ОДОБРЕНО

ЦК  естественно - научных  дисциплин

Председатель ЦК

_______  Е.А. Аникеева-Шукаева

 «     »                           2023 г.

Вид учебной работы

Объем часов

Объем образовательной программы

286

Самостоятельная работа

8

Суммарная учебная нагрузка во взаимодействии с преподавателем

266

в том числе:

теоретическое обучение

242

практические занятия

20

консультации

4

Промежуточная  аттестация в форме экзамена

12

Введение

2

 Раздел 1

Алгебра

120

Тема 1.1

Действительные числа

Содержание учебного материала

14

1

Целые и рациональные числа. Действительные числа.

2

1

2

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

2

2

3

Арифметический корень натуральной степени.

2

2

4

Приближенные числа. Абсолютная и относительная погрешности.

2

1

5

Степень с рациональным  показателем и действия над ними.

6

2

Тема 1.2

Степенная функция

Содержание учебного материала

14

1

Понятие корня n-ой степени из х. Свойства корня n-ой степени. Действия со степенями. Преобразование выражений, содержащих радикалы.

4

2

2

Равносильные уравнения и неравенства. Иррациональные уравнения и неравенства

4

2

3

Степенная функция, ее свойства и график. Взаимно обратные функции

4

2

Контрольная работа «Степенная функция»

2

Тема 1.3

Показательная функция

Содержание учебного материала

16

1

Показательная функция, ее свойства и график

2

2

2

Показательные уравнения

4

2

3

Показательные неравенства

2

2

4

Системы показательных уравнений и неравенств

4

2

Практическое занятие

2

1

Показательная функция

2

Контрольная работа «Показательная функция»

2

Тема 1.4

Логарифмическая функция

Содержание учебного материала

22

1

Логарифмы.

2

2

2

Свойства логарифмов. Десятичные и натуральные логарифмы.

4

2

3

Логарифмическая функция, ее свойства и график.

4

2

4

Логарифмические уравнения.

6

2

5

Логарифмические неравенства.

2

2

Практическое занятие

2

1

Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и неравенства

2

Контрольная работа «Логарифмическая функция»

2

Самостоятельная работа обучающихся

2

Показательные и логарифмические уравнения

Тема 1.5

Тригонометрические формулы

Содержание учебного материала

16

1

Радианная мера угла. Поворот точки вокруг системы координат.

Определения тригонометрических функций.

4

1

2

Тригонометрические тождества. Формулы сложения

4

1

3

Тригонометрические функции двойного и половинного аргумента. Формулы приведения

6

1

4

Сумма и разность синусов и косинусов

2

1

Тема 1.6

Тригонометрические функции

Содержание учебного материала

14

1

Свойства тригонометрических функций.

4

2

2

Свойства и графики тригонометрических функций.

6

2

Практическое занятие

2

1

Тригонометрические функции

2

Контрольная работа « Тригонометрические функции»

2

Тема 1.7

Тригонометрические уравнения и неравенства

Содержание учебного материала

20

1

Простейшие тригонометрические уравнения

6

2

2

Решение тригонометрических уравнений

6

2

3

Решение тригонометрических неравенств

2

2

4

Решение тригонометрических систем

2

2

Практическое занятие

2

1

Тригонометрические уравнения

2

Контрольная работа  « Тригонометрические уравнения»

2

Самостоятельная работа обучающихся

2

Тригонометрические формулы. Тригонометрические уравнения.

Раздел 2

Начала  математического анализа

50

Тема 2.1

Производная и ее геометрический смысл

Содержание учебного материала

16

1

Производная. Производная степенной функции.

2

2

2

Правила дифференцирования.

6

2

3

Производные некоторых элементарных функций.

4

2

4

Геометрический смысл производной.

4

2

Тема 2.2

Применение производной к исследованию функций

Содержание учебного материала

20

1

Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции.

4

2

2

Применение производной к построению графиков функций.

4

2

3

Наибольшее и наименьшее значения функции.

4

2

4

Выпуклость графика функции, точки перегиба.

2

2

Практическое занятие

4

1

Производная. Геометрический смысл производной

2

2

Применение производной

2

Контрольная работа «Производная функции»

2

Тема 2.3

Интеграл

Содержание учебного материала

12

1

Первообразная. Правила нахождения первообразных.

2

2

2

Площадь криволинейной трапеции и интеграл.

2

2

3

Вычисление площадей с помощью интеграла.

2

2

4

Применение интеграла к решению практических задач.

2

2

Практическое занятие

2

1

Интеграл. Применение интеграла.

2

Контрольная работа «Интеграл»

2

Самостоятельная работа обучающихся

2

Вычисление производных функций. Вычисление интегралов

Раздел 3

Геометрия

80

Тема 3.1

Параллельность прямых и плоскостей

Содержание учебного материала

8

1

Предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии. Некоторые следствия из аксиом.

2

1

2

Параллельность прямых, прямой и плоскости.

2

1

3

Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми.

2

1

4

Параллельность плоскостей. Тетраэдр и параллелепипед.

2

2

Тема 3.2

Перпендикулярность прямых и плоскостей

Содержание учебного материала

8

1

Перпендикулярность прямой и плоскости.

2

1

2

Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью.

2

2

3

Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей

2

2

Практическое занятие

2

1

Прямые и плоскости в пространстве

2

Тема 3.3

Векторы в пространстве

Содержание учебного материала

12

1

Понятие вектора в пространстве

2

1

2

Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число.

4

1

3

Компланарные векторы

4

1

Контрольная работа «Прямые и плоскости в пространстве. Векторы»

2

Тема 3.4

Метод координат в пространстве

Содержание учебного материала

12

1

Координаты точки и координаты вектора

4

1

2

Скалярное произведение векторов.

4

2

3

Движения

2

2

Практическое занятие

2

1

Векторы в пространстве

2

Тема 3.5

Многогранники

Содержание учебного материала

18

1

Понятие многогранника. Призма; виды призм. Параллелепипед.

2

2

2

Площадь поверхности и объём призмы.

4

2

3

Пирамида. Усеченная пирамида.

4

2

4

Площадь поверхности и объём пирамиды, усеченной пирамиды.

4

2

5

Правильные многогранники

4

2

Тема 3.6

Тела вращения

Содержание учебного материала

20

1

Цилиндр. Площадь поверхности и объём цилиндра.

6

2

2

Конус. Площадь поверхности и объём конуса.

6

2

3

Сфера. Площадь поверхности и объём сферы. Части  шара.

2

2

Практическое занятие

2

1

Площадь поверхности и объём геометрического тела.

2

Контрольная работа «Площадь поверхности и объём геометрического тела»

2

Самостоятельная работа обучающихся

2

Многогранники. Тела вращения.

Раздел 4

Элементы комбинаторики.

6

Тема 4.1

Элементы комбинаторики.

Содержание учебного материала

1

Основные понятия комбинаторики. Задачи на подсчет числа размещений,

перестановок, сочетаний.

3

2

2

Решение задач на перебор вариантов. Формула бинома Ньютона. Свойства биноминальных коэффициентов.

3

2

Раздел 5

Элементы теории вероятностей и математической статистики

12

Тема 5.1

Элементы теории вероятностей и математической статистики.

Содержание учебного материала

1

Событие, вероятность события, сложение и умножение вероятностей.

4

2

2

Понятие о независимости событий. Дискретная случайная величина, закон ее

распределения. Понятие о законе больших чисел.

4

2

3

Понятие о задачах математической статистики.

4

2

Консультации

4

Промежуточная аттестации в форме экзамена

12

Всего

286

Содержание обучения

Характеристика основных видов учебной деятельности обучающихся (на уровне учебных действий)

Введение

Ознакомление с ролью математики в науке, технике, экономике, информационных технологиях и практической деятельности. Ознакомление с целями и задачами изучения математики при освоении профессий СПО и специальностей СПО

АЛГЕБРА

Развитие понятия о числе

Выполнение арифметических действий над числами, сочетая устные и письменные приемы.

Нахождение приближенных значений величин и погрешностей вычислений (абсолютной и относительной); сравнение числовых выражений.

Нахождение ошибок в преобразованиях и вычислениях (относится ко всем пунктам программы)

Корни, степени,

логарифмы

Ознакомление с понятием корня n-й степени, свойствами радикалов и правилами сравнения корней.

Формулирование определения корня и свойств корней. Вычисление и сравнение корней, выполнение прикидки значения корня. Преобразование числовых и буквенных выражений, содержащих радикалы.

Выполнение расчетов по формулам, содержащим радикалы, осуществляя необходимые подстановки и преобразования. Определение равносильности выражений с радикалами. Решение иррациональных уравнений.

Ознакомление с понятием степени с действительным показателем.

Нахождение значений степени, используя при необходимости инструментальные средства.

Записывание корня n-й степени в виде степени с дробным показателем и наоборот.

Формулирование свойств степеней. Вычисление степеней с рациональным показателем, выполнение прикидки значения степени, сравнение степеней.

Преобразование числовых и буквенных выражений, содержащих степени, применяя свойства. Решение показательных уравнений.

Ознакомление с применением корней и степеней при вычислении средних, делении отрезка в «золотом сечении». Решение прикладных задач на сложные проценты

Преобразование алгебраических выражений

Выполнение преобразований выражений, применение формул, связанных со свойствами степеней и логарифмов.

Определение области допустимых значений логарифмического выражения. Решение логарифмических уравнений

ОСНОВЫ ТРИГОНОМЕТРИИ

Основные понятия

Изучение радианного метода измерения углов вращения и их связи с градусной мерой. Изображение углов вращения на окружности, соотнесение величины угла с его расположением.

Формулирование определений тригонометрических функций для углов поворота и острых углов прямоугольного треугольника и объяснение их взаимосвязи

Основные тригонометрические тождества

Применение основных тригонометрических тождеств для вычисления значений тригонометрических функций по одной из них

Преобразования простейших тригонометрических выражений

Изучение основных формул тригонометрии: формулы сложения, удвоения, преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму и применение при вычислении значения тригонометрического выражения и упрощения его.

Ознакомление со свойствами симметрии точек на единичной окружности и применение их для вывода формул приведения

Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства

Решение по формулам и тригонометрическому кругу простейших тригонометрических уравнений.

Применение общих методов решения уравнений (приведение к линейному, квадратному, метод разложения на множители, замены переменной) при решении тригонометрических уравнений. Умение отмечать на круге решения простейших тригонометрических неравенств

Арксинус, арккосинус, арктангенс числа

Ознакомление с понятием обратных тригонометрических функций.

Изучение определений арксинуса, арккосинуса, арктангенса числа, формулирование их, изображение на единичной окружности, применение при решении уравнений

ФУНКЦИИ, ИХ СВОЙСТВА И ГРАФИКИ

Функции.

Понятие о непрерывности функции

Ознакомление с понятием переменной, примерами зависимостей между переменными.

Ознакомление с понятием графика, определение принадлежности точки графику функции. Определение по формуле простейшей зависимости, вида ее графика. Выражение по формуле одной переменной через другие.

Ознакомление с определением функции, формулирование его.

Нахождение области определения и области значений функции

Свойства функции. Графическая интерпретация. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях

Ознакомление с примерами функциональных зависимостей в реальных процессах из смежных дисциплин.

Ознакомление с доказательными рассуждениями некоторых свойств линейной и квадратичной функций, проведение исследования линейной, кусочно-линейной, дробно-линейной и квадратичной функций, построение их графиков. Построение и чтение графиков функций. Исследование функции.

Составление видов функций по данному условию, решение задач на экстремум.

Выполнение преобразований графика функции

Обратные функции

Изучение понятия обратной функции, определение вида и построение графика обратной функции, нахождение ее области определения и области значений. Применение свойств функций при исследовании уравнений и решении задач на экстремум. Ознакомление с понятием сложной функции

Степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции. Обратные тригонометрические функции

Вычисление значений функций по значению аргумента. Определение положения точки на графике по ее координатам и наоборот.

Использование свойств функций для сравнения значений степеней и логарифмов.

Построение графиков степенных и логарифмических функций.

Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств по известным алгоритмам.

Ознакомление с понятием непрерывной периодической функции, формулирование свойств синуса и косинуса, построение их графиков.

Ознакомление с понятием гармонических колебаний и примерами гармонических колебаний для описания процессов в физике и других областях знания.

Ознакомление с понятием разрывной периодической функции, формулирование свойств тангенса и котангенса, построение их графиков.

Применение свойств функций для сравнения значений тригонометрических функций, решения тригонометрических уравнений. Построение графиков обратных тригонометрических функций и определение по графикам их свойств. Выполнение преобразования графиков

НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Последовательности

Ознакомление с понятием числовой последовательности, способами ее задания, вычислениями ее членов.

Ознакомление с понятием предела последовательности. Ознакомление с вычислением суммы бесконечного числового ряда на примере вычисления суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Решение задач на применение формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Производная и ее применение

Ознакомление с понятием производной.

Изучение и формулирование ее механического и геометрического смысла, изучение алгоритма вычисления производной на примере вычисления мгновенной скорости и углового коэффициента касательной.

Составление уравнения касательной в общем виде.

Усвоение правил дифференцирования, таблицы производных элементарных функций, применение для дифференцирования функций, составления уравнения касательной.

Изучение теорем о связи свойств функции и производной, формулировка их.

Проведение с помощью производной исследования функции, заданной формулой.

Установление связи свойств функции и производной по их графикам.

Применение производной для решения задач на нахождение наибольшего, наименьшего значения и на нахождение экстремума

Первообразная и интеграл

Ознакомление с понятием интеграла и первообразной. Изучение правила вычисления первообразной и теоремы Ньютона—Лейбница.

Решение задач на связь первообразной и ее производной, вычисление первообразной для данной функции.

Решение задач на применение интеграла для вычисления физических величин и площадей

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Уравнения и системы уравнений

Неравенства и системы неравенств с двумя переменными

Ознакомление с простейшими сведениями о корнях алгебраических уравнений, понятиями исследования уравнений и систем уравнений.

Изучение теории равносильности уравнений и ее применения. Повторение записи решения стандартных уравнений, приемов преобразования уравнений для сведения к стандартному уравнению.

Решение рациональных, иррациональных, показательных и тригонометрических уравнений и систем.

Использование свойств и графиков функций для решения уравнений. Повторение основных приемов решения систем. Решение уравнений с применением всех приемов (разложения на множители, введения новых неизвестных, подстановки, графического метода).

Решение систем уравнений с применением различных способов. Ознакомление с общими вопросами решения неравенств и использование свойств и графиков функций при решении неравенств. Решение неравенств и систем неравенств с применением различных способов.

Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики. Интерпретирование результатов с учетом реальных ограничений

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ

Основные понятия комбинаторики

Изучение правила комбинаторики и применение при решении комбинаторных задач.

Решение комбинаторных задач методом перебора и по правилу умножения.

Ознакомление с понятиями комбинаторики: размещениями, сочетаниями, перестановками и формулами для их вычисления. Объяснение и применение формул для вычисления размещений, перестановок и сочетаний при решении задач.

Ознакомление с биномом Ньютона и треугольником Паскаля. Решение практических задач с использованием понятий и правил комбинаторики

Элементы теории вероятностей

Изучение классического определения вероятности, свойств вероятности, теоремы о сумме вероятностей.

Рассмотрение примеров вычисления вероятностей. Решение задач на вычисление вероятностей событий

Представление данных (таблицы, диаграммы, графики)

Ознакомление с представлением числовых данных и их характеристиками.

Решение практических задач на обработку числовых данных, вычисление их характеристик

ГЕОМЕТРИЯ

Прямые и плоскости в пространстве

Формулировка и приведение доказательств признаков взаимного расположения прямых и плоскостей. Распознавание на чертежах и моделях различных случаев взаимного расположения прямых и плоскостей, аргументирование своих суждений.

Формулирование определений, признаков и свойств параллельных и перпендикулярных плоскостей, двугранных и линейных углов.

Выполнение построения углов между прямыми, прямой и плоскостью, между плоскостями, по описанию,  и распознавание их на моделях.

Применение признаков и свойств расположения прямых и плоскостей при решении задач.

Изображение на рисунках и конструирование на моделях перпендикуляров и наклонных к плоскости, прямых, параллельных плоскостей, углов между прямой и плоскостью и обоснование построения.

Решение задач на вычисление геометрических величин. Описывание расстояния от точки до плоскости, от прямой до плоскости, между плоскостями, между скрещивающимися прямыми, между произвольными фигурами в пространстве.

Формулирование и доказывание основных теорем о расстояниях (теорем существования, свойства).

Изображение на чертежах и моделях расстояния и обоснование своих суждений. Определение и вычисление расстояний в пространстве. Применение формул и теорем планиметрии для решения задач.

Ознакомление с понятием параллельного проектирования и его свойствами. Формулирование теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника.

Применение теории для обоснования построений и вычислений. Аргументирование своих суждений о взаимном расположении пространственных фигур

Многогранники

Описание и характеристика различных видов многогранников, перечисление их элементов и свойств.

Изображение многогранников и выполнение построения на изображениях и моделях многогранников.

Вычисление линейных элементов и углов в пространственных конфигурациях, аргументирование своих суждений.

Характеристика и изображение сечения, развертки многогранников, вычисление площадей поверхностей.

Построение простейших сечений куба, призмы, пирамиды. Применение фактов и сведений из планиметрии.

Ознакомление с видами симметрий в пространстве, формулирование определений и свойств. Характеристика симметрии тел вращения и многогранников.

Применение свойств симметрии при решении задач.

Использование приобретенных знаний для исследования и моделирования несложных задач.

Изображение основных многогранников и выполнение рисунков по условиям задач

Тела и поверхности вращения

Ознакомление с видами тел вращения, формулирование их определений и свойств.

Формулирование теорем о сечении шара плоскостью и плоскости, касательной к сфере.

Характеристика и изображение тел вращения, их развертки, сечения.

Решение задач на построение сечений, вычисление длин, расстояний, углов, площадей. Проведение доказательных рассуждений при решении задач.

Применение свойств симметрии при решении задач на тела вращения, комбинацию тел.

Изображение основных круглых тел и выполнение рисунка по условию задачи

Измерения в геометрии

Ознакомление с понятиями площади и объема, аксиомами и свойствами.

Решение задач на вычисление площадей плоских фигур с применением соответствующих формул и фактов из планиметрии. Изучение теорем о вычислении объемов пространственных тел, решение задач на применение формул вычисления объемов. Изучение формул для вычисления площадей поверхностей многогранников и тел вращения.

Ознакомление с методом вычисления площади поверхности сферы. Решение задач на вычисление площадей поверхности пространственных тел

Координаты и векторы

Ознакомление с понятием вектора. Изучение декартовой системы координат в пространстве, построение по заданным координатам точек и плоскостей, нахождение координат точек.

Нахождение уравнений окружности, сферы, плоскости. Вычисление расстояний между точками.

Изучение свойств векторных величин, правил разложения векторов в трехмерном пространстве, правил нахождения координат вектора в пространстве, правил действий с векторами, заданными координатами.

Применение теории при решении задач на действия с векторами. Изучение скалярного произведения векторов, векторного уравнения прямой и плоскости. Применение теории при решении задач на действия с векторами, координатный метод, применение векторов для вычисления величин углов и расстояний. Ознакомление с доказательствами теорем стереометрии о взаимном расположении прямых и плоскостей с использованием векторов

Результаты освоения учебной дисциплины

Формы и методы контроля и оценки результатов обучения

Уметь:

-   использовать готовые компьютерные программы, в том числе для поиска пути решения и иллюстрации решения уравнений и неравенств;

- характеризовать поведение функций, использовать полученные знания для описания и анализа реальных зависимостей;

- владеть основными понятиями о плоских и пространственных геометрических фигурах, их основными свойствах;

-   распознавать геометрические фигуры на чертежах, моделях и в реальном мире;

- применять изученные свойства геометрических фигур и формул для решения геометрических задач и задач с практическим содержанием;

- сформировывать представление о процессах и явлениях, имеющих вероятностный характер, статистических закономерностях в реальном мире, основных понятиях элементарной теории вероятностей;

- находить и оценивать вероятности наступления событий в простейших практических ситуациях и основные характеристики случайных величин;

- владеть навыками использования готовых компьютерных программ при решении задач;

Знать:      

-  стандарты решения рациональных и иррациональных, показательных, степенных, логарифмических,  тригонометрических уравнений и неравенств, их систем;

- методы  доказательств и алгоритмы решения, применяемые при проведении доказательных рассуждений в ходе решения задач;

- основные понятия математического анализа и их свойства; 

- способы описания явлений реального мира на математическом языке;

- математические понятия, используемые  как важнейшие модели для описания и изучения разных процессов и явлений;

-   возможности аксиоматического построения математических теорий.

- устный опрос;

- тестирование;

- письменная самостоятельная работа;

-подготовка устных сообщений, рефератов;

- оценка выполнения расчетно-графических работ;

- оценка выполнения практических работ;

- письменная самостоятельная работа;

- письменная контрольная работа.

 - участие в городских , областных  и

конкурсах колледжа;

-внеаудиторная самостоятельная работа;

Итоговый контроль  в форме экзамена