Пятиконечная звезда

Учитель математики Гусалова Фатима Казбековна РСО ­Алания  Пятиконечная звезда Десять  способов  решения  одной  задачи Содержание 1.Введение  2.Из истории возникновения звезды. 3. Используемые геометрические фигуры. 4.Способы доказательства: 1 способ 2 способ 3 способ 4 способ 5 способ 6 способ 7 способ 8 способ 9 способ 10 способ 5.Заключение. 6.Литература. Десять способов решения одной задачи: « Докажите, что сумма углов пятиконечной звезды равна ста восьмидесяти градусам» Введение. Разумеется, хорошая математика всегда красива. П.Д.Коэн Средством   воздействия   математики   для   развития   мыслительных   навыков       являются   задачи, которые называют красивыми задачами.  А что такое красивая задача? Красивая задача – это средство эстетического воздействия математики на мышление.  Красота решения понятна не только творцам, но  и ценителям так же, как поэзия и музыка.  Словарь   русского   языка   С.И.Ожегова   раскрывает   понятие   красоты   как   совокупность   качеств, доставляющих наслаждение и взору, и слуху и разуму. Красивая задача =  непредсказуемость +  неожиданность +  непредполагаемость  ­ формула, которую  доказывает данная  работа. ИЗ ИСТОРИИ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ЗВЕЗДЫ «Звезда   –   это   превосходство,   постоянство,   предводительство,   защита,   бдительность, устремленность».                                                                             Звезда   определённый   вид   плоских   невыпуклых   многоугольников,   не   имеющий,   однако, однозначного математического определения.                                                           Звезда связана с числом 5. Число 5 – «символ человека и поэтому оно графически изображается фигурой человека, чья голова, разведенные в стороны руки и широко расставленные ноги образуют пятиконечную звезду или пентаграмму». Из   Древней   Вавилонии   в   Средиземноморье,   как   полагают,   звездчатый   пятиугольник перевез Пифагор. Он   первым   стал   изучать   пентаграмму   как   геометрическую фигуру. Пифагор считал ее символом совершенства и сделал тайным знаком своей философско­ математической школы, с помощью которого пифагорейцы отличали своих от чужих. Пентаграмма ­ фигура с пятью вершинами, образованная двумя восходящими пересекающимися лучами,   которые   отходят   от   каждой   стороны   пентагона   (правильного   пятиугольника),   таким образом, получается звезда. Пентаграмма — правильная геометрическая фигура, обладающая пятилучевой симметрией.              Пентаграмма — очень древний символ. Она встречается в археологических памятниках,  датируемых 7­м тысячелетием до н.э.                                                             Но вполне возможно, что пентаграмма возникла гораздо раньше. Используемые геометрические факты Для решения задачи, нахождения суммы внутренних острых углов пятиконечной звезды, будем использовать следующие геометрические факты:   свойство угла (если из вершины угла в его внутреннюю область провести луч, то градусная мера   всего   угла   будет   равна   сумме   градусных   мер,   получившихся   углов),   свойство вертикальных углов (вертикальные углы равны); свойство   параллельных   прямых   (при   пересечении   двух   параллельных   прямых   секущей, накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны, сумма односторонних углов равна   180°),формула   суммы   внутренних   углов   треугольника   (сумма   внутренних   углов треугольника равна 180°);  свойство внешнего угла треугольника (градусная мера внешнего угла равна сумме градусных мер углов не смежных с ним),  формула суммы внутренних углов треугольника;  формуле суммы углов выпуклого многоугольника (180⁰(n–2) где n количество  внутренних углов)  свойство вписанного угла (вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается) и ключевые задачи (угол между двумя секущими, проведенными через точку, лежащую вне  окружности, измеряется полуразностью дуг, заключенных внутри угла; угол между двумя хордами,  пересекающимися внутри окружности, измеряется полусуммой дуг, отсекаемых сторонами угла). СПОСОБЫ  ДОКАЗАТЕЛЬСТВА И чем труднее доказательство,  тем больше будет удовольствие  тому,  кто это доказательство найдет. Рене Декарт. 1 способ. Используемые теоремы:   Теорема о сумме углов треугольника. Теорема о сумме внешних углов многоугольника взятых по одному при каждой вершине. Решение: C B N P D M A R Q B Рассмотрим треугольники  NPC,  PDQ, QEP, PAM, MBN. Сумма углов каждого треугольника равна 180о. Сложив  сумму углов пяти  треугольников, имеем: 5 ∙180о. Рассмотрим пятиугольник MNPQM – сумма внешних углов любого многоугольника равна 360о А Найдем разность суммы углов пяти треугольников и суммы внешних углов пятиугольника взятых по два  при каждой вершине. 180о ∙5 – 360о∙2 = 900о – 720о = 180о 2 способ. Используемые теоремы:    Теорема о сумме углов треугольника. Теорема о сумме внешних углов многоугольника  Теорема о сумме внутренних углов  пятиугольника Решение: С С P Q E R В 3 N 1 2 M А D Рассмотрим пятиугольник ABCDE. Каждый угол состоит из угла пятиконечной звезды и углов треугольников BNC, CPD,  DQE,  ERA,  AMB. Чтобы найти сумму углов пятиконечной   звезды   нужно вычесть из суммы углов пятиугольника АВСДЕ сумму углов  треугольников BNC, CPD,  DQE,  ERA,  AMB и прибавить сумму внутренних углов пятиугольника MNPQR. 1800∙3 ­1800∙5 +1800∙3=1800    3 способ. Используемые теоремы:  Теорема о сумме углов треугольника. C P D O R Q E B N M A Соединим   точку О , взятую внутри   звезды, с ее вершинами. Рассмотрим   треугольники   ОВД, ОСЕ, ОАД, ОВЕ, ОАС.                                               Чтобы найти сумму углов звезды нужно из углов треугольников                                                  ОВД,   ОСЕ, ОАД, ОВЕ, ОАС Вычесть два полных угла при вершине О:                                               5∙180о­  2∙360о =180о.  4 способ. Используемые теоремы:   Теорема о сумме углов треугольника. Теорема о внешнем угле треугольника. C B N M A R D c P c Q c E Соберем углы звезды в треугольник NCP.                        Угол С уже находится в треугольнике.                                                                                    Рассмотрим  треугольник AND: ∠ А +  ∠ Д=    ∠ СNP .                                                         Рассмотрим  треугольник ВЕР: ∠ В +  ∠ Е =  ∠ СРN.                                                                   Сложим   получившиеся равенства:                                                                                                               ∠ А + ∠ Д +   ∠ В + < ∠ Е +  ∠ С= ∠ СNP +  ∠ СРN + ∠ С   = 180о  5 способ. Используемые теоремы: Теорема о сумме углов треугольника C B N P D R A E Теорема о внешнем угле треугольника Теорема о свойстве вертикальных углов Рассмотрим треугольник АСЕ:                                                            углы ∠ А, ∠ С,  ∠ Е уже находятся внутри треугольника. Рассмотрим треугольники  ARE  и BDR: углы при вершине вертикальные, а значит равны. Сумма   внутренних углов в любом треугольнике равна 180о и, следовательно   ∠ RВD +  ∠ BДR =  ∠ RАE + ∠ RЕA. то есть ∠ А +  ∠ Д +   ∠ В +  ∠ Е +  ∠ С=  180о. 6 способ.  Используемые теоремы:    Теорема о сумме углов треугольника Теорема о внешнем угле треугольника. Теорема о свойстве вертикальных углов. C B N P D M A Q E R Соберем углы звезды в треугольник ARE: ∠ B + ∠ D = ∠ RAE +  ∠ REA.                                                                    Рассмотрим треугольник ACQ:   ∠ A +  ∠ C = ∠ EQR ­внешний угол треугольника ACQ.  Рассмотрим треугольник RQE:  ∠ EQR +  ∠ E = ∠ ARE­внешний угол треугольника  RQE или ∠ A +  ∠ C + ∠ Е=  ∠ ARE. ∠ А +  ∠ Д +   ∠ В +  ∠ Е +  ∠ С=  180о.  7 способ. Используемые теоремы:   Теорема о сумме углов треугольника Теорема о внешнем угле треугольника. C K B N P D M Q R A E  Соберем все углы звезды в полный угол при вершине Д .                            Угол ∠ Д уже находится там.                                                                                                                 Рассмотрим треугольник АND:   ∠ А +  ∠ АND= ∠ NDK – внешний угол.                      Рассмотрим  треугольник BNM:  ∠ B +  ∠ BMN= ∠ AND­ внешний угол .                            Рассмотрим треугольник МСЕ:    ∠ С +  ∠ Е =  ∠ BMN­ внешний угол ∠ А +  ∠ Д +   ∠ В +  ∠ Е +  ∠ С=  180о 8 способ. Используемые теоремы:  Теорема о сумме углов треугольника Теорема о внешнем угле треугольника.    Свойство углов, образованных при пересечении двух  прямых секущей. C B N P                        M L R Q E D T Через точку R  проведем прямую   LT   параллельно  прямой  ВД. По теореме о свойстве углов, образованных  при пересечении параллельных прямых секущей имеем: ∠ Д= ∠ LRA,  ∠ B = ∠ TRE, соответственные углы при параллельных прямых ВД и LT  и секущей  АД. Рассмотрим треугольник ACQ:   ∠ A +  ∠ C =  ∠ EQR ­внешний угол  треугольникаACQ.  Рассмотрим треугольник RQE:  ∠ EQR+ ∠ E=  ∠ ARE­внешний угол  треугольникаRQE   или  ∠ A + ∠ C + ∠  Е= ∠ ARE . ∠  А + ∠ Д +  ∠   В +  ∠  Е + ∠ С=  180о. 9    способ.  Используемые теоремы:  Теорема о сумме углов треугольника B N C P D M A R Q E Опишем вокруг звезды окружность и спроектируем углы на эту окружность. Воспользуемся теоремой: градусная величина угла, вершина которого расположена внутри круга, равна полсуммы  дуг, расположенных внутри этого угла  и внутри угла, вертикальному данному: ∠  А +  ∠  Д +   ∠  В + ∠   Е + ∠ С=   360о : 2=  180о. 10    способ.   Используемые теоремы:  Теорема о сумме углов треугольника C P D R Q E B N M A Проведем окружность так,чтобы она пересекала все стороны звезды. Воспользуемся теоремой:  угол,вершина которого расположена вне круга, а каждая из сторон пересекает окружность в двух точках, измеряется  полуразностью  дуг, заключенных внутри круга. ∠  А +  ∠  Д +  ∠   В +  ∠  Е +   ∠ С=   180о.  Заключение В   данной   работе     я     рассмотрел   десять   способов   решения     одной   задачи,   для   этого   изучил дополнительную   литературу,воспользовался     интернет­ресурсами.   Находя   очередной   способ решения   данной   задачи,   понял,   что   математика   в   своих   возможностях   безгранична   и формула,которая была сформулированна в начале работы:  «Красивая  задача= непредсказуемость+неожиданность + непредполагаемость»  доказана  мной. 1.Энциклопедический словарь юного математика. Литература: 2.Богомолов Н.В. «Практические занятия по математике». 3.Белоненко Т.В.,Васильева Н.И. « Сборник конкурсных задач по математике». 4.  «Геометрия 7­9» . Атанасян Л.С. и др.