Рабочая программа Основного общего образования по математике 5 – 9 классы

Муниципальное общеобразовательное учреждение «БРОНЦЕВСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА» Муниципального района «Ферзиковский район» Калужской области» «Рассмотрено» на заседании  школьного методического  объединения учителей математики,  физики, информатики МОУ  «Бронцевская средняя  общеобразовательная школа» __________________/Рыжова Н. А. «Согласовано» «Утверждаю» Заместитель директора по УВР МОУ «Бронцевская средняя  общеобразовательная школа»  /Курбанова Н. Ю/ Директор МОУ «Бронцевская  средняя общеобразовательная  школа» /Гасанбекова Т. М./ Приказ № 158 ________________ /Курбанова Н. Ю. _______________ /Гасанбекова Т. М. от «25» августа  2016 г. «26» августа  2016 г. от «01» сентября  2016 г. Рабочая программа  Основного общего образования по математике 5 – 9 классы НА 2016 – 2017 УЧЕБНЫЙ ГОД                                                                                                                                                                                                     Рыжова Нина Анатольевна СОСТАВИТЕЛИ:   Тихонова Елена Анатольевна                        1 2017 г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА «МАТЕМАТИКА» 5–9­й классы  Программа   основного   общего   образования   по   математике   разработана   в   соответствии   с требованиями   ФГОС.   Определяет   цели,   задачи,   планируемые   результаты,   содержание   и организацию образовательного процесса на ступени основного общего образования. Направлена на формирование   общей   культуры,   духовно­нравственное,   гражданское,   социальное,   личностное   и интеллектуальное   развитие,   саморазвитие   и   самосовершенствование   обучающихся, обеспечивающие   их   социальную   успешность,   развитие   творческих   способностей,   сохранение   и укрепление здоровья. Программа основного общего образования по математике содержит:   1)   пояснительную   записку,   в   которой   конкретизируются   общие   цели   основного   общего образования с учетом спецификации учебного предмета; 2) общую характеристику учебного предмета в учебном плане; 3) описание места учебного предмета в учебном плане; 4)   личностные,   метапредметные   и   предметные   результаты   освоения   конкретного   учебного предмета; 5) содержание учебного предмета; 6) тематическое планирование с  определением основных видов  учебной деятельности; 7)описание учебно­методического и материально­технического обеспечения образовательного процесса; 8) планируемые результаты изучения учебного предмета. 1. Пояснительная записка Математика   является   одним   из   основных,   системообразующих   предметов   школьного образования. Такое место математики среди школьных предметов обусловливает и её особую роль с точки зрения всестороннего развития личности учащихся.  При этом когнитивная составляющая данного курса позволяет обеспечить  как требуемый государственным стандартом необходимый уровень математической подготовки, так и повышенный уровень, являющийся достаточным для углубленного изучения предмета. Вместе с тем очевидно, что положение с обучением предмету «Математика» в основной школе требует к себе самого серьёзного внимания. Учтены   развивающим образованием и требованиями ФГОС.   и   современные   дидактико­психологические   тенденции,   связанные   с   вариативным А. Личностно ориентированные принципы:  принцип адаптивности; принцип развития; принцип комфортности процесса обучения. Б. Культурно ориентированные принципы:  принцип целостной картины мира; принцип целостности содержания образования; принцип систематичности; принцип смыслового отношения к миру; принцип ориентировочной функции знаний; принцип опоры на культуру как мировоззрение и как культурный стереотип. В.   Деятельностно   ориентированные   принципы:  принцип   обучения   деятельности; принцип управляемого перехода от деятельности в учебной ситуации к деятельности в жизненной ситуации;   принцип   перехода   от   совместной   учебно­познавательной   деятельности   к самостоятельной деятельности учащегося (зона ближайшего развития); принцип опоры на процессы спонтанного развития; принцип формирования потребности в творчестве и умений творчества. Настоящая   программа   по   математике   для   основной   школы   является   логическим продолжением   программы   для   начальной   школы   (авторы   М.   И.   Моро,   М.   А.   Бантова,   Г.   В. 2 Бельтюкова и др. – 2­е изд. – М.: Просвещение (Школа Росии)) и составляет вместе с ней описание непрерывного школьного курса математики.  В  основе построения данного курса лежит идея гуманизации обучения, соответствующая современным   представлениям   о   целях   школьного   образования   и   уделяющая   особое   внимание личности   ученика,   его   интересам   и   способностям.   Предлагаемый   курс   позволяет   обеспечить формирование как  предметных  умений,  так и  универсальных учебных действий  школьников, а также   способствует   достижению   определённых   во   ФГОС   личностных   результатов,   которые   в дальнейшем позволят учащимся применять полученные знания и умения для решения различных жизненных задач. 2. Общая характеристика учебного предмета «Математика» В   основе   содержания   обучения   математике   лежит   овладение   учащимися   следующими видами компетенций:  предметной, коммуникативной, организационной  и  общекультурной. В соответствии с этими видами компетенций выделены главные содержательно­целевые направления (линии) развития учащихся средствами предмета «Математика». Предметная компетенция.  Под предметной компетенцией  понимается осведомлённость школьников о системе основных математических представлений и овладение ими необходимыми предметными умениями. Формируются следующие образующие эту компетенцию представления: о математическом языке как средстве выражения математических законов, закономерностей и т.д.; о математическом   моделировании   как   одном   из   важных   методов   познания   мира.   Формируются следующие образующие эту компетенцию  умения: создавать простейшие математические модели, работать  с ними  и  интерпретировать  полученные  результаты;  приобретать  и систематизировать знания о способах решения математических задач, а также применять эти знания и умения для решения многих жизненных задач. Коммуникативная компетенция. Под коммуникативной компетенцией понимается  сформированность умения ясно и чётко излагать свои мысли, строить аргументированные  рассуждения, вести диалог, воспринимая точку зрения собеседника и в то же время подвергая её  критическому анализу, отстаивать (при необходимости) свою точку зрения, выстраивая систему  аргументации. Формируются образующие эту компетенцию умения, а также умения извлекать  информацию из разного рода источников, преобразовывая её при необходимости в другие формы  (тексты, таблицы, схемы и т.д.). Организационная   компетенция.  Под   организационной   компетенцией   понимается сформированность умения самостоятельно находить и присваивать необходимые учащимся новые знания. Формируются следующие образующие эту компетенцию  умения: самостоятельно ставить учебную задачу (цель), разбивать её на составные части, на которых будет основываться процесс её решения,   анализировать   результат   действия,   выявлять   допущенные   ошибки   и   неточности, исправлять их и представлять полученный результат в форме, легко доступной для восприятия других людей. Общекультурная   компетенция.  Под   общекультурной   компетенцией   понимается осведомленность школьников о математике как элементе общечеловеческой культуры, её месте в системе других наук, а также её роли в развитии представлений человечества о целостной картине мира. Формируются следующие образующие эту компетенцию представления: об уровне развития математики на разных исторических этапах; о высокой практической значимости математики с точки зрения создания и развития материальной культуры человечества, а также о важной роли математики с точки зрения формировании таких важнейших черт личности, как независимость и критичность мышления, воля и настойчивость в достижении цели и др. 3. Описание места учебного предмета «Математика» в учебном плане В   соответствии   с   требованиями   Федерального   государственного   образовательного стандарта основного общего образования предмет «Математика» изучается с 5­го по 9­й класс в виде следующих учебных курсов:  3 5–6 класс – «Математика»,  7–9 класс – «Алгебра» и «Геометрия».  В соответствии с базисным планом на изучение математики в 5 – 9 классах отводится по 5 часов. Общее количество уроков в неделю с 5 по 9 класс составляет 25 часов:    5 класс – 5 часов в неделю; 6 класс – 5 часов в неделю; 7  ­  9 класс – алгебра 3 часа в неделю, геометрия –2 часа в неделю,   4. Личностные, метапредметные и предметные результаты освоения учебного  предмета «Математика»                                                            5 – 9 классы Личностными результатами изучения предмета «Математика» в виде учебных курсов:  5–6 класс – «Математика»,  7–9 класс – «Алгебра» и «Геометрия» являются следующие качества: – независимость и критичность мышления; – воля и настойчивость в достижении цели. Средством достижения этих результатов является: – система заданий учебников; – представленная в учебниках в явном виде организация материала по принципу минимакса; – использование   совокупности   технологий,   ориентированных   на   развитие самостоятельности   и   критичности   мышления:   технология   проблемного   диалога,   технология продуктивного чтения, технология оценивания. Метапредметными результатами изучения курса «Математика» является формирование  универсальных учебных действий (УУД). Регулятивные УУД: 5–6­й классы – самостоятельно обнаруживать и формулировать учебную проблему, определять цель учебной деятельности, выбирать тему проекта; – выдвигать  версии   решения   проблемы,   осознавать  (и   интерпретировать   в   случае необходимости)  конечный   результат,   выбирать   средства   достижения   цели   из   предложенных,   а также искать их самостоятельно; – составлять (индивидуально или в группе) план решения проблемы (выполнения проекта); – работая по плану, сверять свои действия с целью и, при необходимости, исправлять ошибки самостоятельно (в том числе и корректировать план); – в диалоге с учителем совершенствовать самостоятельно выработанные критерии оценки. 7–9­й классы 4 – самостоятельно  обнаруживать  и  формулировать  проблему в классной и индивидуальной учебной деятельности; – выдвигать  версии   решения   проблемы,   осознавать   конечный   результат,   выбирать   средства достижения цели из предложенных или их искать самостоятельно; – составлять (индивидуально или в группе) план решения проблемы (выполнения проекта); – подбирать к каждой проблеме (задаче) адекватную ей теоретическую модель; – работая по предложенному или самостоятельно составленному плану, использовать наряду с основными и дополнительные средства (справочная литература, сложные приборы, компьютер); – планировать свою индивидуальную образовательную траекторию; – работать  по самостоятельно составленному плану, сверяясь с ним и с целью деятельности, исправляя ошибки, используя самостоятельно подобранные средства (в том числе и Интернет); – свободно  пользоваться  выработанными критериями оценки и самооценки, исходя из цели и имеющихся критериев, различая результат и способы действий; – в ходе представления проекта давать оценку его результатам; – самостоятельно осознавать причины своего успеха или неуспеха и находить способы выхода из ситуации неуспеха; – уметь оценить степень успешности своей индивидуальной образовательной деятельности; – давать   оценку  своим   личностным   качествам   и   чертам   характера   («каков   я»),   определять направления своего развития («каким я хочу стать», «что мне для этого надо сделать»). Средством   формирования  регулятивных   УУД   служат   технология   проблемного   диалога   на этапе изучения нового материала и технология оценивания образовательных достижений (учебных успехов).  Познавательные УУД: 5–9­й классы – анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты и явления; – осуществлять сравнение, классификацию, самостоятельно выбирая основания и критерии для указанных   логических   операций;   строить   классификацию   путём   дихотомического   деления   (на основе отрицания); – строить  логически   обоснованное   рассуждение,   включающее   установление   причинно­ следственных связей; – создавать математические модели; – составлять   тезисы,   различные   виды   планов   (простых,   сложных   и   т.п.).   Преобразовывать информацию из одного вида в другой (таблицу в текст, диаграмму и пр.); – вычитывать все уровни текстовой информации; – уметь   определять  возможные   источники   необходимых   сведений,   производить   поиск информации, анализировать и оценивать её достоверность; – понимая позицию другого человека, различать в его речи или созданных им текстах: мнение (точку   зрения),   доказательство   (аргументы),   факты;   гипотезы,   аксиомы,   теории.   Для   этого самостоятельно использовать различные виды чтения (изучающее, просмотровое, ознакомительное, поисковое), приёмы слушания; – самому  создавать  источники информации разного типа и для разных аудиторий, соблюдать информационную гигиену и правила информационной безопасности; – уметь  использовать  компьютерные   и   коммуникационные   технологии   как   инструмент   для достижения   своих   целей.   Уметь   выбирать   адекватные   задаче   инструментальные   программно­ аппаратные средства и сервисы. Средством   формирования  познавательных   УУД   служат   учебный   материал   и   прежде   всего продуктивные задания учебника, позволяющие продвигаться по шести линиям развития. 5 – Использование математических знаний для решения различных математических задач и оценки полученных результатов. – Совокупность умений по использованию доказательной математической речи. – Совокупность умений по работе с информацией, в том числе и с различными математическими текстами. –  Умения использовать математические средства для изучения и описания реальных процессов и явлений. – Независимость и критичность мышления. – Воля и настойчивость в достижении цели. Коммуникативные УУД: 5–9­й классы – самостоятельно  организовывать  учебное взаимодействие в группе (определять общие цели, договариваться друг с другом и т.д.); – отстаивая свою точку зрения, приводить аргументы, подтверждая их фактами; – в дискуссии уметь выдвинуть контраргументы; – учиться  критично относиться  к своему мнению, с достоинством  признавать  ошибочность своего мнения (если оно таково) и корректировать его; – понимая   позицию   другого,  различать  в   его   речи:   мнение   (точку   зрения),   доказательство (аргументы), факты; гипотезы, аксиомы, теории; – уметь взглянуть на ситуацию с иной позиции и договариваться с людьми иных позиций. Средством формирования  коммуникативных УУД служат технология проблемного диалога (побуждающий   и   подводящий   диалог)   и   организация   работы   в   малых   группах,   а   также использование на уроках элементов технологии продуктивного чтения.  Предметными результатами изучения предмета «Математика» являются следующие умения. 5­й класс – Использовать при решении математических задач, их обосновании и проверке найденного решения знание: названий и последовательности чисел в натуральном ряду в пределах 1 000 000 (с какого числа начинается этот ряд, как образуется каждое следующее число в этом ряду); как образуется каждая следующая счётная единица; названия и последовательность разрядов в записи числа; названия и последовательность первых трёх классов; сколько разрядов содержится в каждом классе; соотношение между разрядами;  сколько единиц каждого класса содержится в записи числа; как устроена позиционная десятичная система счисления; единицы измерения величин (длина, масса, время, площадь), соотношения между ними; функциональной связи между группами величин (цена, количество, стоимость; скорость, время, расстояние; производительность труда, время работы, работа).  обыкновенных дробях и правилах действий с ними; 6          ­  работать  с   математическим   текстом   (структурирование,   извлечение   необходимой информации),   точно   и   грамотно   выражать   свои   мысли   в   устной   и   письменной   речи, применяя   математическую   терминологию   и   символику,   использовать   различные   языки математики (словесный, символический, графический), обосновывать суждения, проводить классификацию; ­  владеть  базовым   понятийным   аппаратом:   иметь   представление   о   числе,   дроби,   об основных   геометрических   объектах   (точка,   прямая,   ломаная,   угол,   многоугольник, многогранник, круг, окружность); ­  выполнять  арифметические   преобразования,   применять   их   для   решения   учебных математических задач; ­ пользоваться изученными математическими формулами; ­ самостоятельно приобретать и применять знания в различных ситуациях для решения несложных   практических   задач,   в   том   числе   с   использованием   при   необходимости справочных материалов, калькулятора и компьютера; ­   пользоваться   предметным   указателем   энциклопедий   и   справочником   для  нахождения информации;  знать  основные   способы   представления   и   анализа   статистических   данных, ­ уметь решать задачи с помощью перебора возможных вариантов; ­  выполнять  арифметические   преобразования   выражений,   применять   их   для решения   учебных   математических   задач   и   задач,   возникающих   в   смежных   учебных предметах; ­  применять  изученные   понятия,   результаты   и   методы   при   решении   задач различныхразделов   курса,   в   том   числе   задач,   не   сводящихся   к   непосредственному применению известных алгоритмов; ­  самостоятельно действовать  в ситуации неопределённости при решении актуальных для них проблем, а также самостоятельно интерпретировать результаты решения задач с учетом  ограничений,  связанных  с  реальными   свойствами   рассматриваемых  процессов   и явлений. – Использовать при решении математических задач, их обосновании и проверке найденного решения знание о: 6­й класс  обыкновенных дробях и правилах действий с ними;  отношениях и пропорциях; основном свойстве пропорции; 7  прямой и обратной пропорциональных зависимостях и их свойствах;  процентах;  целых и дробных отрицательных числах; рациональных числах;  правиле сравнения рациональных чисел;  правилах выполнения операций над рациональными числами; свойствах операций;  десятичных дробях и правилах действий с ними; ­      работать  с   математическим   текстом   (структурирование,   извлечение   необходимой информации), точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной речи, применяя математическую   терминологию   и   символику,   использовать   различные   языки   математики (словесный, классификацию;   символический,   графический),   обосновывать   суждения,   проводить  ­   владеть базовым понятийным аппаратом: иметь представление о числе, дроби, об основных геометрических объектах (точка, прямая, ломаная, угол, многоугольник, многогранник, круг, окружность); ­    выполнять  арифметические   преобразования,   применять   их   для   решения   учебных математических задач; ­      пользоваться изученными математическими формулами; ­     самостоятельно приобретать  и применять знания в различных ситуациях для решения несложных практических задач, в том числе с использованием при необходимости справочных материалов, калькулятора и компьютера; ­  пользоваться  предметным   указателем   энциклопедий   и   справочником   для  нахождения информации; ­  знать  основные   способы   представления   и   анализа   статистических   данных, ­      уметь решать задачи с помощью перебора возможных вариантов;  выполнять    применять   их   для ­ решения   учебных   математических   задач   и   задач,   возникающих   в   смежных   учебных арифметические   преобразования   выражений, предметах; ­  применять  изученные  понятия,  результаты и  методы  при  решении задач  различных разделов   курса,   в   том   числе   задач,   не   сводящихся   к   непосредственному   применению известных алгоритмов; ­  самостоятельно действовать  в ситуации неопределённости при решении актуальных для них проблем,  а также  самостоятельно  интерпретировать  результаты решения задач с учетом   ограничений,   связанных   с   реальными   свойствами   рассматриваемых   процессов   и явлений.   8 7­й класс. – Использовать при решении математических задач, их обосновании и проверке найденного решения знание о: Алгебра  натуральных, целых, рациональных, числах;  степенях с натуральными показателями и их свойствах;  одночленах и правилах действий с ними;  многочленах и правилах действий с ними;  формулах сокращённого умножения;  тождествах; методах доказательства тождеств;  линейных уравнениях с одним неизвестным и методах их решения;  системах двух линейных уравнений с двумя неизвестными и методах их решения. – Выполнять действия с одночленами и многочленами; – узнавать в выражениях формулы сокращённого умножения и применять их; – раскладывать многочлены на множители; – выполнять тождественные преобразования целых алгебраических выражений; – доказывать простейшие тождества с целыми алгебраическими выражениями; – решать линейные уравнения с одним неизвестным; – решать системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом подстановки и методом алгебраического сложения; – решать текстовые задачи с помощью линейных уравнений и систем; – находить  решения   жизненных   (компетентностных)   задач,   в   которых   используются математические средства; – создавать  продукт   (результат   проектной   деятельности),   для   изучения   и   описания которого используются математические средства. 7­й класс. Геометрия – Использовать при решении математических задач, их обосновании и проверке найденного решения знание о: основных   геометрических   понятиях:   точка,   прямая,   плоскость,   луч,   отрезок,   ломаная, многоугольник, расстояние; угле, биссектрисе угла, смежных углах; свойствах смежных углов; свойстве вертикальных углов; окружности и её основных свойствах; основных чертёжных инструментах и выполняемых с их помощью построениях; равенстве геометрических фигур;  признаках равенства треугольников; понятии параллельности прямых; аксиоме параллельности и ее краткой истории;           9  формуле суммы углов треугольника; – Применять свойства смежных и вертикальных углов при решении задач; – находить в конкретных ситуациях равные треугольники и доказывать их равенство; – выполнять основные геометрические построения; – находить  решения   жизненных   (компетентностных)   задач,   в   которых   используются математические средства; – создавать  продукт   (результат   проектной   деятельности),   для   изучения   и   описания которого используются математические средства. 8­й класс. Алгебра – Использовать при решении математических задач, их обосновании и проверке найденного решения знание о: алгебраической дроби; основном свойстве дроби; правилах действий с алгебраическими дробями; степенях с целыми показателями и их свойствах; стандартном виде числа;      функциях  y  kx b ,  ,  y  2x y  k x , их свойствах и графиках; понятии квадратного корня и арифметического квадратного корня; свойствах арифметических квадратных корней;    функции  , её свойствах и графике; y  x  формуле для корней квадратного уравнения;   теореме Виета для приведённого и общего квадратного уравнения; основных методах решения целых рациональных уравнений: методе разложения на множители и методе замены неизвестного;  методах решения дробных рациональных уравнений;    основных статистических характеристиках наборов чисел и способах их нахождения; интервальном методе анализа данных; гистограмме и методе её построения. – Сокращать алгебраические дроби; – выполнять арифметические действия с алгебраическими дробями; – использовать свойства степеней с целыми показателями при решении задач; – записывать числа в стандартном виде; – выполнять тождественные преобразования рациональных выражений; – доказывать простейшие тождества с рациональными выражениями; – строить  графики функций   y  kx b ,   ,   y  2x y  k x   и использовать их свойства при 10 решении задач; – вычислять арифметические квадратные корни; – применять свойства арифметических квадратных корней при решении задач; – выполнять тождественные преобразования выражений, содержащих квадратные корни; – строить график функции  y  x  и использовать его свойства при решении задач; – решать квадратные уравнения; – применять теорему Виета при решении задач; – решать  целые рациональные уравнения методом разложения на множители и методом замены неизвестного; – решать дробные рациональные уравнения; – решать текстовые задачи с помощью квадратных и рациональных уравнений; – находить основные статистические характеристики наборов чисел; – составлять  таблицы   частот   (абсолютных   и   относительных),   а   также   таблицы накопленных частот; – применять интервальный метод для анализа числовых данных; – строить гистограммы и использовать их для анализа числовых данных; – находить число сочетаний и число размещений; – находить  решения   жизненных   (компетентностных)   задач,   в   которых   используются математические средства; – создавать  продукт   (результат   проектной   деятельности),   для   изучения   и   описания которого используются математические средства. 8­й класс. Геометрия – Использовать при решении математических задач, их обосновании и проверке найденного решения знание о: свойстве вертикальных углов; перпендикуляре, наклонных и проекциях; осевой симметрии и её свойствах; геометрических местах точек; биссектрисе угла и серединном перпендикуляре к отрезку как геометрических местах точек;       формуле суммы углов выпуклого многоугольника;  параллелограмме, ромбе, прямоугольнике, квадрате; их свойствах и признаках;  теореме Фалеса;  свойствах средней линии треугольника; трапеции; элементах трапеции; теореме о средней линии трапеции; свойствах касательных к окружности; теореме о равенстве двух касательных, проведённых из   11 одной точки;  формулах для площади треугольника, параллелограмма, трапеции;  теореме Пифагора. – Устанавливать  перпендикулярность   прямых   и   применять   свойства   перпендикуляра, наклонной, проекции; – устанавливать параллельность прямых и применять свойства параллельных прямых; – применять теорему о сумме углов треугольника и выпуклого многоугольника; – применять признаки и свойства параллелограмма, ромба, прямоугольника, квадрата при решении задач; – использовать  теорему   о   средней   линии   треугольника   и   теорему   Фалеса   при   решении задач; – решать простейшие задачи на трапецию; – применять свойства касательных к окружности при решении задач; – находить площади треугольников, параллелограммов, трапеций; – применять теорему Пифагора при решении задач; – находить  решения   жизненных   (компетентностных)   задач,   в   которых   используются математические средства; – создавать  продукт   (результат   проектной   деятельности),   для   изучения   и   описания которого используются математические средства. 9­й класс. Алгебра – Использовать при решении математических задач, их обосновании и проверке найденного решения знание о: свойствах числовых неравенств; свойствах квадратичной функции;   методах построения графика квадратичной функции;   методах решения линейных неравенств;  методах решения квадратных неравенств;  методе интервалов для решения рациональных неравенств;  методах решения систем и совокупностей неравенств;  свойствах и графике функции  при натуральном n; y  nx     определении и свойствах корней степени n; степенях с рациональными показателями и их свойствах;  основных методах решения систем рациональных уравнений; определении и основных свойствах арифметической прогрессии; формуле для нахождения суммы её нескольких первых членов; определении   и   основных   свойствах   геометрической   прогрессии;   формуле   для   нахождения суммы её нескольких первых членов;  формуле для суммы бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем, меньшим по модулю единицы. 12 – Строить график квадратичной функции и использовать его при решении задач; – использовать свойства числовых неравенств для преобразования неравенств; – доказывать простейшие неравенства; – решать линейные неравенства; – решать квадратные неравенства; – решать рациональные неравенства методом интервалов; – решать системы и совокупности неравенств; – строить  график   функции y  nx   при  натуральном  n  и   использовать   его  при  решении задач; – находить корни степени n;  – использовать свойства корней степени n при тождественных преобразованиях; – находить значения степеней с рациональными показателями; – решать системы рациональных уравнений; – решать текстовые задачи с помощью систем рациональных уравнений; – решать основные задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии; – находить  сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем, меньшим по модулю единицы; – находить  решения   жизненных   (компетентностных)   задач,   в   которых   используются математические средства; – создавать  продукт   (результат   проектной   деятельности),   для   изучения   и   описания которого используются математические средства. 9­й класс. Геометрия – Использовать при решении математических задач, их обосновании и проверке найденного решения знание о: параллельном переносе и его свойствах; правилах нахождения суммы и разности векторов, произведения вектора на число; свойства этих операций; разложении вектора по двум неколлинеарным векторам; координатах вектора и методах их нахождения; скалярном произведении векторов и формуле для его нахождения; векторном методе решения геометрических задач; подобии геометрических фигур; признаках подобия треугольников; теореме о пропорциональных отрезках; теореме об отношении площадей подобных многоугольников;           13          гомотетии и её свойствах; тригонометрических функциях острого угла, основных соотношениях между ними; приёмах решения прямоугольных треугольников; тригонометрических функциях углов от 0 до 180°; теореме косинусов и теореме синусов; приёмах решения произвольных треугольников; вписанной и описанной окружностях треугольника, их свойствах; вписанных и описанных четырёхугольниках, их свойствах и признаках; свойствах правильных многоугольников; связи между стороной правильного многоугольника и радиусами вписанной и описанной окружностей; определении длины окружности и формуле для её вычисления;   формуле площади правильного многоугольника;  определении   площади   круга   и   формуле   для   её   вычисления;   формуле   для   вычисления площадей частей круга. – Решать геометрические задачи с помощью параллельного переноса; – выполнять операции над векторами; – решать геометрические задачи векторным методом; – применять признаки подобия треугольников при решении задач; – решать простейшие задачи на пропорциональные отрезки; – применять свойства гомотетии при решении задач; – находить  значения   тригонометрических   функций   острого   угла   через   стороны прямоугольного треугольника; – применять  соотношения между тригонометрическими функциями при решении задач; в частности, по значению одной из функций находить значения всех остальных; – решать прямоугольные треугольники; – сводить работу с тригонометрическими функциями углов от 0 до 180° к случаю острых углов; – применять теорему косинусов и теорему синусов при решении задач; – решать произвольные треугольники; – решать задачи на вписанную и описанную окружности треугольника; – решать задачи на вписанные и описанные четырёхугольники; – решать простейшие задачи на правильные многоугольники; – находить длину окружности, площадь круга и его частей; – находить  решения   жизненных   (компетентностных)   задач,   в   которых   используются математические средства; – создавать  продукт   (результат   проектной   деятельности),   для   изучения   и   описания которого используются математические средства. 5. Содержание учебного предмета «Математика» 14 5­й класс Натуральные числа и нуль. Математика (170 часов) Ряд натуральных чисел. Десятичная запись, сравнение, сложение и вычитание натуральных чисел.  Законы сложения. Умножение, законы умножения. Степень с натуральным показателем. Деление  нацело, деление с остатком. Числовые выражения. Решение текстовых задач арифметическими  методами. Измерение величин. Прямая, луч, отрезок. Измерение отрезков и метрические единицы длины. Представление  натуральных чисел на координатном луче. Окружность и круг, сфера и шар. Углы, измерение углов. Треугольники и четырехугольники. Прямоугольный параллелепипед. Площадь прямоугольника,  объем прямоугольного параллелепипеда. Единицы площади, объема, массы, времени. Решение  текстовых задач арифметическими методами. Делимость натуральных чисел. Свойства и признаки делимости. Простые и составные числа. Делители натурального числа.  Наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное. Обыкновенные дроби.                      Понятие дроби, равенство дробей (основное свойство дроби). Приведение дробей к общему  знаменателю. Сравнение, сложение и вычитание дробей. Законы сложения. Умножение дробей,  законы умножения. Деление дробей. Смешанные дроби и действия с ними. Представление дробей  на координатном луче. Решение текстовых задач арифметическими методами. Повторение.             При организации текущего и итогового повторения используются задания из раздела «Задания для  повторения» и другие материалы.       6­й класс Математика (170 часов)   Отношения, пропорции, проценты Отношения, масштаб, пропорции, проценты. Круговые диаграммы. Решение текстовых задач  арифметическими методами. Целые числа. Отрицательные целые числа. Сравнение целых чисел. Арифметические действия с целыми числами. Законы сложения и умножения. Раскрытие скобок, заключение в скобки и действия с суммами  нескольких слагаемых. Представление целых чисел на координатной оси. Рациональные числа. 15 Отрицательные дроби. Рациональные числа. Сравнение рациональных чисел. Арифметические  действия с дробями произвольного знака. Законы сложения и умножения. Смешанные дроби  произвольного знака. Изображение рациональных чисел на координатной оси. Уравнения и решение задач с помощью уравнений. Десятичные дроби. Положительные десятичные дроби. Сравнение и арифметические действия с положительными  десятичными дробями. Десятичные дроби и проценты. Десятичные дроби любого знака.  Приближение десятичных, дробей, суммы, разности, произведения и частного двух чисел. Обыкновенные и десятичные дроби.    Периодические и непериодические десятичные дроби (действительные числа). Длина отрезка.  Длина окружности. Площадь круга. Координатная ось. Декартова система координат на плоскости. Столбчатые диаграммы и графики. Повторение. При организации текущего и итогового повторения используются задания из раздела «Задания для  повторения» и другие материалы. 7­й класс Алгебра (102 часов) Действительные числа  Натуральные   числа   и   действия   с  ними.   Делимость   натуральных   чисел.   Обыкновенные   дроби   и десятичные   дроби.   Периодичность   десятичного   разложения   обыкновенной   дроби.   Бесконечные периодические   и   непериодические   десятичных   дроби.   Действительные   числа,   их   сравнение, основные свойстве Приближения числа. Длина отрезка. Координатная ось. Одночлены и многочлены  Числовые   и   буквенные   выражения.   Одночлен,   произведение   одночленов,   подобные   одночлены. Многочлен, сумма и разность многочленов, произведение одночлена на многочлен, произведение многочленов.   Целое   выражение   и   его   числовое   значение.   Тождественное   равенство   целых выражений.  Формулы сокращенного умножения  Квадрат суммы и разности. Выделение полного квадрата. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Применение формул сокращенного умножения. Разложение многочлена на множители. Алгебраические дроби  Алгебраические дроби и их свойства. Арифметические действия над алгебраическими дробями. Рациональное   выражение   и   »го   числовое   значение.   Тождественное   равенство   рациональных выражений. 16 Степень с целым показателем  Степень с целым показателем и ее свойства. Стандартный вид числа. Преобразование рациональных выражений, записанных с помощью степени с целым показателем. Линейные уравнения с одним неизвестным  Уравнения первой степени с одним неизвестным. Линейные уравнения с одним неизвестным. Решение линейных уравнений с одним неизвестным. Решение задач с помощью линейных уравнений. Системы линейных уравнений  Уравнения первой степени с двумя неизвестными. Системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными и способов их решения. Равносильность уравнений и систем уравнений, Решение систем   двух   линейных   уравнений   с   двумя   неизвестными.   Решение   задач   при   помощи   систем уравнений первой степени.  Повторение 7­й класс Геометрия (68 часов) Основные понятия геометрии. Точка, прямая, плоскость. Луч, отрезок. Угол, биссектриса угла. Смежные и вертикальные углы. Понятие о перпендикулярных прямых. Треугольники. Треугольники.   Признаки   равенства   треугольников.   Медиана   и   биссектриса,   высота треугольника. Свойства равнобедренного треугольника.  Задачи на построение и равенство треугольников. Окружность и её основные свойства. Основные чертёжные инструменты и решение задач на   Признаки   равенства   прямоугольных   Признаки   равенства   треугольников. построение. треугольников. Параллельные прямые. Понятие   параллельности   прямых.   Параллельность   прямых   .   Аксиома   параллельности. Построение параллельных прямых. Признаки и свойства параллельных прямых. Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми. Соотношения между сторонами и углами  треугольников.  Сумма   углов   треугольника.   Неравенство   треугольника. Прямоугольные   треугольники.   Признаки   равенства   прямоугольных   треугольников.   Построение треугольника по трем элементам.   Виды   треугольников. Итоговое повторение.                                                                 17 8­й класс Алгебра (102 часа) Функции и графики. Числовые    неравенства.     Множества    чисел. Функция,   график   функции.   Функции   у = х,   у  = х2,   у= 1/х ,  их свойства и графики. Квадратные корни. Квадратный корень. Арифметический квадратный корень. Приближенное вычисление квадратных  корней. Свойства арифметических квадратных корней. Преобразование выражений, содержащих  квадратные корни. Квадратные уравнения. Квадратный трехчлен. Квадратное уравнение. Теорема Виета. Применение квадратных уравнений к  решению задач.  Рациональные уравнения. Рациональное уравнение. Биквадратное уравнение. Распадающееся уравнение. Уравнение, одна  часть которого — алгебраическая дробь, а другая равна нулю. Решение рациональных уравнений  заменой неизвестных. Решение задач при помощи рациональных уравнений. Линейная функция. Прямая пропорциональная зависимость, график функции у = kх. Линейная функция и ее график.  Равномерное движение. [Функции у = | х |,   у = [х], у = {х) и их графики.] Квадратичная функция. Квадратичная функция и ее график. Уравнение прямой. Уравнение окружности. Построение  графиков функций, содержащих модули. Системы рациональных уравнений. Системы рациональных уравнений. Системы уравнений первой и второй степени. Решение задач при помощи систем уравнений первой и второй степени, систем рациональных уравнений. Графический способ решения систем уравнений. Графический способ решения систем двух уравнений с двумя неизвестными и исследования  системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. Решение систем уравнений и  уравнений графическим способом.  Повторение.            18 8­й класс Геометрия (68 часов) Четырех угольники. Понятие   многоугольника.   Сумма   углов   выпуклого многоугольника. Параллелограмм. Свойства и признаки параллелограмма. Ромб, прямоугольник, квадрат. Трапеция. Осевая и центральная симметрия.   Выпуклый   многоугольник. Площади и объёмы. Знакомство   с   площадями   фигур.   Площадь   прямоугольника.   Площади   квадрата, прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции. Теорема Пифагора.. Понятие   параллельности   прямых.   Параллельность   прямых   и   центральная   симметрия. Аксиома параллельности. Построение параллельных прямых. Признаки и свойства параллельных прямых. Сумма углов треугольника и выпуклого многоугольника. Параллелограмм, ромб, трапеция. Параллелограмм.   Свойства   и   признаки параллелограмма. Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника. Ромб, прямоугольник, квадрат. Трапеция. Средняя линия трапеции. Равнобедренная трапеция.   Центр   симметрии   параллелограмма. Подобные треугольники.. Понятие   о   подобных   треугольниках.   Признаки   подобия   треугольников.   Средняя   линия треугольника. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. Подобие произвольных фигур.   Практические   приложения   подобия.   Соотношения   между   сторонами   и   углами прямоугольного треугольника. Тригонометрические функции острого угла, основные соотношения между ними. Решение прямоугольных треугольников. Тригонометрические функции углов от 0 до 90°. Окружность . Взаимное расположение прямой и окружности. Касательная к окружности. центральные и вписанные углы. Геометрическое место точек. Вписанная и описанная окружности Итоговое повторение. 9­й класс Алгебра (102 часа) Линейные неравенства с одним неизвестным. Неравенства первой степени с одним неизвестным. Линейные неравенства с одним неизвестным.  Системы линейных неравенств с одним неизвестным. Неравенства второй степени с одним неизвестным.  Неравенства второй степени с одним неизвестным. Неравенства, сводящиеся к неравенствам  второй степени. 19 Рациональные неравенства. Метод интервалов. Решение рациональных неравенств. Системы рациональных неравенств.  Нестрогие рациональные неравенства. Доказательство числовых неравенств. Корень п­й степени. Свойства функции у =­ хn  и ее график. Корень n­й степени. Корни четной и нечетной степени.  Арифметический корень. Свойства корней n­й степени. Корень n­й степени из натурального числа.  Функция у = n√x  (х ≥ 0). Степень с рациональным показателем и ее свойства. Числовые последовательности, арифметическая и геометрическая прогрессии. Числовая последовательность. Свойства числовых последовательностей. Арифметическая и  геометрическая прогрессии. Формулы суммы п первых членов арифметической и геометрической  прогрессий. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.  Синус, косинус, тангенс и котангенс угла. Понятие угла. Определение синуса и косинуса угла. Основные формулы для sin а и cos а. Тангенс и  котангенс угла. Формулы сложения. Косинус и синус разности и суммы двух углов. Сумма и разность синусов и косинусов. Формулы  для двойных и половинных углов. Произведение синусов и косинусов.  Приближения чисел. Абсолютная и относительная погрешности приближения. Приближения суммы и разности,  произведения и частного двух чисел, суммы нескольких слагаемых. Приближенные вычисления с  калькулятором. Повторение. Можно использовать любой экзаменационный сборник для подготовки учеников к государственной итоговой аттестации.                                                                 9­й класс Геометрия (68 часов) Векторы. Понятие   о   векторах.   Равенство   векторов.   Сложение   и   вычитание   векторов.   Законы сложения векторов. Умножение вектора на числа. Применение векторов. Метод координат.  Координаты вектора. Простейшие задачи в координатах. Уравнения окружности и прямой. Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения векторов. Метрические соотношения в треугольнике. 20 Тригонометрические функции острого угла, основные соотношения между ними. Решение прямоугольных треугольников. Тригонометрические функции углов от 0 до 180°. Теорема   косинусов   и   теорема   синусов.   Решение   треугольников.   Выражение   площади треугольника через длины двух сторон и синус угла между ними. Формула Герона. Вписанные и описанные многоугольники. Вписанная   и   описанная   окружность   для   треугольника.   Вписанные   и   описанные четырёхугольники, их свойства и признаки. Длина окружности и площадь круга. Движения.  Понятие движения. Отображение плоскости на себя. Параллельный перенос и поворот. Начальные сведения из стереометрии. Предмет стереометрии. Многогранник. Призма. Параллелепипед. Объем тела.   Пирамида. Тела и поверхности вращения. Об аксиомах планиметрии.  Итоговое повторение. 6.   Тематическое   планирование   с   определением   основных   видов   учебной деятельности.                                                       5 класс Тема  1 .Введение.  2. Натуральные  числа и нуль Часы  1 час 43 часа 21 Виды учебной деятельности Знакомство с учебником, выполнять, сочетая устные и  письменные приемы, арифметические действия с натуральными числами. Основная цель — систематизировать и обобщить сведения о  натуральных числах: об их сравнении, сложении и вычитании,  умножении и делении, добиться осознанного овладения  учащимися приемами вычислений с применением законов  сложения и умножения, развивать навыки вычислений с  натуральными числами. При изучении данной темы вычисления выполняются сначала устно с  опорой на законы сложения и умножения, на свойство вычитания, а  потом столбиком. Большое внимание уделяется переместительному и  сочетательному законам умножения и распределительному закону, их  использованию для обоснования вычислений столбиком (на простых  примерах), для рационализации вычислений. Тем самым закладывается основа осознанного овладения приемами вычислений. Вместе с тем  достаточное внимание уделяется закреплению навыков вычисления  столбиком, особенно в сложных случаях (нули в записи множителей  или частного). Вводится понятие степени с натуральным показателем.  При изучении числовых выражений закрепляются правила порядка  действий. Изучение материала предусматривает систематическую работу по 3. Измерение  величин 32 часа развитию у учащихся умения решать текстовые задачи  арифметическими способами. Решение задач требует понимания  отношений «больше на ... (в ...)», «меньше на ... (в ...)» и их связи с  арифметическими действиями с натуральными числами, а также  понимания стандартных ситуаций, в которых используются слова  «всего», «осталось» и т. п.   Типовые задачи «на части», на нахождение двух чисел по их сумме и  разности рассматриваются в отдельных пунктах. Работа с  арифметическими способами решения задач, нацеленная на развитие  мышления и речи учащихся, продолжится при изучении следующих  тем.  Основная цель — систематизировать знания учащихся о  геометрических фигурах и единицах измерения величин,  продолжить их ознакомление с геометрическими фигурами и с  соответствующей терминологией. Начальным этапом при изучении данной темы является измерение  отрезков, изображение натуральных чисел на координатном дуче —  это освоение учащимися идеи числа как длины отрезка, точнее, как  координаты точки на координатной прямой. Здесь же они вычисляют  площадь прямоугольника и объем прямоугольного параллелепипеда,  измерения которых — натуральные числа. Здесь вводятся единицы измерения длины, площади и объема,  устанавливаются соотношения между единицами длины, единицами  площади, единицами объема, изучаются единицы массы и времени. Введение градусной меры угла сопровождается заданиями на  измерение углов и построение углов с заданной градусной мерой.           При изучении данной темы решаются задачи на движение. При наличии учебных часов рассматривается тема «Многоугольники ».                 4. Делимость  натуральных чисел 19 часов Основная цель — познакомить учащихся со свойствами и  признаками делимости, сформировать навыки их  использования. При изучении данной темы значительное внимание уделяется  формированию у учащихся простейших доказательных умений.  Доказательства свойств и признаков делимости проводятся на  характерных числовых примерах, но методы доказательства могут  быть распространены на общий случай. При этом учащиеся получают  первый опыт доказательства теоретических положений со ссылкой на  другие теоретические положения.    Понятия наибольшего общего делителя и наименьшего общего  кратного вводятся традиционно, но следует учесть, что в дальнейшем  не всегда требуется сокращать дробь на наибольший общий делитель  ее числителя и знаменателя или приводить дроби обязательно к  наименьшему общему знаменателю. При наличии учебных часов рассматривается тема «Использование  четности при решении задач». 22 5. Обыкновенные  дроби   65 часов Основная цель — сформировать у учащихся умения  сравнивать, складывать, вычитать, умножать и делить  обыкновенные и смешанные дроби, вычислять значения  выражений, содержащих обыкновенные и смешанные дроби,  решать задачи на сложение и вычитание, на умножение и  деление дробей, задачи на дроби, на совместную работу  арифметическими методами. Формирование понятия дроби сопровождается обучением решению  простейших задач на нахождение части числа и числа по его части, а  также задач, готовящих учащихся к решению задач на совместную  работу. При вычислениях с дробями допускается сокращение дроби на любой общий делитель ее числителя и знаменателя (необязательно  наибольший), а также приведение дробей к любому общему  знаменателю (необязательно наименьшему). Но в том и в другом  случаях разъясняется, когда вычисления будут наиболее  рациональными.    При изучении данной темы решаются задачи на сложение и  вычитание дробей, основные задачи на дроби. Операция умножения дробей вводится по определению, из которого  получается правило умножения натурального числа на обыкновенную  дробь. Особое внимание уделяется доказательствам законов сложения  и умножения для дробей. Они проводятся на характерных числовых  примерах с опорой на соответствующие законы для натуральных  чисел, но методы доказательства могут быть распространены на общий случай. Деление дробей вводится как операция, обратная умножению.  Смешанная дробь рассматривается как другая запись обыкновенной  неправильной дроби. Отдельно изучаются вычисления со смешанными  дробями. На характерных числовых примерах показывается, что  площадь прямоугольника и объем прямоугольного параллелепипеда,  измерения которых выражены рациональными числами, вычисляются  по тем же правилам, что и для натуральных чисел.     Заключительный этап изучения темы — изображение дробей  точками на координатной прямой. В данной теме решаются задачи на умножение и деление дробей, а  также обращается особое внимание на то, что рассмотренные ранее  задачи на дроби можно решать с помощью умножения и деления на  дробь. Задачи на совместную работу выделены в отдельный пункт. При наличии учебных часов рассматривается тема «Сложные задачи на движение, по реке». 6. Повторение 10 часов При организации текущего и итогового повторения ис­ пользуются задания из раздела «Задания для повторения» и  другие материалы.       23 Основная цель – систематизация знаний, умений и навыков 6 класс               Тема     Часы                       Виды учебной деятельности 1. Введение 1 ча  Знакомство с учебником, выполнять, сочетая устные и письменные  приемы, арифметические действия с натуральными числами и  обыкновенными дробями.  2. Отношения,  пропорции,  проценты 26 часов   Основная цель — сформировать у учащихся понятия пропорции и  процента, научить их решать задачи на деление числа в данном  отношении, на прямую и обратную пропорциональность, на проценты. 3. Целые числа. 36 часов Задачи на проценты рассматриваются и решаются как задачи на дроби, показывается их решение с помощью пропорций. После изучения  десятичных дробей появится еще один способ решения задач на  проценты, связанный с умножением и делением на десятичную дробь. В ознакомительном порядке рассматриваются темы «Задачи на  перебор всех возможных вариантов» и «Вероятность события».  Основная цель — сформировать у учащихся представление об  отрицательных числах, навыки арифметических действий с целыми  числами. Введение отрицательных чисел и правил действий с ними  первоначально происходит на множестве целых чисел. Это позволяет  сконцентрировать внимание учащихся на определении знака  результата и выборе действия с модулями, а сами вычисления с  модулями целых чисел — натуральными числами — к этому времени  уже хорошо усвоены.                                                     Доказательство законов сложения и умножения для целых чисел  проводится на характерных числовых примерах с опорой на  соответствующие законы для натуральных чисел. Заключительный  этап изучения темы — изображение целых чисел точками на  координатной прямой. При наличии учебных часов рассматривается тема «Фигуры на  плоскости, симметричные относительно точки». 4. Рациональные  числа.    38 часов Основная цель — добиться осознанного владения арифметическими  действиями с рациональными числами, научиться решению уравнений  и применению уравнений для решения задач. Основное внимание при изучении данной темы уделяется действиям с  рациональными числами. На втором этапе изучения отрицательных  чисел соединяются сформированные ранее умения: определять знак  результата и действовать с дробями. В то же время учащиеся должны  понимать, что любое действие с рациональными числами можно свести к нескольким действиям с целыми числами. Доказательство законов  сложения и умножения для рациональных чисел проводится на  характерных числовых примерах с опорой на соответствующие законы  24 5. Десятичные дроби. 35 часов для целых чисел.                                           Существенную роль в этой теме играет изображение рациональных  чисел на координатной прямой. Учащиеся осваивают новый прием решения задач — с помощью  уравнений.    При наличии учебных часов рассматриваются темы «Буквенные  выражения», «Фигуры на плоскости, симметричные относительно  прямой». При изучении первой темы надо научиться преобразованиям  простейших буквенных выражений, что будет способствовать лучшему усвоению этой темы в 7 классе. Изучение второй темы будет способ­ ствовать развитию геометрического воображения школьников.  Основная цель — ввести понятие десятичной дроби, выработать  прочные навыки выполнения арифметических действий с десятичными дробями, сформировать навыки приближенных вычислений. Материал, связанный с десятичными дробями, излагается с опорой на  уже известные теоретические сведения — сначала для положительных, потом для десятичных дробей любого знака. Десятичные дроби  рассматриваются как новая форма записи уже изученных  рациональных чисел. Важно обратить внимание учащихся на схожесть  правил действий над десятичными дробями и над натуральными  числами.          В этой теме показываются новые приемы решения основных задач  на проценты, сводящиеся к умножению и делению на десятичную  дробь, а также способы решения сложных задач на проценты.    При изучении данной темы вводится понятие приближения  десятичной дроби, разъясняются правила приближенных вычислений  при сложении и вычитании, при умножении и делении. Появление  приближенных вычислений в этом месте связано с тем, что при  делении десятичных дробей не всегда получается конечная десятичная дробь, а также с тем, что на практике часто требуется меньше  десятичных знаков, чем получается в результате вычислений.  Учащиеся должны научиться в случае необходимости правильно  округлять сами числа и результаты вычислений.      При наличии учебных часов рассматриваются темы «Вычисления с  помощью калькулятора»,. «Процентные расчеты с помощью  калькулятора» и «Фигуры в пространстве, симметричные  относительно плоскости».     6. Обыкновенные и  десятичные дроби. 25 часов Основная цель — познакомить учащихся с периодическими и  непериодическими десятичными дробями (действительными числами), научить их приближенным вычислениям с ними. При изучении заключительной темы курса арифметики 5—6 классов  устанавливается связь между обыкновенными и десятичными дробями. Показывается, что несократимые дроби, знаменатель которых не  содержит простых делителей, кроме 2 и 5, и только они, записываются  в виде конечных десятичных дробей, остальные в виде бесконечных  периодических десятичных дробей. Делается вывод, что любое  рациональное число можно записать в виде периодической десятичной  дроби. Затем приводятся примеры бесконечных непериодических  десятичных дробей, которые и называют иррациональными числами.  25 Рациональные и иррациональные, числа — это действительные числа. Введение бесконечных десятичных дробей (необязательно  периодических) позволяет ввести понятие длины произвольного  отрезка. Здесь показывается, что длина отрезка как раз и есть  бесконечная десятичная дробь, что каждой точке координатной оси  соответствует действительное число.         В качестве примера иррационального числа рассмотрено число  показано, как с его помощью вычисляют длину окружности и площадь  круга. Вводятся, декартова система координат на плоскости,  столбчатые диаграммы и графики.              и π    При наличии учебных часов рассматриваются задачи на составление  и разрезание фигур, также способствующие развитию школьников.  Следует отметить, что тема 5 может изучаться как ознакомительная,  так как основное ее содержание повторяется в учебнике для 7 класса  тех же авторов. 7. Повторение. 9 часов  Основная цель – систематизация знаний, умений и навыков 7 класс (алгебра)               Тема  1. Введение  Часы  1 час Виды учебной деятельности Знакомство с предметом «алгебра», с учебником 2. Действительные числа  15 часов 26 Основная   цель  —   систематизировать   и   обобщить   уже   известные сведения о рациональных числах, двух формах  их запад си: в виде обыкновенной   и   десятичной   дроби;   сформировать   преставление   о действительном числе как о длине отрезка и умении изображать числа на координатной оси. Первая   тема   курса   7   класса   начинается   с   повторения   материла, изученного   в   5—6   классах.   Далее   сообщается,   что   несократимые дроби, знаменатель которых не содержит простых делите лей, кроме 2 и 5, и только они, записываются в виде конечны! десятичных дробей. Приводятся   примеры   деления   уголком   числителя   дроби   на   ее знаменатель   и   делается   вывод,   что   в   результат   те   получается десятичная   дробь,   вообще   говоря,   бесконечная   и   периодическая. Верно   и   обратное   утверждение:   любая   периодическая   дробь   есть десятичное представление некоторого рационального числа. Далее приводятся примеры бесконечных непериодические дробей, их называют иррациональными числами. Множества] всех рациональных и всех   иррациональных   чисел   составляю!   множество   действительных чисел.   Длина   любого   отрезка   —   записанное   в   десятичной   системе действительное   число,   которое   конструируется   последовательным приближением   длины   отрезка   с   недостатком.   Каждой   точке координатной оси соответствует число, и, наоборот, каждому числу соответствует   точка   координат!   ной   оси.   Таким   образом, координатная   ось   перестает   быть   «дырявой»,   какой   она   была   без иррациональных точек. Бесконечные   десятичные   дроби   сравнивают   так   же,   как   конечные десятичные дроби, действия над ними выполняются приближенно. В     этой   теме   целесообразно   рассмотреть   задачи   для   повторения способов решения типовых задач, для формирования умения решать задачи в общем виде. Это умение требуется для изучения Геометрии и физики,   оно   способствует   мотивации   к   освоению   алгебраических преобразований.  3.   Одночлены и  многочлены  20 часов Основная цель — сформировать умение выполнять преобразования с одночленами и многочленами. Изложение   алгебраических   вопросов   ведется   алгебраическими методами. Одночлен определяется как произведение некоторых чисел и   букв,   многочлен   —   как   сумма   одночленов.   Приводятся   правила, которым   они   подчинены.   Например,   в   одночлене   можно   поменять местами множители, в многочлене можно привести подобные члены и т. д. Справедливость   каждого   из   рассматриваемых   равенств   следует   из сформулированных   правил.   Показывается,   что   каждое   равенство   с одночленами и многочленами является тождеством на множестве всех действительных чисел. Основная цель  — сформировать умения, связанные с применением формул сокращенного умножения для преобразования квадрата и куба суммы   и   разности   в   многочлен,   для   разложения   многочлена   на множители. Умения   применять   формулы   сокращенного   умножения   осваиваются сначала   в   чистом   виде,   затем   используются   при   решении комбинированных   задач.   Необходимо   уделить   внимание   выделению полного   квадрата.   Это   умение   используется   для   разложения Многочленов на множители и при изучении квадратного трехчлена и квадратного уравнения в 8 классе. Основная   цель  —   сформировать   умения   применять   основное свойство   дроби   и   выполнять   над   алгебраическими   дробями арифметические действия. Изложение   материала   об   алгебраических   дробях   ведется   с   ал­ гебраической точки зрения. Алгебраическая дробь определяется как отношение   одного   многочлена   к   другому   (ненулевому),   приводятся формальные   правила,   которым   подчинены   алгебраические   дроби.   В соответствии   с   определением   алгебраической   дроби   все преобразования выполняются при условии, что знаменатель дроби — ненулевой многочлен, деление на нуль запрещено. При освоении действий с алгебраическими дробями следует опираться на   сформированные   ранее   умения   действовать   с   обыкновенными дробями. При этом каждое действие осваивается сначала в простой ситуации,   затем   уровень   сложности   задании   должен   повышаться   за счет добавления шагов, связанных с приведением дробей к общему знаменателю,   с   разложением   числи!   теля   и   знаменателя   дроби   на множители, с сокращением дробей и т. п. 4. Формулы сокращенного умножения  17  часов  5. Алгебраические дроби  16 часов 27 6. Степень с целым  показателем  8 часова Основная цель — сформировать умения выполнять арифметические действия   с   числами,   записанными   в   стандартном   виде,   и преобразовывать   рациональные   выражения,   записанные   с   помощью степени с целым показателем. В   данной   теме   расширяется   понятие   степени   —   вводится   понятие степени с отрицательным  и нулевым  показателями, обосновываются свойства   степеней   с   целыми   показателями,   выполняв   ются преобразования   рациональных   выражений,   содержащим   степени   с целыми показателями.  7. Линейные уравнения с  одним неизвестным  6 часов Основная цель — сформировать умения решать линейные уравнения и задачи, сводящиеся к линейным уравнениям. Вводится   понятие   линейного   уравнения.   Следует   подчеркнуть,   что уравнение  ах  +  Ъ  = 0 в случае  а Ф  0 называют уравнение ем первой степени.   Исследуется   вопрос   о   числе   корней   уравнения   первой степени. Отдельно рассматривается случай, когда  а  = О, и линейное уравнение перестает быть уравнением первой степени. Это пригодится в дальнейшем при изучении систем линейных уравнений. 8. Системы линейных  уравнений  13 часов Основная   цель  —   сформировать   умение   решать   системы   двух линейных   уравнений   и   задачи,   сводящиеся   к   системам   линейных уравнений. Рассматриваются способы решений систем двух линейных уравнений с двумя   неизвестными.   Сперва   выделяются   случаи,   Когда   все коэффициенты   при   неизвестных   отличны   от   нуля   и   не­ пропорциональны.   Затем   на   примерах   рассматриваются   остальные случаи. Делается вывод о том, что, применяя последовательно способ подстановки, всегда можно решить систему линейных уравнений либо показать, что решений нет. Необходимо уделить достаточно внимания решению текстовых задач с помощью линейных уравнений и их систем. 9. Повторение. Решение  задач  6 часов Закрепление   знаний,  умений   и   навыков,  полученных   на   уроках   по данным темам (курс алгебры 7 класса). 7 класс (геометрия) Тема  1. Начальные  геометрические  сведения  28 Часы  10 часов Основные виды учебной деятельности Основная   цель  —   систематизировать   знания   учащихся   о простейших геометрических фигурах и их свойствах; ввести понятие равенства фигур. В данной   теме   вводятся   основные   геометрические   понятия   и свойства   простейших   геометрических   фигур   на   основе   наглядных представлений учащихся путем обобщения очевидных или известных из курса математики  1—6 классов геометрических фактов. Понятие аксиомы на начальном этапе обучения не вводится, и сами аксиомы не формулируются в явном виде. Необходимые исходные положения, на основе   которых   изучаются   свойства   геометрических   фигур, приводятся в описательной форме. Принципиальным моментом данной темы является введение понятия  равенства  геометрических фигур  на основе наглядного понятия   наложения.   Определенное   внимание   должно   уделяться практическим приложениям геометрических понятий.     2. Треугольники. 17 часов Основная  цель  —  ввести  понятие  теоремы;  выработать умение доказывать равенство треугольников с помощью изученных признаков; ввести   новый   класс   задач   —   на   построение   с   помощью   циркуля   и линейки. Признаки равенства треугольников являются основным рабочим аппаратом   всего   курса   геометрии.   Доказательство   большей   части теорем курса и также решение многих задач проводится по следующей схеме:  поиск  равных  треугольников  —  обоснование  их  равенства   с помощью какого­то признака — следствия, вытекающие из равенства треугольников.  Применение   признаков равенства  треугольников  при решении   задач   дает   возможность   постепенно   накапливать   опыт проведения доказательных рассуждений. На начальном этапе изучения и   применения   признаков   равенства   треугольников   целесообразно использовать задачи с готовыми чертежами.  3. Параллельные  прямые. 13 часов Основная цель — ввести одно из важнейших понятий — понятие параллельных   прямых;   дать   первое   представление   об   аксиомах   и аксиоматическом методе в геометрии; ввести аксиому параллельных прямых. Признаки и свойства параллельных прямых, связанные с углами, образованными   при   пересечении   двух   прямых   секущей   (накрест лежащими,   широко используются   в   дальнейшем   при   изучении   четырехугольников, подобных   треугольников,   при   решении   задач,   а   также   в   курсе стереометрии.   односторонними, соответственными),   4. Соотношения  между сторонами и углами  треугольника 20 часов Основная   цель  —   рассмотреть   новые   интересные   и   важные свойства треугольников. В данной теме доказывается одна из важнейших теорем геометрии —   теорема   о   сумме   углов   треугольника.   Она   позволяет   дать классификацию   треугольников   по   углам   (остроугольный, прямоугольный,   тупоугольный),   а   также   установить   некоторые свойства и признаки равенства прямоугольных треугольников. Понятие расстояния между параллельными прямыми вводится на основе   доказанной   предварительно   теоремы   о   том,   что   все   точки каждой   из   двух   параллельных   прямых   равноудалены   от   другой прямой. Это понятие играет важную роль, в частности используется в задачах на построение. При   решении   задач   на   построение   в   7   классе   следует   ограни­ читься только выполнением и описанием построения искомой фигуры. В отдельных случаях можно провести устно анализ и доказательство, а элементы исследования должны присутствовать лишь тогда, когда это оговорено условием задачи. 29 5. Повторение.  Решение задач   8 класс (алгебра) Тема  1. Введение 2. Функции и  графики. 8  часов Основная   цель.  Повторить,   закрепить   и   обобщить   основные   ЗУН, полученные в 7 классе. Часы  1 час 17  часов Основные виды деятельности Повторение алгебры 7 класс Основная цель — ввести понятия функции и ее графика, изучить  свойства простейших функций и их графики.     В данной теме рассматриваются свойства числовых неравенств,  изображение числовых промежутков на координатной оси, вводятся  понятия функции и ее графика, показываются примеры простейших  функций, их свойства и графики. При доказательстве свойств функций используются свойства неравенств. На интуитивной основе вводятся  понятия непрерывности функции и графика функции, играющие  важную роль при доказательстве существования квадратного корня из  положительного числа. 3. Квадратные  корни. 11 часов Основная цель — освоить понятия квадратного корня и  арифметического квадратного корня; выработать умение преобра­ зовывать выражения, содержащие квадратные корни.     Существование квадратного корня из положительного числа  показывается с опорой на непрерывность графика функции у = х2.  Подчеркивается разница между словесным определением квадратного  корня из неотрицательного числа а и обозначением  √a : по  определению есть два квадратных корня из положительного числа а и  только тот из них, который положителен, обозначается  √a ,  другой обозначается   – √a .       Далее доказывается иррациональность квадратного корня из  любого числа, не являющегося квадратом натурального числа.  Основное внимание уделяется изучению свойств квадратных корней и  их использованию для преобразования выражений, содержащих  квадратные корни. Учащиеся должны освоить вынесение множителя  из­под знака корня, внесение множителя под знак корня и  освобождение дроби от иррациональности в знаменателе в простых  случаях. 4. Квадратные  уравнения. 19  часов Основная цель — выработать умения решать квадратные уравнения и  задачи, сводящиеся к квадратным уравнениям.    В начале темы рассматривается квадратный трехчлен, выясняются  условия, при которых его можно разложить на два одинаковых или на  два разных множителя. На этой основе вводится понятие квадратного  уравнения и его корня, рассматриваются способы решения неполного  квадратного уравнения, квадратного уравнения общего вида,  приведенного квадратного уравнения. Доказываются теоремы Виета  (прямая и обратная), показывается применение квадратных уравнений  30 для решения задач.   Применение квадратного уравнения существенно расширяет круг  текстовых задач, которые можно предложить учащимся, дает хорошую возможность для обсуждения некоторых общих идей, связанных с их  решением. 5. Рациональные  уравнения. 19 часов Основная цель — выработать умения решать рациональные уравнения  и использовать их для решения текстовых задач.    Вводится понятие рационального уравнения, рассматриваются  наиболее часто используемые виды рациональных уравнений:  биквадратное, распадающееся (одна часть уравнения — произведение  нескольких множителей, зависящих от х, а другая равна нулю),  уравнение, одна часть которого — алгебраическая дробь, а другая  равна нулю; показывается применение рациональных уравнений для  решения текстовых задач.    При решении рациональных уравнений, содержащих алгебраическую  дробь, обращается внимание на то, что уравнение не умножается на  выражение с неизвестным, а преобразуется к уравнению, одна часть  которого — алгебраическая дробь, а другая равна нулю. Идея решения рациональных уравнений заменой неизвестных показывается на  примере биквадратных уравнений, а в классах с углубленным  изучением математики соответствующее умение отрабатывается на  достаточно сложных примерах. 6. Линейная  функция. 7 часов    Основная цель — ввести понятия прямой пропорциональной  зависимости (функции у = kx) и линейной функции; выработать умение решать задачи, связанные с графиками этих функций.      В данной теме расширяется круг изучаемых функций, появляется  новая идея построения графиков  ­ с помощью переноса. Сначала  изучается частный случай линейной функции — прямая  пропорциональная зависимость, исследуется расположение прямой в  зависимости от углового коэффициента, решаются традиционные  задачи, связанные с принадлежностью графику заданных точек, знаком функции и т. п. Затем вводится понятие линейной функции,  показывается, как можно получить график линейной функции из  соответствующего графика прямой пропорциональности. При этом  показывается перенос графика по осям Ох и Оу. Однако основным  способом построения графика линейной функции остается построение прямой по двум точкам.     Рассмотрение графиков прямолинейного движения позволяет  перейти к примерам кусочно­заданных функций, способствует  упрочению межпредметных связей между математикой и физикой. Рекомендуется   рассмотреть  функцию  у =| х |, переносы  ее графика  по осям координат для подготовки учащихся к изучению следующей  темы. 7. Квадратичная  функция. 31 8 часов Основная цель — изучить квадратичную функцию и ее график;  выработать умение решать задачи, связанные с графиком квадратичной функции.    В начале темы рассматривается функция у = ах2 (сначала для а > 0,  потом для а ≠ 0) и формулируются ее свойства, тут же ил­ люстрируемые на графиках.  Обращается внимание, что график  функции у = а (х ­ х0)2 + у0 получается переносом графика функции у  = ах2, что показывает взаимосвязь между частным и общим случаями  квадратичной функции. Большое внимание уделяется  построению   графика  квадратичной функции по точкам с вычислением абсциссы  вершины параболы.    Рассмотрение   графика   движения   тела   в   поле   притяжения  Земли дает еще один пример межпредметных связей между  математикой и физикой, позволяет показать применение изучаемого  материала на примере задач с физическим содержанием. 8. Системы  рациональных  уравнений. 9 часов    Основная    цель ­ выработать   умение   решать   системы; уравнений первой и второй степени, системы рациональных уравнений, задачи,  приводящие к таким системам.    В начале данной темы вводятся понятия системы рациональных  уравнений,  ее решения.  Следует обратить внимание,  что многие  определения и приемы действий с системами уравнений известны из  курса 7 класса. Поэтому изложение материала данной темы  целесообразно начать с повторения темы "Системы линейных  уравнений».  9. Графический  способ решения  систем уравнений. 6 часов Основная цель — выработать умение решать системы уравнений и  уравнения графическим способом.    Графический способ решения систем уравнений рассматривается  сначала для двух уравнений первой степени с двумя неизвестными.  После графического способа исследования системы двух уравнений  первой степени с двумя неизвестными рассматриваются графический  способ решения системы уравнений первой и второй степени и  примеры решения уравнений графическим способом. 10. Повторение. 5 часов Закрепление   знаний,  умений   и   навыков,   полученных   на   уроках   по данным темам (курс алгебры 8 класса).                                              8 класс (геометрия). Тема  Часы  Основные  виды деятельности 1.  Четырехугольники . 14 часов Многоугольник,   выпуклый   многоугольник,   четырехугольник. Параллелограмм, его свойства и признаки. Трапеция. Прямоугольник, ромб, квадрат, их свойства. Осевая и центральная симметрии. Основная   цель  —   изучить   наиболее   важные   виды   четы­ рехугольников   —   параллелограмм,   прямоугольник,   ромб,   квадрат, трапецию;   дать   представление   о   фигурах,   обладающих   осевой   или 32 центральной симметрией. Доказательства   большинства   теорем   данной   темы   и   решения многих   задач   проводятся   с   помощью   признаков   равенства   тре­ угольников, поэтому полезно их повторить в начале изучения темы. Осевая и центральная симметрии вводятся не как преобразование плоскости,   а   как   свойства   геометрических   фигур,   в   частности четырехугольников.   Рассмотрение   этих   понятий   как   движений плоскости состоится в 9 классе. Основная   цель  —   расширить   и   углубить   полученные   в   5—6 классах   представления   учащихся   об   измерении   и   вычислении площадей;   вывести   формулы   площадей   прямоугольника,   па­ раллелограмма,   треугольника,   трапеции;   доказать   одну   из   главных теорем геометрии — теорему Пифагора. Вывод   формул   для   вычисления   площадей   прямоугольника, параллелограмма,   треугольника,   трапеции   основывается   на   двух основных   свойствах   площадей,   которые   принимаются   исходя   из наглядных   представлений,   а   также   на   формуле   площади   квадрата, обоснование которой не является обязательным для учащихся. Нетрадиционной для школьного  курса является теорема об от­ ношении   площадей   треугольников,   имеющих   по   равному   углу.   Она позволяет   в   дальнейшем   дать   простое   доказательство   признаков подобия   треугольников.   В   этом   состоит   одно   из   преимуществ, обусловленных ранним введением понятия площади. Доказательство теоремы Пифагора основывается на свойствах  площадей и формулах для площадей квадрата и прямоугольника.  Доказывается также теорема, обратная теореме Пифагора Основная   цель   —  ввести   понятие   подобных   треугольников; рассмотреть   признаки   подобия   треугольников   и   их   применения; сделать   первый   шаг   в   освоении   учащимися   тригонометрического аппарата геометрии. Определение   подобных   треугольников   дается   не   на   основе преобразования   подобия,   а   через   равенство   углов   и   пропорцио­ нальность сходственных сторон. Признаки   подобия   треугольников   доказываются   с   помощью теоремы об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу. На   основе   признаков   подобия   доказывается   теорема   о   средней линии   треугольника,   утверждение   о   точке   пересечения   медиан треугольника, а также два утверждения о пропорциональных отрезках в   прямоугольном   треугольнике.   Дается   представление   о   методе подобия в задачах на построение. В заключение темы вводятся элементы тригонометрии — синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. 2. Площадь. 14 часов 3. Подобные  треугольники. 20 часов 33 4. Окружность. 16 часов Основная   цель  —   расширить   сведения   об   окружности, полученные учащимися в 7 классе; изучить новые факты, связанные с окружностью;   познакомить   учащихся   с   четырьмя   замечательными точками треугольника. В данной теме вводится много новых понятий и рассматривается много   утверждений,   связанных   с   окружностью.   Для   их   усвоения следует уделить большое внимание решению задач. Утверждения   о   точке   пересечения   биссектрис   треугольника   и точке   пересечения   серединных   перпендикуляров   к   сторонам треугольника   выводятся   как   следствия   из   теорем   о   свойствах   бис­ сектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку. Теорема о точке   пересечения   высот   треугольника   (или   их   продолжений) доказывается   с   помощью   утверждения   о   точке   пересечения   сере­ динных перпендикуляров. Наряду с теоремами об окружностях, вписанной в треугольник и описанной около него, рассматриваются свойство сторон описанного четырехугольника и свойство углов вписанного четырехугольника. 5. Повторение.  Решение задач 4 часа Основная цель. Повторить, закрепить и обобщить основные ЗУН,  полученные в 8 классе.                                                            9 класс (алгебра) Тема  1. Линейные  неравенства с одним  неизвестным.     Часы  7  часов Основные виды деятельности Основная цель — выработать умение решать неравенства первой  степени с одним неизвестным, линейные неравенства и системы  линейных неравенств.    В данной теме вводится понятие неравенства первой степени с одним неизвестным (kx + b > 0, kx + b < 0, k ≠ 0). Решение таких неравенств  основывается на свойствах числовых неравенств и иллюстрируется с  помощью графиков линейных функций. Вводятся понятия линейного  неравенства, системы линейных неравенств и рассматриваются приемы их решения.   2. Неравенства  второй степени с  одним неизвестным 8 часов    Основная цель — выработать умение решать неравенства второй  степени с одним неизвестным.    Вводятся понятия неравенства второй степени с одним неизвестным  и его дискриминанта D, последовательно рассматриваются случаи D >  0, D =0, D < 0. Решение неравенств основано на определении знака  квадратного трехчлена на интервалах и иллюстрируется  схематическим построением графиков квадратичных функций. 3. Рациональные  неравенства.  11 часов Основная цель — выработать умение решать рациональные  неравенства и их системы, нестрогие неравенства.    При решении рациональных неравенств используется метод  интервалов,  который,  по сути,   применялся  уже  при  решении  квадратных    неравенств. Показывается   равносильность   неравенств  34 A B  > 0 и    A B  < 0 неравенствам А∙В > 0 и А∙В < 0  вида    соответственно (А и В — многочлены).    После изучения строгих неравенств: линейных, квадратных,  рациональных — рассматриваются нестрогие неравенства всех ранее  изученных типов и их системы.    Решение нестрогих неравенств должно состоять из трех этапов: 1)  решить уравнение; 2)  решить строгое неравенство; 3)  объединить решения уравнения и строгого неравенства.  Попытка отойти от этого правила часто приводит к ошибкам. 4. Корень степени n.   18 час Основная цель — изучить свойства функций у = хn  и у = n√x   (x ≥  0) и их графики, свойства корня n­й степени; выработать умение  преобразовывать выражения, содержащие корни п­й степени.    В данной теме рассматриваются понятие и свойства корня n­й  степени. Но от учащихся требуется знание лишь корней второй и  третьей степени и их свойств. 5. Числовые  последовательности,  арифметическая и  геометрическая  прогрессии     20 часов Основная цель — выработать умения, связанные с задачами на  арифметическую и геометрическую прогрессии.    В данной теме вводятся понятия числовой последовательности,  арифметической и геометрической прогрессий, решаются тради­ ционные задачи, связанные с формулами n­го члена и суммы п первых  членов арифметической и геометрической прогрессий. 6. Синус, косинус,  тангенс и котангенс  угла. 11 часов Основная цель — усвоить понятия синуса, косинуса, тангенса и  котангенса произвольного угла, выработать умения по значению одной  из этих величин находить другие и выполнять тождественные  преобразования простейших тригонометрических выражений.    Данная тема курса алгебры опирается на определения и некоторые  факты из курса геометрии. Все тригонометрические формулы следует  привести с доказательством, не используя термины  «тригонометрические функции»  и  «формулы приведения». 7. Формулы  сложения.   6 часов Основная цель — усвоить формулы косинуса и синуса суммы и  разности двух углов, суммы и разности косинусов и синусов, формулы  для двойных и половинных углов; выработать умение выполнять  тождественные преобразования тригонометрических выражений с  использованием выведенных формул. 35 8. Приближения  чисел.     5 часов Основная цель — усвоить понятия абсолютной и относительной  погрешностей приближения, выработать умение выполнять оценку  результатов вычислений.    В данной теме вводятся понятия абсолютной и относительной  погрешностей приближения, показываются приемы оценки результатов вычислений при сложении, вычитании, умножении, делении. 6. Повторение. 16 часов Закрепление   знаний,   умений   и   навыков,   полученных   на   уроках   по данным темам (курс алгебры 9 класса).   9 класс (геометрия) Тема  1. Векторы. 2. Метод координат. Часы  8 часов 10часов Основные виды  учебной деятельности Основная   цель  —   научить   учащихся   выполнять   действия   над векторами как направленными отрезками, что важно для применения векторов в физике; познакомить с использованием векторов и метода координат при решении геометрических задач. Вектор   определяется   как   направленный   отрезок   и   действия   над векторами вводятся так, как это принято в физике, т. Е. как действия с направленными  отрезками. Основное внимание должно быть уделено выработке   умений   выполнять   операции   над   векторами   (складывать векторы по правилам треугольника и параллелограмма, строить вектор, равный   разности   двух   данных   векторов,   а   также   вектор,   равный произведению данного вектора на данное число). На   примерах   показывается,   как   векторы   могут   применяться   к решению   геометрических   задач.   Демонстрируется   эффективность применения   формул   для   координат   середины   отрезка,   расстояния между двумя точками, уравнений  окружности и прямой в конкретных геометрических задачах, тем самым   дается   представление   об   изучении   геометрических   фигур   с помощью методов алгебры. 3. Соотношение  между сторонами и  углами треугольника . 12 часов Основная   цель  —   развить   умение   учащихся   применять тригонометрический аппарат при решении геометрических задач. Синус и косинус любого угла от 0° до 180° вводятся с помощью единичной   полуокружности,   доказываются   теоремы   синусов   и косинусов   и   выводится   еще   одна   формула   площади   треугольника (половина произведения двух сторон на синус угла между ними). Этот аппарат применяется к решению треугольников. Скалярное   произведение   векторов   вводится   как   в   физике (произведение   длин   векторов   на   косинус   угла   между   ними).   Рас­ сматриваются свойства скалярного произведения и его применение при решении геометрических задач. Основное внимание следует уделить выработке прочных навыков в применении   тригонометрического   аппарата   при   решении геометрических задач. 4. Длина окружности и площадь круга. 36 11 часов Основная цель — расширить знание учащихся о многоугольниках; рассмотреть понятия длины окружности и площади круга и формулы для их вычисления. В начале темы дается определение правильного многоугольника, и рассматриваются   теоремы   об   окружностях,   описание   около правильного многоугольника и вписанной в него. С помощью описанной окружности   решаются   задачи   о   построении   правильного шестиугольника и правильного 2п­угольника, если дан правильный  п­ угольник. Формулы,   выражающие   сторону   правильного   многоугольник   и радиус   вписанной   в   него   окружности   через   радиус   описанной окружности,  используются  при  выводе  формул  длины  окружности  и площади   круга.   Вывод   опирается   на   интуитивное   представление   о пределе:   при   неограниченном   увеличении   числа   сторон   правильного многоугольника, вписанного в окружность, его периметр стремится к длине этой окружности, а площадь — к площади круга, ограниченного окружностью. Основная цель  — познакомить учащихся с понятие: движения и его свойствами, с основными видами движений, с взаимоотношениями наложений и движений. Движение плоскости вводится как отображение плоскости на себя, сохраняющее   расстояние   между   точками.   При   рассмотрении   видов движений основное внимание уделяется построению образов     точек, прямых,     отрезков,     треугольников      при      осевой  и центральной симметриях,     поворот.   На   эффектных примерах     показывается   применение   движений   при   решении геометрических задач.   параллельном   переносе,   Понятие наложения относится в данном курсе к числу основных понятий. Доказывается, что понятия наложения и движения являются эквивалентными:  любое  наложение  является  движением  плоскости  и обратно.   Изучение доказательства не являете обязательным, однако следует рассмотреть связь понятий наложения и движения. Основная цель – ознакомить учащихся с начальнями понятиями  стереометрии. ­что изучает стереометрия; ­иметь представление о телах и поверхностях в пространстве; ­знать формулы для вычисления площадей поверхностей и  объемов тел. ­выполнять чертежи геометрических тел. Основная цель —  дать более глубокое представление о системе аксиом планиметрии и аксиоматическом методе. В   данной   теме   рассказывается   о   различных   системах   аксиом геометрии,   в   частности   о   различных   способах   введения   понятия равенства фигур. 5. Движение. 8 часов 6. Начальные  сведения из  стереометрии. 7 часов 7. Об аксиомах  планиметрии. 2 часа 8. Повторение. 10 часов Основная   цель.  Повторить,   закрепить   и   обобщить   основные   ЗУН   за основную школу. 7.     Описание учебно­методического и материально­технического обеспечения.                                               5 – 6 классы (математика)     1.УМК   «Математика»   для   6   класса   общеобразовательных   учреждений   –   М.: «Просвещение», 2011 С.М. Никольский и др. 37 2. Математика. Дидактические материалы. 6 класс/М.К.Потапов, А.В.Шевкин.­ М.: Просвещение, 2012 3.  Математика. Рабочая тетрадь.  6 класс /М.К.Потапов, А.В.Шевкин.­ М.: Просвещение, 2012 4.  Математика. Тематические тесты. 6 класс   / П.В.Чулков, Е.Ф.Шершнев, О.Ф.Зарапина .­ М.: Просвещение,2010 5. Задачи на смекалку. 5­6 классы / И.Ф.Шарыгин, А.В.Шевкин.­ М.: Просвещение,2005­2010 6. Математика Книга для учителя. 5­6 классы/М.К.Потапов, А.В.Шевкин.­ М.: Просвещение,2010                                                      7 – 9 классы (алгебра) 1. Учебника   Алгебра:   Учеб.   для   7   кл.   общеобразоват.   учреждений   /  С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин  – М.: Просвещение, 2010.­ 285с.  2. Дидактические материалы по алгебре.7 класс. / М.К.Потапов, А.В.Шевкин / М:  Просвещение, 2011г 3. Тематические тесты /М.К.Потапов, А.В.Шевкин  М: Просвещение, 2011г 4. Учебника   Алгебра:   Учеб.   для  8  кл.   общеобразоват.   учреждений   /  С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин  – М.: Просвещение, 2010.­ 285с.  5. Дидактические материалы по алгебре.8 класс. / М.К.Потапов, А.В.Шевкин / М:  Просвещение, 2011г 6. Тематические тесты /М.К.Потапов, А.В.Шевкин  М: Просвещение, 2011г 7. Учебника   Алгебра:   Учеб.   для  9  кл.   общеобразоват.   учреждений   /  С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин  – М.: Просвещение, 2010.­ 285с.  8. Дидактические материалы по алгебре.9 класс. / М.К.Потапов, А.В.Шевкин / М:  Просвещение, 2011г 9. Тематические тесты /М.К.Потапов, А.В.Шевкин  М: Просвещение, 2011г                                             7  ­  9  классы (геометрия) Список рекомендуемой литературы: 1. 2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А., Юдина И.И. Геометрия. 7–9 классы: Рабочая тетрадь. М.: Просвещение, 2013. 2. Атанасян   Л.С.,   Бутузов   В.Ф.,   Глазков   Ю.А.,   Некрасов   В.Б.,   Юдина   И.И.   Изучение геометрии в 7–9 классах: Методическое пособие. М.: Просвещение, 2012. 3. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7–9 классы: Учебник для общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 2013. 4. Бурмистрова Т.А. Геометрия. 7–9 классы: Сборник рабочих программ. М.: Просвещение, 2012. 5. Бутузов В.Ф. Геометрия. 7–9 классы: Рабочие программы к учебнику Л.С. Атанасяна и др. М.: Просвещение, 2012. 38 6. Гаврилова   Н.Ф.   Геометрия.   8   класс:   Контрольно­измерительные   материалы.   М.:   ВАКО, 2014.  7. Гаврилова Н.Ф. Геометрия. 8 класс: Поурочные разработки. М.: ВАКО, 2014. 8. Зив Б.Г., Мейлер В.М. Геометрия. 8 класс: Дидактические материалы. М.: Просвещение, 2012.  9. Зив Б.Г., Мейлер В.М., Баханский А.Г. Геометрия. 7–11 классы: Задачи по геометрии. М.: Просвещение, 2012. 10. Иченская   М.А.   Геометрия.   7–9   классы:   Самостоятельные   и   контрольные   работы.   М.: Просвещение, 2012.  11. Концепция Федеральных государственных образовательных стандартов общего образования / Под ред. А.М. Кондакова, А.А. Кузнецова. М.: Просвещение, 2008. 13. Мищенко Т.М., Блинков А.Д. Геометрия. Использование Интернет­ресурсов: ­ Министерство образования РФ: http://www.informika.ru/; http://www.ed.gov.ru/; ­ Тестирование online: 5­11 классы: http://www.kokch/kts/ru/cdo/  ­ Педагогическая мастерская, уроки в Интернете и др.: http://teacher.fio.ru  ­ Новые технологии в образовании: http://edu.secna.ru/main/  ­ Мегаэнциклопедия Кирилла и Мефодия: http://mega.km.ru  ­ «Учитель»: www,uchitel­izd.ru Материально­техническое обеспечение:  Ноутбук.  Мультимедиапроектор.  Экран.  Компакт­диск.   Уроки   математики   с   применением   информационных   технологий.   5­10 классы; 8. Планируемые результаты освоения учебной программы по математике   МАТЕМАТИКА. АЛГЕБРА. ГЕОМЕТРИЯ  5­6 классы  (для использования в повседневной жизни и обеспечения возможности успешного продолжения образования на базовом уровне)  Элементы теории множеств и математической логики   Выпускник научится: ­ оперировать   на   базовом   уровне   понятиями:   множество,   элемент   множества, подмножество, принадлежность; ­ задавать множества перечислением их элементов;   ­ находить пересечение, объединение, подмножество в простейших ситуациях.   ­ распознавать логически некорректные высказывания  Числа В повседневной жизни и при изучении других предметов: 39     Выпускник научится: ­ оперировать на базовом уровне понятиями: натуральное число, целое число, обыкновенная дробь, десятичная дробь, смешанное число, рациональное число; ­   использовать   свойства   чисел   и   правила   действий   с   рациональными   числами   при выполнении вычислений; ­ использовать признаки делимости на 2, 5, 3, 9, 10 при выполнении вычислений и решении несложных задач; ­ выполнять округление рациональных чисел в соответствии с правилами;   сравнивать рациональные числа.     ­ составлять   числовые   выражения   при   решении   практических   задач   и   задач   из   других В повседневной жизни и при изучении других предметов: ­ оценивать результаты вычислений при решении практических задач; ­ выполнять сравнение чисел в реальных ситуациях; учебных предметов Выпускник научится: ­ представлять данные в виде таблиц, диаграмм;   Статистика и теория вероятностей    ­ читать информацию, представленную в виде таблицы, диаграммы.  Текстовые задачи    Выпускник научится: ­ решать несложные сюжетные задачи разных типов на все арифметические действия; ­ строить модель условия задачи (в виде таблицы, схемы, рисунка), в которой даны значения двух из трёх взаимосвязанных величин, с целью поиска решения задачи; ­ осуществлять способ поиска решения задачи, в котором рассуждение строится от условия к требованию или от требования к условию; ­ составлять план решения задачи;  ­ выделять этапы решения задачи; ­ интерпретировать вычислительные результаты в задаче, исследовать полученное решение задачи; ­ знать различие скоростей объекта в стоячей воде, против течения и по течению реки; ­ решать задачи на нахождение части числа и числа по его части; ­  решать   задачи   разных   типов   (на  работу,   на  покупки,   на  движение),   связывающих   три величины, выделять эти величины и отношения между ними; ­ находить процент от числа, число по проценту от него, находить процентное отношение двух чисел, находить процентное снижение или процентное повышение величины;          ­ решать несложные логические задачи методом рассуждений.   ­ выдвигать гипотезы о возможных предельных значениях искомых величин в задаче (делать В повседневной жизни и при изучении других предметов: прикидку).  Наглядная геометрия  Выпускник научится:  • распознавать на чертежах, рисунках, моделях и в окружающем мире плоские и пространственные геометрические фигуры; • распознавать развёртки куба, прямоугольного параллелепипеда, правиль-ной пирамиды, цилиндра и конуса; • строить развёртки куба и прямоугольного параллелепипеда; • определять по линейным размерам развёртки фигуры линейные размеры самой фигуры, и наоборот; • вычислять объём прямоугольного параллелепипеда. Выпускник получит возможность:      40    • научиться   вычислять   объёмы   пространственных   геометрических   фигур, составленных из прямоугольных параллелепипедов; • углубить и развить представления о пространственных геометрических фигурах; • научиться применять понятие развёртки для выполнения практических расчётов.  Геометрические фигуры   Выпускник научится: ­ оперировать на базовом уровне понятиями: фигура, точка, отрезок, прямая, луч, ломаная, угол,   многоугольник,   треугольник   и   четырёхугольник,   прямоугольник   и   квадрат, окружность и круг, прямоугольный параллелепипед, куб, шар; В повседневной жизни и при изучении других предметов:  ­ изображать изучаемые фигуры от руки и с помощью линейки и циркуля.   ­ решать практические задачи с применением простейших свойств фигур.   Измерения и вычисления   Выпускник научится: ­ выполнять   измерение   длин,   расстояний,   величин   углов,   с   помощью   инструментов   для измерений длин и углов;  ­ вычислять площади прямоугольников.   В повседневной жизни и при изучении других предметов:  ­ вычислять расстояния на местности в стандартных ситуациях, площади прямоугольников;  ­ выполнять простейшие построения и измерения на местности, необходимые в реальной жизни.  История математики   Выпускник научится: ­ описывать отдельные выдающиеся результаты, полученные в ходе развития математики как науки; ­   знать   примеры   математических   открытий   и   их   авторов,   в   связи   с   отечественной   и всемирной историей.   7­9 классы  (для использования в повседневной жизни и обеспечения возможности   успешного продолжения образования на базовом уровне)   Элементы теории множеств и математической логики   Выпускник научится: ­ оперировать   на   базовом   уровне   понятиями:   множество,   элемент   множества, подмножество, принадлежность; ­ задавать множества перечислением их элементов; ­ находить пересечение, объединение, подмножество в простейших ситуациях; ­   оперировать   на   базовом   уровне   понятиями:   определение,   аксиома,   теорема, доказательство;  ­ приводить примеры и контрпримеры для подтверждения своих высказываний   ­ использовать графическое представление множеств для описания реальных процессов и В повседневной жизни и при изучении других предметов:    явлений, при решении задач других учебных предметов.  Числа     41 Выпускник научится: ­ оперировать на базовом уровне понятиями: натуральное число, целое число, обыкновенная дробь,   десятичная   дробь,   смешанная   дробь,   рациональное   число,   арифметический квадратный корень; ­ использовать свойства чисел и правила действий при выполнении вычислений; ­ использовать признаки делимости на 2, 5, 3, 9, 10 при выполнении вычислений и решении несложных задач; ­ выполнять округление рациональных чисел в соответствии с правилами; ­ оценивать значение квадратного корня из положительного целого числа;  ­ распознавать рациональные и иррациональные числа;     ­ сравнивать числа.     ­   составлять   числовые   выражения   при   решении   практических   задач   и   задач   из   других В повседневной жизни и при изучении других предметов: ­ оценивать результаты вычислений при решении практических задач; ­ выполнять сравнение чисел в реальных ситуациях; учебных предметов  Тождественные преобразования   Выпускник научится: ­   выполнять   несложные   преобразования   для   вычисления   значений   числовых   выражений, содержащих   степени   с   натуральным   показателем,   степени   с   целым   отрицательным показателем; ­ выполнять несложные преобразования целых выражений: раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые; ­   использовать   формулы   сокращенного   умножения   (квадрат   суммы,   квадрат   разности, разность квадратов) для упрощения вычислений значений выражений;    ­   выполнять   несложные   преобразования   дробно­линейных   выражений   и   выражений   с квадратными корнями . В повседневной жизни и при изучении других предметов: ­ понимать смысл записи числа в стандартном виде;     ­ оперировать на базовом уровне понятием «стандартная запись числа».  Уравнения и неравенства   Выпускник научится: ­ оперировать   на   базовом   уровне   понятиями:   равенство,   числовое   равенство,   уравнение, корень   уравнения,   решение   уравнения,   числовое   неравенство,   неравенство,   решение неравенства; ­ проверять справедливость числовых равенств и неравенств; ­ решать линейные неравенства и несложные неравенства, сводящиеся к линейным; ­ решать системы несложных линейных уравнений, неравенств; ­ проверять, является ли данное число решением уравнения (неравенства); ­ решать квадратные уравнения по формуле корней квадратного уравнения;       ­ изображать решения неравенств и их систем на числовой прямой.   ­   составлять   и   решать   линейные   уравнения   при   решении   задач,   возникающих   в   других В повседневной жизни и при изучении других предметов: учебных предметах.  Функции     Выпускник научится: ­ находить значение функции по заданному значению аргумента;  ­ находить значение аргумента по заданному значению функции в несложных ситуациях; ­ определять положение точки по её координатам, координаты точки по её положению на координатной плоскости; ­   по   графику   находить   область   определения,   множество   значений,   нули   функции, промежутки   знакопостоянства,   промежутки   возрастания   и   убывания,   наибольшее   и наименьшее значения функции; ­ строить график линейной функции; ­   проверять,   является   ли   данный   график   графиком   заданной   функции   (линейной, квадратичной, обратной пропорциональности); ­ определять приближённые значения координат точки пересечения графиков функций; ­   оперировать   на   базовом   уровне   понятиями:   последовательность,   арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия;      42  ­ решать задачи на прогрессии, в которых ответ может быть получен непосредственным подсчётом без применения формул. В повседневной жизни и при изучении других предметов: ­ использовать графики реальных процессов и зависимостей для определения их свойств (наибольшие   и   наименьшие   значения,   промежутки   возрастания   и   убывания,   области положительных и отрицательных значений и т.п.);  ­   использовать   свойства   линейной   функции   и   ее   график   при   решении   задач   из   других           учебных предметов.  Текстовые задачи    Выпускник научится: ­ решать несложные сюжетные задачи разных типов на все арифметические действия; ­ строить модель условия задачи (в виде таблицы, схемы, рисунка или уравнения), в которой даны значения двух из трёх взаимосвязанных величин, с целью поиска решения задачи; ­ осуществлять способ поиска решения задачи, в котором рассуждение строится от условия к требованию или от требования к условию; ­ составлять план решения задачи;  ­ выделять этапы решения задачи; ­ интерпретировать вычислительные результаты в задаче, исследовать полученное решение задачи; ­ знать различие скоростей объекта в стоячей воде, против течения и по течению реки; ­ решать задачи на нахождение части числа и числа по его части; ­  решать   задачи   разных   типов   (на  работу,   на  покупки,   на  движение),   связывающих   три величины, выделять эти величины и отношения между ними; ­ находить процент от числа, число по проценту от него, находить процентное снижение или процентное повышение величины;  ­ решать несложные логические задачи методом рассуждений.   ­ выдвигать гипотезы о возможных предельных значениях искомых в задаче величин (делать В повседневной жизни и при изучении других предметов: прикидку).  Статистика и теория вероятностей    Выпускник научится: ­   иметь   представление   о   статистических   характеристиках,   вероятности   случайного события, комбинаторных задачах; ­ решать простейшие комбинаторные задачи методом прямого и организованного перебора; ­ представлять данные в виде таблиц, диаграмм, графиков; ­ читать информацию, представленную в виде таблицы, диаграммы, графика; ­ определять основные статистические характеристики числовых наборов; ­ оценивать вероятность события в простейших случаях;       ­ иметь представление о роли закона больших чисел в массовых явлениях.     В повседневной жизни и при изучении других предметов: ­ оценивать количество возможных вариантов методом перебора; ­ иметь представление о роли практически достоверных и маловероятных событий; ­  сравнивать   основные   статистические   характеристики,   полученные   в   процессе   решения прикладной задачи, изучения реального явления;   ­ оценивать вероятность реальных событий и явлений в несложных ситуациях.  Геометрические фигуры    Выпускник научится: ­ оперировать на базовом уровне понятиями геометрических фигур; ­ извлекать информацию о геометрических фигурах, представленную на чертежах в явном виде; ­ применять для решения задач геометрические факты, если условия их применения заданы в явной форме;  ­ решать задачи на нахождение геометрических величин по образцам или алгоритмам.   43 В повседневной жизни и при изучении других предметов:   ­ использовать свойства геометрических фигур для решения типовых задач, возникающих в ситуациях повседневной жизни, задач практического содержания. Выпускник научится:  Отношения   ­ оперировать на базовом уровне понятиями: равенство фигур, равные фигуры, равенство треугольников,   параллельность   прямых,   перпендикулярность   прямых,   углы   между прямыми, перпендикуляр, наклонная, проекция. В повседневной жизни и при изучении других предметов:    ­ использовать отношения для решения простейших задач, возникающих в реальной жизни.  Измерения и вычисления   Выпускник научится: ­ выполнять   измерение   длин,   расстояний,   величин   углов,   с   помощью   инструментов   для измерений длин и углов; ­   применять   формулы   периметра,   площади   и   объёма,   площади   поверхности   отдельных многогранников при вычислениях, когда все данные имеются в условии;  ­ применять теорему Пифагора, базовые тригонометрические соотношения для вычисления  длин, расстояний, площадей в простейших случаях. В повседневной жизни и при изучении других предметов:   ­ вычислять  расстояния на местности в стандартных ситуациях, площади в простейших случаях, применять формулы в простейших ситуациях в повседневной жизни.  Геометрические построения   ­ изображать   типовые   плоские   фигуры   и   фигуры   в   пространстве   от   руки  и   с   помощью Выпускник научится: Выпускник научится: инструментов. В повседневной жизни и при изучении других предметов:   ­ выполнять простейшие построения на местности, необходимые в реальной жизни.  Геометрические преобразования   ­ строить фигуру, симметричную данной фигуре относительно оси и точки.    ­ распознавать симметричные фигуры в окружающем мире.  Векторы и координаты на плоскости   В повседневной жизни и при изучении других предметов: ­ распознавать движение объектов в окружающем мире; Выпускник научится: ­ оперировать на базовом уровне понятиями: вектор, сумма векторов, произведение вектора на число, координаты на плоскости;  ­   определять   приближённо   координаты   точки   по   её   изображению   на   координатной плоскости. В повседневной жизни и при изучении других предметов:    ­ использовать   векторы   для   решения   простейших   задач   на   определение   скорости относительного движения.  История математики   Выпускник научится: ­ описывать отдельные выдающиеся результаты, полученные в ходе развития математики как науки; ­ приводить примеры математических открытий и их авторов, в связи с отечественной и всемирной историей;   ­ понимать роль математики в развитии России.  Методы математики   Выпускник научится:  ­ выбирать подходящий изученный метод для решении изученных типов математических задач; 44  ­ приводить примеры математических закономерностей в окружающей действительности и произведениях искусства.   7­9 классы  (для обеспечения возможности успешного продолжения образования   на базовом уровне)   Элементы теории множеств и математической логики   Выпускник получит возможность научиться: ­ оперировать   понятиями:   определение,   теорема,   аксиома,   множество,   характеристики множества, элемент множества, пустое, конечное и бесконечное множество, подмножество, принадлежность, включение, равенство множеств; ­ изображать множества и отношение множеств с помощью кругов Эйлера; ­ определять принадлежность элемента множеству, объединению и пересечению множеств;  ­ задавать множество с помощью перечисления элементов, словесного описания; оперировать понятиями: высказывание, истинность и ложность высказывания, отрицание высказываний,   операции   над   высказываниями:   и,   или,   не,   условные   высказывания (импликации);  ­ строить высказывания, отрицания высказываний.    ­ использовать   множества,   операции  с  множествами,   их  графическое   представление   для В повседневной жизни и при изучении других предметов: ­ строить цепочки умозаключений на основе использования правил логики;     описания реальных процессов и явлений.  Числа   Выпускник получит возможность научиться: ­ оперировать   понятиями:   множество   натуральных   чисел,   множество   целых   чисел, множество   рациональных   чисел,   иррациональное   число,   квадратный   корень,   множество действительных число, геометрическая интерпретация натуральных, целых, рациональных, действительных чисел; ­ понимать и объяснять смысл позиционной записи натурального числа; ­ выполнять вычисления, в том числе с использованием приёмов рациональных вычислений; ­ выполнять округление рациональных чисел с заданной точностью; ­ сравнивать рациональные и иррациональные числа; ­ представлять рациональное число в виде десятичной дроби ­ упорядочивать числа, записанные в виде обыкновенной и десятичной дроби;        ­ находить НОД и НОК чисел и использовать их при решении задач.   В повседневной жизни и при изучении других предметов: ­ применять правила приближенных вычислений при решении практических задач и решении задач других учебных предметов; ­ выполнять сравнение  результатов вычислений  при решении практических задач, в том числе приближенных вычислений; ­ составлять и оценивать числовые выражения при решении практических задач и задач из других учебных предметов;  ­ записывать и округлять числовые значения реальных величин с использованием разных   систем измерения.  Тождественные преобразования   Выпускник получит возможность научиться: ­ оперировать   понятиями:   степень   с   натуральным   показателем,   степень   с   целым отрицательным показателем; ­   выполнять   преобразования   целых   выражений:   действия   с   одночленами   (сложение, вычитание, умножение), действия с многочленами (сложение, вычитание, умножение); ­   выполнять   разложение   многочленов   на   множители   одним   из   способов:   вынесение   за скобку, группировка, использование формул сокращенного умножения;   45 ­ выделять квадрат суммы и разности одночленов; ­ раскладывать на множители квадратный  трёхчлен;   выполнять   преобразования   выражений,   содержащих   степени   с   целыми   отрицательными показателями, переходить от записи в виде степени с целым отрицательным показателем к записи в виде дроби; ­   выполнять   преобразования   дробно­рациональных   выражений:   сокращение   дробей, приведение алгебраических дробей к общему знаменателю, сложение, умножение, деление алгебраических   дробей,   возведение   алгебраической   дроби   в   натуральную   и   целую отрицательную степень; ­ выполнять преобразования выражений, содержащих квадратные корни; ­ выделять квадрат суммы или разности двучлена в выражениях, содержащих квадратные корни;  ­ выполнять преобразования выражений, содержащих модуль.    ­ выполнять преобразования алгебраических выражений при решении задач других учебных В повседневной жизни и при изучении других предметов: ­ выполнять преобразования и действия с числами, записанными в стандартном виде;           предметов.  Уравнения и неравенства   Выпускник получит возможность научиться: ­ оперировать понятиями: уравнение, неравенство, корень уравнения, решение неравенства, равносильные уравнения, область определения уравнения (неравенства, системы уравнений или неравенств); ­решать линейные уравнения и уравнения, сводимые к линейным с помощью тождественных преобразований; ­   решать   квадратные   уравнения   и   уравнения,   сводимые   к   квадратным   с   помощью тождественных преобразований; ­ решать дробно­линейные уравнения; ­ решать простейшие иррациональные уравнения вида  ,   f x a    f x gx   ; nx a ; ­ решать уравнения вида  ­ решать уравнения способом разложения на множители и замены переменной; ­ использовать метод интервалов для решения целых и дробно­рациональных неравенств; ­ решать линейные уравнения и неравенства с параметрами; ­ решать несложные квадратные уравнения с параметром; ­ решать несложные системы линейных уравнений с параметрами;        ­ решать несложные уравнения в целых числах.   В повседневной жизни и при изучении других предметов: ­ составлять и решать линейные и квадратные уравнения, уравнения, к ним сводящиеся, системы линейных уравнений, неравенств при решении задач других учебных предметов; ­   выполнять   оценку   правдоподобия   результатов,   получаемых   при   решении   линейных   и квадратных   уравнений   и   систем   линейных   уравнений   и   неравенств   при   решении   задач других учебных предметов; ­   выбирать   соответствующие   уравнения,   неравенства   или   их   системы,   для   составления математической модели заданной реальной ситуации или прикладной задачи;  ­ уметь интерпретировать полученный при решении уравнения, неравенства или системы   результат в контексте заданной реальной ситуации или прикладной задачи. Выпускник получит возможность научиться: ­   оперировать   понятиями:   функциональная   зависимость,   функция,   график   функции, способы задания функции, аргумент и значение функции, область определения и множество  Функции   46 значений функции, нули функции, промежутки знакопостоянства, монотонность функции, чётность/нечётность функции;  ­   строить   графики   линейной,   квадратичной   функций,   обратной   пропорциональности, y a   k  ,  y x b функции вида:  ­ на примере квадратичной функции, использовать преобразования графика функции y = ,  ; x y 3 x x ,  y    ;  y af kx b c   f(x) для построения графиков функций  ­   составлять   уравнения   прямой   по   заданным   условиям:   проходящей   через   две   точки   с заданными координатами, проходящей через данную точку и параллельной данной прямой; ­ исследовать функцию по её графику; ­   находить   множество   значений,   нули,   промежутки   знакопостоянства,   монотонности квадратичной функции; ­ геометрическая прогрессия;   арифметическая   прогрессия,   оперировать   понятиями:   последовательность,  ­ решать задачи на арифметическую и геометрическую прогрессию.   В повседневной жизни и при изучении других предметов: ­   иллюстрировать   с   помощью   графика   реальную   зависимость   или   процесс   по   их характеристикам;  ­ использовать  свойства  и  график   квадратичной функции при решении  задач  из  других                     47 учебных предметов.  Текстовые задачи    Выпускник получит возможность научиться: ­ решать простые и сложные задачи разных типов, а также задачи повышенной трудности; ­ использовать разные краткие записи как модели текстов сложных задач для построения поисковой схемы и решения задач; ­   различать   модель   текста   и   модель   решения   задачи,   конструировать   к   одной   модели решения несложной задачи разные модели текста задачи; ­ знать и применять оба способа поиска решения задач (от требования к условию и от условия к требованию); ­ моделировать рассуждения при поиске решения задач с помощью граф­схемы; ­ выделять этапы решения задачи и содержание каждого этапа; ­   уметь   выбирать   оптимальный   метод   решения   задачи   и   осознавать   выбор   метода, рассматривать различные методы, находить разные решения задачи, если возможно; ­ анализировать затруднения при решении задач; ­ выполнять различные преобразования предложенной задачи, конструировать новые задачи из данной, в том числе обратные; ­ интерпретировать вычислительные результаты в задаче, исследовать полученное решение задачи; ­   анализировать   всевозможные   ситуации   взаимного   расположения   двух   объектов   и изменение их характеристик при совместном движении (скорость, время, расстояние) при решении   задач   на   движение   двух   объектов   как   в   одном,   так   и   в   противоположных направлениях; ­   исследовать   всевозможные   ситуации   при   решении   задач   на   движение   по   реке, рассматривать разные системы отсчёта; ­ решать разнообразные задачи «на части»,  ­   решать   и   обосновывать   свое   решение   задач   (выделять   математическую   основу)   на нахождение части числа и числа по его части на основе конкретного смысла дроби; ­ осознавать и объяснять идентичность задач разных типов, связывающих три величины (на работу,   на   покупки,   на   движение),   выделять   эти   величины   и   отношения   между   ними, применять их при решении задач, конструировать собственные задач указанных типов; ­ владеть основными методами решения задач на смеси, сплавы, концентрации;    ­ решать задачи на проценты, в том числе, сложные проценты с обоснованием, используя разные способы; ­ решать логические задачи разными способами, в том числе, с двумя блоками и с тремя блоками данных с помощью таблиц; ­   решать   задачи   по   комбинаторике   и   теории   вероятностей   на   основе   использования изученных методов и обосновывать решение; ­ решать несложные задачи по математической статистике;   ­   овладеть   основными   методами   решения   сюжетных   задач:   арифметический, алгебраический, перебор вариантов, геометрический, графический, применять их в новых по сравнению с изученными ситуациях. В повседневной жизни и при изучении других предметов: ­ выделять   при   решении   задач   характеристики   рассматриваемой   в   задаче   ситуации, отличные от реальных (те, от которых абстрагировались), конструировать новые ситуации с учётом этих характеристик, в частности, при решении задач на концентрации, учитывать плотность вещества; ­ решать и конструировать задачи на основе рассмотрения реальных ситуаций, в которых не требуется точный вычислительный результат;     ­ решать задачи на движение по реке, рассматривая разные системы отсчета.  Статистика и теория вероятностей    Выпускник получит возможность научиться: ­ оперировать   понятиями:   столбчатые   и   круговые   диаграммы,   таблицы   данных,   среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения выборки, размах выборки, дисперсия и стандартное отклонение, случайная изменчивость; ­ извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках; ­ составлять таблицы, строить диаграммы и графики на основе данных; ­   оперировать   понятиями:   факториал   числа,   перестановки   и   сочетания,   треугольник Паскаля; ­ применять правило произведения при решении комбинаторных задач; ­   оперировать   понятиями:   случайный   опыт,   случайный   выбор,   испытание,   элементарное случайное событие (исход), классическое определение вероятности случайного события, операции над случайными событиями; ­ представлять информацию с помощью кругов Эйлера;   ­ решать задачи на вычисление вероятности с подсчетом количества вариантов с помощью         комбинаторики. В повседневной жизни и при изучении других предметов: ­ извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках, отражающую свойства и характеристики реальных процессов и явлений; ­ определять статистические характеристики выборок по таблицам, диаграммам, графикам, выполнять сравнение в зависимости от цели решения задачи;  ­ оценивать вероятность реальных событий и явлений.  Геометрические фигуры    Выпускник получит возможность научиться: ­ оперировать понятиями геометрических фигур;  ­ извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию о геометрических фигурах, представленную на чертежах; ­   применять   геометрические   факты   для   решения   задач,   в   том   числе,   предполагающих несколько шагов решения;  ­ формулировать в простейших случаях свойства и признаки фигур; ­ доказывать геометрические утверждения    ­   владеть   стандартной   классификацией   плоских   фигур   (треугольников   и  четырёхугольников). В повседневной жизни и при изучении других предметов:  48  ­ использовать свойства геометрических фигур для решения задач практического характера и задач из смежных дисциплин.  Отношения     перпендикулярность   прямых, В повседневной жизни и при изучении других предметов:  Выпускник получит возможность научиться: ­ оперировать   понятиями:   равенство   фигур,   равные   фигуры,   равенство   треугольников, параллельность   прямых,   углы   между   прямыми, перпендикуляр,   наклонная,   проекция,   подобие   фигур,   подобные   фигуры,   подобные треугольники;  ­ применять теорему Фалеса и теорему о пропорциональных отрезках при решении задач;   ­ характеризовать взаимное расположение прямой и окружности, двух окружностей.   ­ использовать отношения для решения задач, возникающих в реальной жизни.  Измерения и вычисления   Выпускник получит возможность научиться: ­ оперировать   представлениями   о   длине,   площади,   объёме   как   величинами.   Применять теорему Пифагора, формулы площади, объёма при решении многошаговых задач, в которых не   все   данные   представлены   явно,   а   требуют   вычислений,   оперировать   более   широким количеством   формул   длины,   площади,   объёма,   вычислять   характеристики   комбинаций фигур   (окружностей   и   многоугольников)   вычислять   расстояния   между   фигурами, применять   тригонометрические   формулы   для   вычислений   в   более   сложных   случаях, проводить вычисления на основе равновеликости и равносоставленности; ­ проводить простые вычисления на объёмных телах;   ­ формулировать задачи на вычисление длин, площадей и объёмов и решать их.    ­   применять   формулы   при   вычислениях   в   смежных   учебных   предметах,   в   окружающей В повседневной жизни и при изучении других предметов: ­ проводить вычисления на местности; действительности.  Геометрические построения     Выпускник получит возможность научиться: ­ изображать геометрические фигуры по текстовому и символьному описанию; ­ свободно оперировать чертёжными инструментами в несложных случаях,  ­ выполнять построения треугольников, применять отдельные методы построений циркулем и линейкой и проводить простейшие исследования числа решений;  ­   изображать   типовые   плоские   фигуры   и   объемные   тела   с   помощью   простейших компьютерных инструментов. В повседневной жизни и при изучении других предметов:  ­ выполнять простейшие построения на местности, необходимые в реальной жизни;     ­ оценивать размеры реальных объектов окружающего мира.  Преобразования   Выпускник получит возможность научиться: ­ оперировать   понятием:   движения   и   преобразования   подобия,   владеть   приёмами построения   фигур   с   использованием   движений   и   преобразований   подобия,   применять полученные   знания   и   опыт   построений   в   смежных   предметах   и   в   реальных   ситуациях окружающего мира;  ­ строить фигуру, подобную данной, пользоваться свойствами подобия для обоснования свойств фигур;  В повседневной жизни и при изучении других предметов:  ­ применять свойства движений для проведения простейших обоснований свойств фигур.   ­ применять свойства движений и применять подобие для построений и вычислений.  Векторы и координаты на плоскости  Выпускник получит возможность научиться: 49   ­ оперировать   понятиями:   вектор,   сумма,   разность   векторов,   произведение   вектора   на число, угол между векторами, скалярное произведение векторов, координаты на плоскости, координаты вектора; ­   выполнять   действия   над   векторами   (сложение,   вычитание,   умножение   на   число), вычислять   скалярное   произведение,   определять   в   простейших   случаях   угол   между векторами, выполнять разложение вектора на составляющие, применять полученные знания в физике, пользоваться формулой вычисления расстояния между точками по известным координатам, использовать уравнения фигур для решения задач;  ­ применять векторы и координаты для решения геометрических задач на вычисление длин, углов. В повседневной жизни и при изучении других предметов:    ­ использовать понятия векторов и координат для решения задач по физике, географии и другим учебным предметам/  История математики   Выпускник получит возможность научиться: ­ характеризовать вклад выдающихся математиков в развитие математики и иных научных областей;  ­ понимать роль математики в развитии России.  Методы математики     Выпускник получит возможность научиться: ­ используя изученные методы, проводить доказательство, выполнять опровержение; ­ выбирать изученные методы и их комбинации для решения математических задач; ­   использовать   математические   знания   для   описания   закономерностей   в   окружающей действительности и произведениях искусства; ­ применять простейшие программные средства и электронно­коммуникационные системы при решении математических задач.  Закономерности в самостоятельном творчестве.  50  51