М.: Дрофа, 2003. ­120 с.  3. Егерев, В. К. и др. Сборник задач по математике для поступающих во втузы / под ред. М. И. Сканави. – М.: “Оникс – 21 век” 2003. 4. Шевкин, А. В. Текстовые задачи. – М.: Просвещение, 1997. – 112 с. 5. Корешкова Т.А. Тестовые задания по математике. – М.: Экзамен, 2005 6.  Петрова И.Н. Проценты на все случаи жизни. – Челябинск, 1996 Список литературы для учителя 1. Винокурова Е., Винокуров Н. Экономика в задачах. – М, 1998 2. Денищева Л.О. Единый государственный экзамен: Математика. – М.: Просвещение,  2003­2009 3. Звавич Л.И., Аверьянов Д.И., Пигарев Б.П., Трушанина Т.Н. Задания для  проведения письменного экзамена по математике в 9­м классе. – М.: Просвещение,  1994  4. Корешкова Т.А. Тестовые задания по математике. – М.: Экзамен, 2005 5. Макарычев Ю.Н. Дополнительные главы к школьному учебнику. – М.: Просвещение, 1996 6. Математика: 2600 тестов и проверочных заданий для школьников и поступающих в  вузы / П.И. Алтынов, Л.И. Звавич, А.И. Медяник и др. – М.: Дрофа, 1999 7. Петрова И.Н. Проценты на все случаи жизни. – Челябинск, 1996 8. Рельдман Ф.Г., Рудзитис Г.Е. Химия для 9­х классов средних общеобразовательных  учебных заведений. – М.: Просвещение, 1994 9. Сборник задач по математике для поступающих в вузы / Под редакцией А.Н.  Приленко. – М.: Высшая школа, 1989 10. Симонов А.С. Экономика на уроках математики. – М: Школа­Пресс, 1999 11. Усов Н.А. Повторим математику. – Киев, 1994 12. Цыпкин А.Г., Пинский А.Н. Справочник по методам решения задач по математике  для средней школы. – М.: Наука, 1989 13. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач. – М.:  Просвещение, 1994 14. Вигдорчик, Е., Нежданова, Т. Элементарная математика в экономике и бизнесе. –  М., 1997. 15. Глейзер, Г. И. История математики в школе (4­6 кл.): пособие для учителей. – М.:  Просвещение, 1981. 16. Денищева, Л. О., Миндюк, М. Б., Седова, Б. А. Дидактические материалы по  алгебре и началам анализа. 10­11 класс. – М.: Издательский дом “Генжер”, 2001. 17. И. Н. Петрова. “Проценты на все случаи жизни”. Челябинск. Южно­Уральское  книжное издательство. 1996. 18. Модульно­рейтинговая система в профильном обучении. Методические  рекомендации. Федеральное агентство по образованию. Российская академия  образования. М. 2005. 19. Лурье, М. В., Александров, Б. И. Задачи на составление уравнений. – М.: Наука,  1990. 20. Потапов, М. К., Олехник, С. Н., Нестеренко, Ю. В. Конкурсные задачи по  математике: справочное пособие. – М.: Наука, 1992. – 480 с.  21. В.С.Крамор. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. Москва. “Просвещение”. 1990. стр.22 – Справочный материал по теме “Проценты”. 22. Журнал “Математика в школе” №10. 2003. стр.2 “Курс по выбору для 9 класса” 23. Газета “Математика” №30. 2002. стр.29. А.Буслаев “Сложные проценты”. 24. Газета “Математика” №20. 2004. стр.22; №22. 2004. стр.29; №23. 2004. стр.28.  М.Кац. “Проценты”. 25. Математика – подготовка к ЕГЭ. Учебно­тренировочные тематические тестовые  задания. Ч.2. Волгоград. Издательство “Учитель”. 2003. стр.63 “Задачи на  проценты”. 26.  А.Г.Мордкович. События. Вероятности. Статистическая обработка данных.  Москва. “Мнемозина” 2003. стр. 56­57. Вводный тест по теме «Проценты» 1. Найдите 25% от 56. a. А) 14         Б) 22,04         В) 20         Г) 25        2. Найдите число, если 1% его равен 75. a. А) 0,75         Б) 7,5         В) 7500         Г) 750       3. Клубника содержит 6% сахара. Сколько килограммов сахара в 27 кг клубники? a. А) 1,82 кг         Б) 1,62 кг         В) 2,24 кг         Г) 2,42 кг              4. Книга стоила 25 р. После повышения цены она стоит 30,25 р. На сколько процентов возросла стоимость книги? a. А) на 21%         Б) на 20%         В) на 24%         Г) на 25%              5. Найдите число, 34% которого равны 170. a. А) 57,8         Б) 500         В) 56,5         Г) 510              6. На   математической   олимпиаде   32%   участников   получили   грамоты.   Сколько школьников приняло участие в олимпиаде, если наградили 416 человек? a. А) 932         Б) 1300         В) 133,1         Г) 1340              7. Надо вспахать участок поля в 500 га. В первый  день вспахали 150 га. Сколько процентов составляет вспаханный участок от всего участка? a. А) 330%         Б) 30%         В) 125%         Г) 45% 8. Число уменьшили на 20%. На сколько процентов надо увеличить полученное число, чтобы получить данное число? a. А) на 20%         Б) на 40%         В) на 25%         Г) на 30%              9. Число 56 составляет 80% от некоторого числа. Найдите среднее арифметическое этих чисел. a. А) 63         Б) 44,8         В) 126         Г) 56              10.   Сторону   квадрата   уменьшили   на   20%.   На   сколько   процентов   уменьшилась   его площадь? А) на 20%         Б) на 36%         В) на 10%         Г) на 40%                           Таблица ответов: № задания Ответ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 А В Б А Б Б Б В А Б Модель урока  Тема: «Что мы знаем о  процентах?» Цель: Повторить:  Что такое проценты? Как выразить число в процентах? Как выразить проценты в виде  десятичной дроби? Как найти процент от числа? Как найти число по его процентам? Как  найти процентное отношение двух чисел?    Проценты на экзаменах по математике. «Что такое  проценты? Как выразить число в процентах?»      Некоторые дроби чаще других встречаются в повседневной жизни, и потому они  получили особые названия: половина ( 1/ 2 ), треть (1/3), четверть (1/4) и процент (1/100).      На практике дробные числа очень часто приходится сравнивать, а делать это удобно  тогда, когда они выражены в одинаковых долях – только в третьих, только в четвертых,  только в десятых.… Самыми удобными оказались сотые доли, которые и называют  процентами (от латинских слов  pro centum – «за сто»). Отсюда и определение:  процентом называется дробь 1/100(0,01).     Обозначают процент знаком %. Интересно его происхождение. Появился он в результате опечатки: наборщик переставил цифры в числе 100. Вот так – 010. Первый ноль чуть – чуть приподняли, второй чуть­чуть опустили, единицу чуть­чуть упростили – вот и получился  этот знак. Заменяет он множитель 0,01. 1% = 1/100, или 0,01. Проценты – это числа,  представляющие собой частные случаи десятичных дробей. Любое число можно выразить  десятичной дробью, значит, и в процентах. Рассудим так: единица содержит сто сотых долей, то есть 100%. Каждое число можно представить в виде произведения единицы на  это число, а значит, выразить его в процентах:      2 = 1 ∙ 2 = 100% ∙ 2 = 200%      7 = 1 ∙ 7 = 100% ∙ 7 = 700%      1,534 = 1∙1,534 = 100% ∙1,534 = 153,4%      0,8 = 1∙ 0,8 = 100% ∙ 0,8 = 80% Итак, чтобы выразить число в процентах, достаточно умножить его на 100 и поставить  знак %. Удобно сначала выразить число в виде десятичной дроби, а затем перенести  запятую на два знака вправо и поставить %. П р и м е р ы: 4 = 4,00 = 400%; 5/10 = 0.5 = 50%; ¾ = 0.75 = 75%. Как выразить проценты в виде десятичной дроби Теперь ставится обратная задача: выразить проценты в виде десятичной дроби.  Например, 9% означают 9 сотых долей. Записать это можно так: 9% = 9/100 = 0.09. По  аналогии выводим: 37% = 37/100 = 0.37;  600% = 600/100 = 6;  290% = 290/100 = 2.9. Чтобы выразить проценты в виде десятичной дроби, достаточно их число  разделить на 100. Это правило можно сформулировать и так: чтобы проценты  выразить в виде десятичной дроби, надо в их числе перенести запятую на два знака  влево. П р и м е р ы:  300% = 3;  36.7% = 0.367;  9% = 0.09;  0.1% = 0.001. Нахождение процентов от данного числа З а д а ч а. В семенах сои содержится 20% масла. Сколько масла содержится в 700 кг  сои? Р е ш е н и е. В задаче требуется найти указанную часть (20%) от известной величины (700 кг). Такие  задачи можно решать способом приведения к единице. Основное значение величины – 700  кг. Ее мы можем принять за условную единицу. А условная единица и есть 100%. Кратко условие задачи можно записать так: 700 кг – 100%, x кг – 20%. Здесь за  х принята искомая масса масла. Узнаем, какая масса сои приходится на 1 %.  Поскольку на 100 % приходится 700 кг, то на 1 % будет приходиться масса, в 100 раз  меньшая, то есть 700 : 100 = 7(кг). Значит, на 20 % будет приходиться в 20 раз больше:         7 ∙   20 = 140(кг). Следовательно, в 700 кг сои содержится 140 кг масла. Эту задачу можно решить и иначе. Если в условии этой задачи вместо 20 % написать   равное  ему число 0,2, то получим задачу на нахождение дроби от числа. А такие задачи  решают умножением. Отсюда получим другой способ решения: 1) 20% = 0,2;  2) 700 ∙ 0,2 = 140 (кг). Чтобы найти несколько процентов от числа, надо проценты выразить дробью, а затем найти дробь от данного числа. Нахождение числа по его процентам З а д а ч а. Из хлопка­сырца получается 24 % волокна. Сколько надо взять хлопка­ сырца, чтобы получить 480 кг волокна? Решение. 480 кг волокна составляют 24 % от некоторой массы хлопка­сырца, которую  принимаем за х кг. Будем считать что х кг составляют 100 %. Теперь кратко условие  задачи можно записать так: 480кг – 24 %, х  кг – 100 %. Решим эту задачу способом приведения к единице. Узнаем, какая масса волокна  приходится на 1%. Поскольку на 24 % приходится 480 кг, то, очевидно, на 1% будет  приходиться масса в 24 раза меньше, то есть 480 : 24 = 20 (кг). Далее рассуждаем так : если на 1 % приходиться масса в 20 кг, то на 100 % будет приходиться масса, в 100 раз большая, то есть 20 ∙ 100 = 2000 (кг) = 2(т). Следовательно, для получения 480 кг волокна надо взять 2 т хлопка­сырца. Эту задачу можно решить и иначе. Если в условии этой задачи вместо 24 % написать равное ему число  0,24, то получим  задачу на нахождение числа по известной его части (дроби). А такие задачи решают  делением. Отсюда вытекает еще один способ решения:  1) 24% = 0,24;  2)  480:0,24=2000  (кг)=2(т). Чтобы найти число по данным его процентам, надо выразить проценты в виде дроби решить задачу на нахождение числа по данной его дроби.  З а д а ч а   1. Надо вспахать участок поля в 500 га. В первый день вспахали 150 га.  Процентное отношение двух чисел Сколько процентов составляет вспаханный участок от всего участка? Решение. Чтобы ответить на вопрос задачи, надо найти отношение (частное) вспаханной части  участка ко всей площади участка и выразить это отношение в процентах: 150 500 3 10  30 , 30 %. Таким образом, мы нашли процентное отношение, то есть сколько процентов одно  число (150) составляет от другого числа (500). Чтобы найти процентное отношение двух чисел, надо найти отношение этих чисел  и выразить его в процентах. З а д а ч а  2. Рабочий изготовил за смену 45 деталей вместо 36 по плану. Сколько  процентов фактическая выработка составляет от плановой? Решение. Для ответа на вопрос задачи надо найти отношение (частное) числа  45 к 36 и выразить  его в процентах: 45 : 36 = 1,25 = 125% Вопросы и упражнения 1. Найдите: а) 10% от 150;  б) 7% от 40 км; в) 15% от 200 кг; г) 10% от 0,16 ц. 2. Найдите число:  а) 5% которого равны15;  б) 7% которого составляют 3,5;  в) если  24% его равны 18;  г) 205 которого составляют32. 3. Сколько процентов составляют: а)  15 кг от 100 кг;  б) 14 м от 20 м;  в) 18 руб. от 12 руб.;  г) 0,9га от 1,5 га? 4.  Найдите частное и выразите его в процентах:  а) 7,14:0,7;  б) 0,918:0,09;    в)    0,336:1,5 ;  г) 1,7:6,8. 5.  В открытой степи скорость ветра составляет 8 м/с, а после прохождения через  лесную полосу – 4,4 м/с. На сколько процентов уменьшилась скорость ветра после  прохождения через лесную полосу? 6.  Посеяли 300 зерен, из них 270 дали всходы. Определите процент всхожести зерен. 7.  В 450 г раствора содержится 27 г соли. Определите процент содержания соли в  растворе. 8.  Каким бы чистым ни казался воздух, в нем всегда имеется пыль. Когда мы дышим  через нос, пыли задерживается на 60 % больше, чем тогда, когда мы дышим через рот. Во  сколько раз при дыхании через нос пыли задерживается больше, чем при дыхании ртом 9.  Лимонный маргарин содержит 64% жира, 16 % сахара и другие продукты. Сколько  килограммов жира, сахара и других продуктов содержится в 2,25 т лимонного маргарина? 10. Игра «Математическая эстафета». Найдите число, если а) 5%;  16%;  20%;  96%;  120%  их равны 480; б)  10%;  21%;  56%;  84%;  140%  их равны 420; в)  9%;  30%;  45%;  75%;  225%  их равны 450. 11. Бригада рабочих должна была заасфальтировать участок дороги длиной 840 м. В  первый день она выполнила 25%  задания, во второй день 40% , а остальная часть задания  была выполнена в третий день. Сколько метров дороги было заасфальтировано в третий  день? 12. Из свежих груш получается 18% сушеных.  Сколько взяли свежих груш, если  получилось 54 кг сушеных? Сколько получится сушеных груш из 120 кг свежих? 13. Нина прочитала 30%  страниц книги, а если она прочитает еще 50 страниц, то она  прочитает 55% страниц книги. Сколько всего страниц в ней? 14. Одна тонна хлопка­сырца дает 350 кг волокна и 500 кг семян. Сколько процентов  составляют семена и волокно в отдельности от массы хлопка­сырца? Сколько процентов от массы семян составляет масса волокна? Или же задачи из сборника для экзаменов части А и В, например,  Часть А: 1. Перед Новым годом цены в магазине подарков были снижены на 25%. Некоторый товар   до   уценки   стоил  х  р.   Ученик   записал   четыре   разных   выражения   для вычисления новой цены товара. Одно из них неверно. Какое?  А)  х – 0,25х         Б) 0,75х             В)  х – 25              Г)  х –  x 4 2. После уценки телевизора его новая цена составила 0,8 старой. Сколько процентов от старой цены составляет новая? А) 0,8%           Б) 8%                    В) 20%             Г) 80% Часть В: 3. (7.8) В прошлом году на два самых популярных факультета университета было  подано1100 заявлений. В текущем году число заявлений на первый из этих  факультетов уменьшилось на 20%, а на второй увеличилось на 30 %, причем всего  было подано 1130 заявлений. Сколько заявлений было подано на каждый из этих  факультетов в текущем году? (на 2 балла)  Ответ: 480 и 650 (7.29) Влажность свежескошенной травы 60%, сена 20%. Сколько сена получится из  1 т свежескошенной травы? (на 4 балла). Ответ:500 кг сена. (7.53) На аукционе одна картина была продана с прибылью 20%, другая с прибылью  50%. Общая прибыль от продажи двух картин составила 30%. У какой картины  первоначальная цена была выше и на сколько? (на 6 баллов)  Ответ: первоначальная  стоимость первой картины в 2 раза больше, чем второй. 4. 5. Модель урока Тема: «Решение задач на проценты с помощью уравнений» Цель   урока:   Отработка   навыков   по   решению   задач   на   проценты   с   помощью уравнений Ход урока: I Актуализация знания  Тест – опрос. Установите истинность (ложность утверждения) 1) Верно ли:                       а) 37% = 0,37                       б) 290% = 2,9                       в) 9% = 0,9 2) Верно ли:                        а) 5% от 400 равно 20                       б) 20% от 300 равно 6                       в) 1% от 1 м равно 10 см 3) Найти число х:                        а) 4% его равны 160; х = 400                        б) 70% его равны 560; х = 800                        в) 17% его равны 68; х = 400 4) Процентное отношение чисел:                        а) 150 к 500 равно 30%                        б) 7 к 10 равно 700%                        в) 137 к 100 равно 137% Таблица ответов: 3 б + Условные обозначения:       + «Истинна,         – «Ложь» 1 б + 2 б – в + а – а + в – а + в + а + 4 б – в + II Решение задач Задача 1. Одной машинистке на перепечатку рукописи требуется на 12 ч больше, чем   другой.   Если   25%   рукописи   перепечатает   первая   машинистка,   а   затем   к   ней присоединится вторая машинистка, то на перепечатку рукописи им понадобиться 35 ч, считая   от   момента   начала   работы   первой   машинистки.   За   сколько   часов   могла   бы перепечатать рукопись каждая машинистка, работая отдельно? Решение:  Пусть на перепечатку рукописи  первой  машинистке  требуется   x   ч,  ч. На перепечатку 25% рукописи первая машинистка тогда второй потребуется   12x затратит   x 4   ч.   Выясним   теперь,   сколько   времени   потребуется   двум   машинисткам   на перепечатку оставшихся 75% рукописи. Первая машинистка перепечатывает за один час 1 x 1 x  часть рукописи, вторая –  1 x 12  часть рукописи, а вместе за час они перепечатывают  1  12 x   часть   рукописи.   На   перепечатку   3 4   рукописи   им   потребуется 3 4 :    1 x  1  12    x  ч, т.е.   xx 3  x 24    12 12  ч. Отсюда получаем уравнение:  Решив это уравнение, найдем, что оно имеет два корня:  Второй корень не соответствует условию задачи.   x 4 1 x 60  и     xx 3  x 24 2 x  12  12 4,5  35 . Ответ: первой машинистке на перепечатку рукописи требуется 60 ч, а второй – 48 ч. Задача 2. Положив  в банк деньги,  вкладчик  получил через год прибыль  в 240 тысяч рублей. Однако он не стал забирать деньги из банка, а, добавив к ним еще 60 тысяч, снова оставил деньги на год. В результате спустя еще год он получил в банке 1 миллион 100 тысяч рублей. Какая сумма была положена в банк первоначально и какой процент прибыли в год давал банк?   Решение:  Допустим,   что   первоначальный   вклад   составляет   x   тысяч   рублей. Тогда процент прибыли за год равен  240  x %100 . Сумма вклада, положенного в банк через год, составила  x 240  60  тысяч рублей, т.е.  x 300  тысяч рублей. Этот вклад принес доход,   равный   x  300  240 x рублей.   тысячам   рублей.   Всего   вкладчик   получил   1100   тысяч Получаем уравнение:  x  300     240  x  300 x  1100 Решив его, найдем, что это уравнение имеет два корня:   1 x 200 ,   2 x .360 Выполнив расчеты, можно убедиться, что оба корня соответствует условию задачи. Ответ: задача имеет два решения: вкладчик вложил первоначально 200 тысяч  рублей и получил доход 120% в год или вкладчик вложил первоначально 360 тысяч рублей  и получил доход  66 2 3 %  в год.  Задача 3. Имелось два слитка меди. Процент содержания меди в первом слитке  был на 40 меньше, чем процент содержания меди во втором. После того как оба слитка  сплавили, получили слиток, содержащий 36% меди. Найдите процентное содержание меди  в первом и во втором слитках, если в первом слитке было 6 кг меди, а во втором – 12 кг. Решение: Обозначим за  x  массу первого слитка в кг, за  y  массу второго слитка  4,0 в кг, получим систему уравнений:  12 6   y x  18   36,0   y   x  x ,0  0 y В результате получим: х=30, у=20. Ответ: 30 кг, 20 кг Задача 4. Для определения оптимального режима снижения цен социологи  предложили фирме с 1 января снижать цену на один и тот же товар в двух магазинах двумя способами. В одном магазине – в начале каждого месяца (начиная с февраля) на 10%, в  другом – через каждые два месяца, в начале третьего (начиная с марта) на одно и то же  число процентов, причем такое, чтобы через полгода (1 июля) цены снова стали  одинаковыми. На сколько процентов надо снижать цену товара через каждые два месяца во втором магазине? Решение: Пусть  а  руб. ­ стоимость товара,  x  ­ число процентов. Тогда, I магазин         Февраль  a         Март      a a 1,0 a     1,01 1,0   )1,01(  a   1,01   2)1,01( a         ……………………………………         Июль     6)1,01( a II магазин         Март      a  01,0 xa  )01,01( x a         Май                Июль      a  2)01,01( x a  3)01,01( x По   условию   задачи   через   полгода   (1   июля)   цены   снова   стали   одинаковые, составляем уравнение:  а )1,01(  6  )01,01( х а 3 Ответ: на 21%. 21х III Задачи для самостоятельной работы Задача  1. В  соответствии  с  договором  фирма  с  целью  компенсации   потерь  от инфляции была обязана в начале каждого квартала повышать сотруднику зарплату на 3%. Однако в связи с финансовыми затруднениями она смогла повышать ему зарплату только раз в полгода (в начале  следующего полугодия). На сколько процентов фирма  должна повышать зарплату каждые полгода, чтобы 1 января следующего года зарплата сотрудника была равна той зарплате, которую он получил бы при режиме повышения, предусмотренной договором. Решение: Пусть  а  руб. ­ зарплата,  x  ­ процент повышения зарплаты. Тогда, По плану         I квартал         )03,01( a  руб. ……………………………        IV квартал      4)03,01( a  руб. Фактически         I полугодие    a  )01,01( x  руб.         II полугодие   a  2)01,01( x  руб.        По условию задачи зарплата сотрудника была равна той зарплате, которую он получил бы при режиме повышения, предусмотренного договором, составляем уравнение:  а )03,01(  4  )01,01( х а 2 09,6х Ответ: на 6,09 %. Задача 2. На заводе было введено рационализаторское предложение. В результате время, необходимое для изготовления рабочими некоторой детали, уменьшилось на 20%. На сколько процентов возросла производительность труда этого рабочего? Решение: Пусть  х  ­ производительность труда, а  у  ­ весь объем работы. Тогда работа будет выполнена за время  у х . В результате роста производительности труда время на изготовление детали стало равно  8,0 у х , соответственно производительность  у 8,0: у х ,   или   х 8,0 .   Соответственно   рост   производительности   труда   составил:  х х 8,0/ х  %25%100  Ответ: 25% Задача 3. Из жителей города одни говорят только на украинском, другие – только на русском, третьи – на обоих языках. По­украински говорят 85% всех жителей, а по­ русски – 75%. Сколько процентов всех жителей этого города говорят на обоих языках? Решение:  100%­85%=15% ­ не говорят на украинском; 100%­75%=25% ­ не говорят на русском; 100%­15%­25%=60% ­ говорят на обоих языках. Ответ: 60% Модель урока Тема: «Решение задач.  Задачи на проценты, предлагаемые на уроках химии». Цель: рассмотреть задачи на проценты, встречающиеся на уроках химии. 1. Элементный состав вещества следующий: массовая доля элемента железа 72,41 %,  массовая доля кислорода 27,59 %. Выведите химическую формулу. Решение а)  Находим отношение числа атомов: б)  Меньшее число принимаем за единицу и находим следующее отношение: Fe : O = 72.41/56 : 27.59/16   1.29 : 1.72. в)  Так как должно быть целое число атомов, то это отношение приводим к целым  числам, для чего необходимо правую часть выражения умножить на 3: Fe : O  1 : 1.33. Fe : O = 3 : 3.99, или  3 : 4. О т в е т: химическая формула данного вещества Fe3O4. 2. Экспериментально установлено, что элементный состав газообразного вещества  следующий: массовая доля углерода – 85,71 %, массовая доля водорода – 14,29 %. Масса 1 л этого газа при нормальных условиях составляет 1,25 г. Найдите химическую формулу  данного вещества. Решение а)  Находим отношение числа атомов элементов: C : H = 85.71/12 : 14.29/1 = 7.14 : 14.29  1 :2. Следовательно, простейшая формула этого газа CH2. б)  Находим молярную массу по простейшей формуле: Однако отношению чисел атомов 1 : 2 соответствует много формул, например C2H4,  M(CH2) = 12 + 2 ∙ 1 = 14 г/моль. C3H6 и т.д. в)  Чтобы выяснить, какая из этих формул соответствует данному газу, находим  молярную массу по плотности (p): M = Vmp = 22.4 ∙ 1.25 = 28; M = 28 г/моль. Так как близкая по численному значению молярная масса, равная 28 г, соответствует  лишь формуле C2H4, то именно эта формула является истинной. О т в е т: химическая формула исследуемого вещества C2H4 (этилен). 3.  Вычислите массовые доли элементов в гидроксиде натрия.        Решение.        а) Находим молярную массу гидроксида натрия: M(NaOH) = 23 + 16 + 1 = 40;   M(NaOH) = 40 г/моль.        б) Вычисляем массовую долю натрия: W(Na) = 23/40 = 0.575  масс. д., или 57,5%.        в) Вычисляем массовую долю кислорода: W(O) = 16/40 = 0,4 масс. д., или 40%.        г) Вычисляем массовую долю водорода: W(H) = 1/40 = 0,025 масс. д., или 2,5%. Д) Проверяем правильность вычисления: 0,575 + 0,4 + 0,025 = 1,00( в массовых долях); 57,5 + 40 + 2,5 = 100 (в %).        О т в е т :  Элементный состав NaOH следующий: массовая доля натрия – 0,575 (или  57,5%), массовая доля кислорода – 0,4 (или 40%) и массовая доля водорода – 0,025 (или  2,5%).        П р и м е ч а н и е. Содержание водорода можно также вычислить по разности:        W(Na) + W(O) = 0,575 + 0,4 = 0,975  масс. д., или 97,5%;        W(H) = 1,0 ­ 0,975 = 0,025  масс. д., или 2,5%;        W%(Na) + W%(O) = 57,5 + 40 = 97,5;        W%(H) = 100 ­ 97,5 = 2,5.        4.Какой объем воды потребуется для разбавления 200 мл раствора (p = 1,4 г/см ),  содержание  HNO3 в котором в массовых долях составляет 68%, чтобы получить раствор с содержанием HNO3,  равным10 %?        О т в е т : требуется прилить  1624 мл воды.       5. Из 140 т жженой извести получили 182 т гашеной извести. Сколько процентов это  составляет от теоретически возможного выхода?        О т в е т : практический выход составляет 98,38%. Модель урока. Тема: «Решение задач. Задачи на проценты, предлагаемые на уроках физики». Цель: рассмотреть задачи на проценты, встречаемые на уроках физики. 1.Груз массой 15 кг равномерно перемещают по наклонной плоскости, прикладывая при этом силу в 40 Н. Чему равно КПД наклонной плоскости, если длина ее 1.8 м, а высота – 30 см? Решение: η =(Ап/А)∙100% Полезная (затраченная) работа Аз=Fl. Полезная работа Ап=Fтяж∙h Fтяж=gm; Fтяж=9,8 Н/кг∙15кг=150 Н Ап=150 Н∙0,3м=45 Дж; Аз=40 Н∙1,8м=72 ДЖ. η  = (45Дж/72Дж)∙100%=62,5% О т в е т : 62,5% 2.  На коротком плече рычага подвешен груз массой 100кг. Для его подъема к длинному плечу приложили  силу 250 Н.   Груз  подняли на высоту h1 = 0.08 м, при этом точка  приложения движущей силы опустилась на высоту  h2 = 0.4 м. Найти КПД рычага. О т в е т: КПД рычага 78,4%. 3.   Какую работу совершает электродвигатель за 1 ч, если сила тока в цепи  электродвигателя 5А, напряжение на его клеммах 220 В? КПД двигателя 80%.      О т в е т: 3168 кДж. 4.  Двигатель насоса, развивая мощность N = 25 кВт, поднимает V = 100 м³  нефти  на  высоту  h = 6 м за t = 8 мин. Найти КПД двигателя. N = 25 кВт = 2,5 × 10³Вт; V = 100 м³; P = 800 кг/м³; h = 6 м; t = 8 мин = 480 сек; g = 9,8 м/с; V—объем нефти; p – плотность нефти; g – ускорение свободного падения; ή = КПД двигателя; Апол – полезная работа; Азатр – вся работа, произведенная  двигателем; ή = Апол /Азатр×100%. ή ­­ ?; Апол = ΔП = mgh, где ΔП – изменение потенциальной энергии нефти при подъеме на  высоту h. p = m / v ⇒ m = p×V и Апол = p × V × g × h, где m – масса нефти. Азатр = Nt. Затраченная работа ­­ это работа, совершаемая двигателем за время t,  который развивает мощность N. По определению мощности N = Азатр / t;      Азатр = Nt.  Подставим значения Апол и Азатр в формулу КПД:  hgVP   100 %;  tN   h     3  мммкг 3 2  м с Вт с  %          мН Дж  с с  %          Дж Дж .%%     КПД не имеет единицы измерения, может выражаться в %. 10 4 68,9  480      О т в е т: КПД двигателя 39,2%.  8,968   25 10 100 25000  800 48 10 2  4 2  10  %.2,39 Модель урока. Тема: « Задачи на процентный прирост и вычисление сложных процентов». Цель: познакомить с задачами на процентный прирост и с формулой  вычисления  сложных процентов.  Решение задач на процентный прирост и вычисление «сложных процентов» основано  на использовании следующих понятий и формул. Пусть некоторая переменная величина А,  зависящая от времени t, в начальный момент  t = 0 имеет значение А0, а в некоторый  момент времени  t1 имеет значение А1. Абсолютным приростом величины А за время  t1  называется разность А1 – А0, относительным приростом величины А за время t1 –  отношение  (А1­А0)/А0  и процентным приростом величины А за время  t1 –величина       Обозначая процентный прирост величины А через p%, получаем следующую формулу,  связывающую значения А0, А1 и процентный прирост p: ((А1­А0)/А0) ∙100%.       Запись последней формулы в виде: ((А1­А0)/А0) ∙ 100% = p% А1 = А0 (1+p/100) =  А0+ А0  p/100       Позволяет по известному значению А0 и заданному значению р вычислить значение А в  момент времени t1.       Пусть теперь известно, что далее при t > t1 величина А имеет процентный прирост р%.  Тогда в момент времени t2 = 2t1 значение величины А2 = А(t2) , будет равно      В момент времени t3 = 3t1  значение величины  А3 = А(t2)  есть: А2 = А1(1+р/100) = А0(1+р/100)²  . А3 = А2(1+р/100) = А0(1+р/100)³  ;      В момент времени  nt1: Аn = А0(1+р/100)ⁿ.         Если за время t1 (на «первом этапе») величина А изменилась на р1%, на «втором этапе»  (то есть за время t2 – t1 = t) –  на р2%, на «третьем этапе» (то есть время t3 – t2 = t1) – на  p3% и т.д., то значение величины А в момент tn = n  t1 вычисляется по формуле: An = A0 (1 + p1/100) (1 + p2/100)…(1 + pn/100). П р и м е р 1. Предприятие работало три года. Выработка продукции за второй год  работы предприятия возросла на p%, а на следующий год она возросла на 10% больше, чем  в предыдущий. Определить, на сколько процентов увеличилась выработка за второй год,  если известно, что за два года она увеличилась в общей сложности на 48,59%. Решение Обозначим количество продукции, произведенной за первый, второй и третий годы  работы предприятия, через А1, А2 и А3 соответственно. По условию задачи за второй год  процентный прирост составил p%, а за третий год – (p + 10)%. В соответствии с  определением процентного прироста эти условия дают два уравнения: ((А2 – А1)/А1) ∙ 100% = p%, ((A3 – A2)/A2) ∙ 100% = (p + 10)%. По условию задачи также известно, что за два года производство выросло на 48,59%, то есть в третий год предприятие производило на 48,59% продукции больше, чем в первый  год. Это условие можно записать в виде уравнения:  ((А3 – А1)/А1) ∙ 100% = 48,59%. Запишем полученные уравнения в виде следующей системы: A2 = A1(1 + (p/100)), A3 = A2(1 + ((p + 10)/100)), A3 = A1(1 + (48.59/100)). Умножая первое уравнение на второе, получаем: A3 = A1(1 + p/100))(1 + ((p + 10)/100)). Из полученного уравнения и третьего уравнения системы получаем уравнение для  отыскания неизвестной величины p: (1 + (p/100))(1 + ((p + 10)/100)) = 1 + 48.59/100 => p² + 210p – 3859 = 0. Корни последнего квадратного уравнения: p1 = 17, p2 = 227. По смыслу задачи подходит первый корень p1 = 17. О т в е т: 17 %. 2.Сберкасса начисляет ежегодно 3% от суммы вклада. Через сколько лет  внесенная  сумма удвоится? О т в е т: Приблизительно через 33 года.        3.Население города ежегодно увеличивается на 1/50 наличного числа жителей. Через  сколько лет население утроится? О т в е т: Приблизительно через 55 лет. 4.В букинистическом магазине антикварное собрание сочинений стоимостью 350000  руб. уценивали дважды на одно и то же число процентов. Найти это число, если известно,  что после двойного снижения цен собрание сочинений стоит 283 500 рублей. О т в е т: 10%.          5.Известно, что вклад, находящийся в банке с начала года, возрастает  к концу года на определенный процент (свой для каждого вклада). В начале года 5/6 некоторого  количества денег положили в первый банк. К концу года сумма этих вкладов стала равной  670 ден. Ед., к концу следующего года – 749. Было подсчитано, что если бы первоначально  5/6 исходного количества денег положили во второй банк, а оставшуюся часть – в  первый,  то по истечении одного года сумма вкладов в эти банки стала бы равной 710 денежным  единицам. В предположении, что исходное количество денег первоначально целиком  положено в первый банк, определить величину вклада по истечении двух лет. Решение Обозначим через x ден. Ед. первоначальную сумму денег, через  ­­ процент, на  который возрастает сумма за год в первом банке, а через  ­­ процент, на который  возрастает сумма за год во втором банке. К концу первого года сумма вклада в первом  банке стала равной: во втором банке: 5/6∙x ∙(1 + /100);  1/6∙x ∙(1 + /100), а к концу второго года соответственно: 5/6∙x ∙(1 + /100)²  и 1/6∙x∙ (1 + /100)² Из условия задачи имеем, что сумма вкладов к концу первого года составляет 670 ден.  Ед., а к концу второго года – 749, поэтому имеем: 5/6∙x ∙(1 + /100) + 1/6∙x ∙(1 + /100) = 670, 5/6∙x ∙(1 + /100)²   + 1/6∙x ∙(1 + /100)²   = 749, (1)     (2) Если во второй банк положить 5/6x ден. Ед., а в первый банк 1/6x, то сумма вкладов к  концу года составила бы: 5/6∙x∙ (1 + /100) + 1/6∙x ∙(1 + /100), что равнялось бы 710 ден. Ед. Поэтому: Для нахождения ответа в задаче надо из системы трех уравнений (1), (2) и (3) найти две  5/6∙x ∙(1 + /100) + 1/6∙x∙ (1 + /100) = 710. (3) неизвестные x и . Для этого поступим следующим образом. Уравнения (1) и (3) перепишем так: 5(1 + /100) + (1 + /100) = (6  670)/x, (1 + /100) + 5(1 + /100) = (6  710)/x. Из получившейся системы уравнений найдем, что Подставляя 660/x вместо 1 + /100 и 720/x вместо 1 + /100 в уравнение (2), приходим  1 + /100 = 660/x, 1 + /100 = 720/x. к уравнению: имеющему единственный корень x = 660, и тогда 1 + α/100 = 660/600 = 1,1. Если  5/6∙x ∙(660/x)² + 1/6∙x ∙(720/x)² = 749, исходное количество денег положить на два года в первый банк, то к концу второго года  величина вклада составит: x∙(1 + /100)² = 600 ∙ 1.1² = 726 ден. Ед.  О т в е т:  726 ден. Ед.  Модель  урока “Задачи на концентрацию и процентное содержание” Урок является первым в модуле “Задачи на концентрацию и процентное содержание”. Цели: сформировать умение работать с законами сохранения массы, обеспечить усвоение учащимися понятий концентрации вещества, процентного содержания раствора; обобщить полученные знания при решении задач на проценты. I. II. Проверка домашнего задания. Изучение нового материала. Лекция учителя. Задачи на концентрацию и процентное содержание  –  это различные задачи на составление смесей, растворов и сплавов нескольких веществ. Введем основные понятия и допущения, которые принимаются в задачах подобного рода. 1. Все получающиеся сплавы и смеси однородны. 2. При слиянии двух растворов, имеющих объёмы     и     получается смесь, объём которой равен  , т.е.  . Такое   допущение   не   представляет   собой   закона   физики   и   не   всегда   выполняется   в действительности, это представляет собой соглашение, принимаемое при решении таких задач. На самом деле при смешении двух растворов не объём, а масса равняется сумме масс составляющих её компонент. Рассмотрим   смесь   трёх   компонент  A,  B,  C.   Объём   смеси   складывается   из   объёмов чистых компонент:  , а три отношения  ;            ;            . Показывают, какую долю полного объёма смеси составляют объёмы отдельных компонент. Отсюда получаем: ;            ;            .  Отношения   объёма   чистой   компоненты   в   растворе   ко   всем   объёму   смеси   называется объёмной концентрацией этой компоненты. Например:  . Сумма   концентраций   всех   компонент,   составляющих   смесь,   равна   единице   . Показывается заранее заполненная схема:                        смесь  Объёмным процентным содержанием компоненты   называется величина:  , т.е. концентрация этого вещества, выраженная в процентах. Если   известно   процентное   содержание   вещества   ,   то   его   концентрация   находится   по формуле:   . Так   например,   если   процентное   содержание   составляет   20%,   то   соответствующая концентрация этого вещества равна 0,2 и т.д. Таким   же   способом   определяется   массовая   концентрация   и   процентное   содержание,   а именно как отношение массы чистого вещества  О какой концентрации, объёмной или массовой, идёт речь в конкретной задаче, всегда видно из условия.  в сплаве к массе всего сплава. III. Закрепление полученных знаний. Решение задач. Процесс усвоения строится с учётом поэтапного усложнения задач. Задача 1. Cканави. №13.289.  Имеются два сплава, состоящих из цинка, меди, олова. Первый сплав содержит 40% олова, а второй – 26% меди. Процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково. Сплавив 150 кг первого сплава и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором будет 30% цинка. Определить сколько килограммов олова содержится в новом сплаве. I сплав 150 кг II сплав 250 кг 26% Цинк Медь Олово     Условие задачи в ходе анализа оформляется в таблицу. Таблицу следует заготовить заранее и заполнять по ходу решения. II сплав 250 кг 75 кг 26%      I сплав 150 кг 40%     Цинк Медь Олово Новый сплав 30% ? кг Новый сплав 400 кг 30%     ? кг     Пусть   ­ количество олова, содержащегося в получившемся новом сплаве, тогда  – количество цинка, содержащегося в первом сплаве. . ­ цинка во втором сплаве. Так как процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково, то: Решая уравнение получаем:  . – олова во втором сплаве.  ­ цинка во втором сплаве. Так как второй сплав весит 250 кг, то: Значит, 170 кг олова содержится в новом сплаве. Ответ: 170 кг.  ­ олова в первом сплаве.  ­ меди во втором сплаве. Задача 2. Имеется два куска сплава  олова и свинца, содержащие  60% и 40% олова. По сколько граммов от каждого куска надо взять, чтобы получить 600 г сплава, содержащего 45% олова? Учащиеся решают самостоятельно, один из учеников комментирует решение. Например. Пусть   – масса куска взятого от первого сплава;   ­ масса куска от второго сплава. Концентрация олова в первом куске: . Концентрация олова во втором куске: . Концентрация олова в сплаве: . Так как  , то составим уравнение: Значит, от первого куска надо взять 150 г.  ­ надо взять от второго куска.  Ответ: 150 г; 450 г. IV.     Итоги занятия. По записям на доске повторить формулы, по которым рассчитываются концентрация смеси и сплава. Задание на дом: сборник задач по математике под редакцией Сканави №13.041 (2балла), №13.045 (2балла), №13.319 (4балла); формулы наизусть. На следующих уроках проходит углубление и систематизация знаний при решении задач на “смеси” и “сплавы” Модель урока. Тема: «Задачи на концентрацию и процентное содержание». Цель: «познакомить с формулами, на которых основано решение задач на  концентрацию и процентное содержание».   Решение задач на концентрацию и процентное содержание основано на использовании  следующих понятий и формул. Пусть даны три следующих вещества А, В и С с массами Ма, Мb и Мс. Масса смеси,  составленной из этих веществ, равна Ma + Mb + Mc. Массовой концентрацией вещества А в смеси называется величина ca, вычисляемая по  формуле: ca  Ma Mb .  Mc Ma  Соответственно массовые концентрации веществ В и С в этой смеси вычисляются по  формулам:  Массовые концентрации ca, cb и cc связаны равенством Ma Ma  Mc  cb  , cc  Mb Mb Mc Mb .  Mc ca + cb + cc = 1. Процентными содержаниями вещества А, В, С в данной смеси называются величины  pa%, pb% и pc% соответственно, вычисляемые по формулам: pa % = ca ∙ 100 %, pb % = cb ∙ 100 %, pc % = cc ∙ 100 %. По аналогичным формулам вычисляются концентрации веществ в смеси и для случая, когда число различных смешиваемых веществ (компонент) равно двум, четырем, пяти и т.д. Объемные концентрации веществ в смеси определяются такими же формулами, как и  массовые концентрации, только вместо масс компонент Ma, Mb и Mc в этих формулах  будут стоять объемы компонент Va, Vb и Vc. В тех случаях, когда речь идет об объемных  концентрациях, обычно предполагается, что при смешивании веществ объем смеси будет  равен сумме объемов компонент. Это предположение не является физическим законом, а  представляет собой соглашение, принимаемое при решении задач на объемную  концентрацию. П р и м е р 1. В сосуд емкостью 6л налито 4л  70%­ного раствора серной кислоты. Во  второй сосуд той же емкости налито 3л  90%­ного раствора серной кислоты. Сколько  литров раствора нужно перелить из второго сосуда в первый, чтобы в нем получился r%­ ный раствор серной кислоты? Найти все значения r, при которых задача имеет решение. Решение Обозначим через xл объем 90%­ного раствора серной кислоты, который переливается  из второго сосуда в первый. В этом объеме содержится 9x/10л чистой (100%­ной) серной  кислоты. Первоначально в первом сосуде объем чистой серной кислоты был равен (7/10) ∙ 4 л. После того как в первый сосуд долили xл 90%­ного раствора серной кислоты, в нем  будет содержаться (7/10) ∙4 + (9/10) ∙ x л чистой серной кислоты. Используя определение  объемного процентного содержания, в соответствии с условием задачи получаем  уравнение: 7 10  x 9 10 4 4 x   100  % r %. Решая это уравнение, находим величину перелитого объема: x   (4 r  90 )70 r . 0  4  ( r  90 70 r )  2 . Остается выяснить, при каких значениях r задача имеет решение. Из условия задачи,  очевидно, что количество доливаемого раствора не может превысить 2л, так как объем  первого сосуда равен 6л, то есть  0