Рабочая программа по геометрии 11 класс

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА К РАБОЧЕЙ  ПРОГРАММЕ ПО ГЕОМЕТРИИ В 11 КЛАССЕ Рабочая   программа   по   математике   составлена   на   основе   федерального компонента   государственного   стандарта   основного   общего   образования.  Рабочая программа составлена на основе авторской  программы Л.С. Атанасяна и др. по геометрии (М.: Просвещение, 2010). Выбор данной программы мотивирован тем, что она разработана в соответствии с требованиями федерального компонента государственного стандарта среднего (полного) общего   образования   по   математике   (базовый   уровень   обучения),   обеспечена   учебно­ методическим комплектом по геометрии для 10­11 классов (авторы Л.С. Атанасян и др. (М.:   рекомендована   Министерством   образования   РФ   для общеобразовательных классов.   Просвещение)), В   программе   определена   последовательность   изучения   материала   в   рамках стандарта для старшей школы и пути формирования знаний и умений, необходимых для применения   в   практической   деятельности,   изучения   смежных   дисциплин,   продолжения образования, а так же развития учащихся.              Рабочая программа конкретизирует содержание предметных тем образовательного  стандарта и дает распределение учебных часов по разделам курса. Рабочая программа выполняет две основные функции: Информационно­методическая функция позволяет всем участникам образовательного  процесса получить представление о целях, содержании, общей стратегии обучения,  воспитания и развития учащихся средствами данного учебного предмета. Организационно­планирующая функция предусматривает выделение этапов обучения,  структурирование учебного материала, определение его количественных и качественных  характеристик на каждом из этапов, в том числе для содержательного наполнения  промежуточной аттестации учащихся.          Примерная программа конкретизирует содержание предметных тем образовательного стандарта и даёт примерное распределение учебных часов по разделам курса.   Для   продуктивной   деятельности   в   современном   мире   требуется   достаточно прочная   математическая   подготовка.   Геометрия   –   один   из   важнейших   компонентов математического образования. Она необходима для приобретения конкретных знаний о пространстве и практически значимых умений, формирования языка описания объектов окружающего мира, развития пространственного воображения и интуиции, математической культуры и эстетического воспитания обучающихся. Изучение геометрии вносит вклад в развитие логического мышления и формирование понятия доказательства. Значимость   математической   подготовки   в   общем   образовании   современного человека   повлияла   на   определение   целей   изучения   математики   на   ступени   среднего (полного) общего образования. Цели Изучение математики на базовом уровне среднего (полного) общего образования направлено на достижение следующих целей:  формирование  представлений   о   математике   как   универсальном   языке   науки, средстве моделирования явлений и процессов, об идеях и методах математики;   развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры,   критичности   мышления   на   уровне,   необходимом   для   будущей профессиональной деятельности, а также последующего обучения в высшей школе; овладение   математическими   знаниями   и   умениями,  необходимыми   в повседневной   жизни,   для   изучения   школьных   естественнонаучных   дисциплин   на базовом уровне, для получения образования в областях, не требующих углубленной математической подготовки; воспитание  средствами   математики   культуры   личности,   понимания   значимости математики   для   научно­технического   прогресса,   отношения   к   математике   как   к части общечеловеческой культуры  Рабочая   программа   конкретизирует   содержание   предметных   тем   образовательного стандарта   и   показывает   распределение   учебных   часов   по   разделам   курса.   Согласно федеральному базисному учебному плану для образовательных учреждений Российской Федерации на изучение геометрии в 11 (базовый уровень) классе отводится 68 часов из расчёта 2 часа в неделю. Рабочая программа по геометрии для 11 класса рассчитана на это же количество часов. Задачи курса геометрии для достижения поставленных целей: изучение свойств пространственных тел;   формирование   умений   применять   полученные   знания  для   решения   практических   задач, проводить   доказательные   рассуждения,   логически   обосновывать   выводы   для   изучения школьных естественнонаучных дисциплин на базовом  уровне.  Основной формой организации образовательного процесса в 11 классе является урок.   Формы   организации   учебного   процесса   на   уроке:   индивидуальные,   групповые, фронтальные. Технические средства обучения: ноутбук, мультимедиапроектор. Контроль   уровня   усвоения   содержания   образования   является   неотъемлемой составной частью процесса обучения. Промежуточная аттестация обучающихся в узком смысле осуществляется в 11 классе  через устный и письменный опросы (индивидуальная работа   по   карточкам),   самостоятельные   и   контрольные   работы   по   разделам   учебного материала, тестирование. Результаты обучения по курсу «Геометрия» Результаты   обучения   представлены   в   Требованиях   к   уровню   подготовки выпускников   и   задают   систему   итоговых   результатов   обучения,   которых   должны достигать все школьники, изучавшие геометрию на базовом уровне, и достижение которых является обязательным условием положительной аттестации за курс средней школы. Реализация   рабочей   программы   осуществляется   на   основе   использования учебника:  Геометрия.   10­11   классы:   учеб.   для   общеобразоват.   учреждений:   базовый   и профил. уровни / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. – М.: Просвещение, 2011.   Учебник   полностью   соответствует   требованиям   федерального   компонента государственного   стандарта   общего   образования   по   математике   базового   уровня (обязательному   минимуму   содержания   образования   и   требованиям   к   математической подготовке учащихся). Книга написана в соответствии с действующей программой для общеобразовательной школы, имеет гриф «Рекомендовано» Министерства образования и науки РФ и входит в Федеральный комплект учебников. Учебник дает цельное и полное представление о школьном курсе стереометрии, который   базируется   на   сочетании   наглядности   и   логической   строгости.   Теоретический материал в учебнике изложен доступно для большинства обучающихся. Это способствует решению важной педагогической задачи – научить работать с книгой. Важная роль при изучении стереометрии отводится задачам. Учебник содержит большое   количество   разнообразных   по   трудности   задач,   что   дает   возможность осуществлять индивидуальный подход к обучающимся. Учитывая изменения в содержательной части ЕГЭ (4 геометрические задачи в 1 части и 2 задачи ­   во 2 части), решение при изучении курса большого количества задач поможет старшеклассникам лучше подготовиться к ЕГЭ. СОДЕРЖАНИЕ МАТЕРИАЛА 1.  Координаты точки и координаты векторов пространстве. Движения.  введение   понятие   прямоугольной   системы   координат   в   пространстве; Прямоугольная   система   координат   в   пространстве.   Расстояние   между   точками   в пространстве.   Векторы   в   пространстве.   Длина   вектора.   Равенство   векторов.   Сложение векторов.   Умножение   вектора   на   число.   Координаты   вектора.   Скалярное   произведение векторов.  Цель: знакомство с координатно­векторным методом  решения задач. Цели: сформировать у учащихся умения применять координатный и векторный методы к решению   задач   на   нахождение   длин   отрезков   и   углов   между   прямыми   и   векторами   в пространстве.   В   ходе   изучения   темы   целесообразно   использовать   аналогию   между рассматриваемыми   понятиями   на   плоскости   и   в   пространстве.   Это   поможет   учащимся более   глубоко   и   осознанно   усвоить   изучаемый   материал,   уяснить   содержание   и   место векторного и координатного методов в курсе геометрии О с н о в н а я     ц е л ь – обобщить и систематизировать представления учащихся о декартовых   координатах   и   векторах,   познакомить   с   полярными   и   сферическими координатами. Изучение координат и векторов в пространстве, с одной стороны, во многом повторяет изучение  соответствующих  тем планиметрии,  а с другой стороны, дает  алгебраический метод решения стереометрических задач. 2.    Цилиндр, конус, шар. Основные   элементы   сферы   и   шара.   Взаимное   расположение   сферы   и   плоскости. Многогранники, вписанные в сферу. Многогранники, описанные около сферы. Цилиндр и конус. Фигуры вращения.  Цель:  выработка   у   учащихся   систематических   сведений   об   основных   видах   тел вращения. Цели:  дать   учащимся   систематические   сведения   об   основных   видах   тел   вращения. Изучение   круглых   тел   (цилиндра,   конуса,   шара)   завершает   изучение   системы   основных пространственных геометрических тел. В ходе знакомства с теоретическим материалом темы значительно развиваются пространственные представления учащихся: круглые тела рассматривать на примере конкретных геометрических тел, изучать взаимное расположение круглых тел и плоскостей (касательные и секущие плоскости), ознакомить с понятиями описанных и вписанных призм и пирамид. Решать большое количество задач, что позволяет продолжить работу по  формированию логических и графических умений. О с н о в н а я   ц е л ь – сформировать представления учащихся о круглых телах, изучить случаи их взаимного расположения, научить изображать вписанные и описанные фигуры. В данной теме обобщаются сведения из планиметрии об окружности и круге, о взаимном расположении   прямой   и   окружности,     о   вписанных   и   описанных   окружностях.   Здесь учащиеся знакомятся с основными фигурами вращения, выясняют их свойства, учатся их изображать   и   решать   задачи   на   фигуры   вращения.   Формированию   более   глубоких представлений учащихся могут служить задачи на комбинации многогранников и фигур вращения. 3.  Объем и площадь поверхности. Понятие   объема   и   его   свойства.   Объем   цилиндра,   прямоугольного   параллелепипеда   и призмы. Принцип Кавальери. Объем пирамиды. Объем конуса и усеченного  конуса. Объем шара и его частей. Площадь поверхности многогранника, цилиндра, конуса, усеченного конуса. Площадь поверхности шара и его частей. Цель: систематизация  изучения многогранников и тел вращения в ходе решения задач на вычисление их объемов. Цели:  продолжить   систематическое   изучение   многогранников   и   тел   вращения   в   ходе решения задач на вычисление их объемов.   Понятие   объема   вводить   по   аналогии   с   понятием   площади   плоской   фигуры   и формулировать основные свойства объемов. Существование и единственность объема тела в школьном курсе математики приходится принимать без доказательства, так   как   вопрос   об   объемах   принадлежит,   по   существу,   к   трудным   разделам   высшей математики.   Поэтому   нужные   результаты   устанавливать,   руководствуясь   больше наглядными   соображениями.   Учебный   материал   главы   в   основном   должен   усвоиться   в процессе решения задач. О с н о в н а я     ц е л ь – сформировать представления учащихся о понятиях объема и площади   поверхности,   вывести   формулы   объемов   и   площадей   поверхностей   основных пространственных   фигур,   научить   решать   задачи   на   нахождение   объемов   и   площадей поверхностей. Изучение   объемов   обобщает   и   систематизирует   материал   планиметрии   о   площадях плоских   фигур.   При   выводе   формул   объемов   используется   принцип   Кавальери.   Это позволяет чисто геометрическими методами, без использования интеграла или предельного перехода, найти объемы основных пространственных фигур, включая объем шара и его частей.  Практическая   направленность   этой   темы   определяется   большим   количеством разнообразных задач на вычисление объемов и площадей поверхностей. 4.   Повторение. Цель: повторение и систематизация материала 11 класса. Цели: повторить и обобщить знания и умения, учащихся через решение задач по следующим темам:  метод   координат   в   пространстве;   многогранники;  тела   вращения;  объёмы многогранников и тел вращения ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ПОДГОТОВКИ ВЫПУСКНИКОВ В результате изучения математики на базовом уровне ученик должен знать/понимать1  значение   математической   науки   для   решения   задач,   возникающих   в   теории   и практике; широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;  значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и   развития   математической   науки;   историю   развития   понятия   числа,   создания математического анализа, возникновения и развития геометрии;  применимость во всех областях человеческой деятельности; универсальный   характер   законов   логики   математических   рассуждений,   их ГЕОМЕТРИЯ уметь  трехмерные объекты с их описаниями, изображениями; распознавать   на   чертежах   и   моделях   пространственные   формы;   соотносить 1 Помимо указанных в данном разделе знаний, в требования к уровню подготовки включаются также знания,  необходимые для освоения перечисленных ниже умений. описывать   взаимное   расположение   прямых   и   плоскостей   в   пространстве, анализировать   в   простейших   случаях   взаимное   расположение   объектов   в изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям  аргументировать свои суждения об этом расположении;  пространстве;  задач;   геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);  методы;  проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач; строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды;  решать планиметрические и  простейшие  стереометрические  задачи  на нахождение использовать   при   решении   стереометрических   задач   планиметрические   факты   и исследования   (моделирования)   несложных   практических   ситуаций   на   основе использовать   приобретенные   знания   и   умения   в   практической   деятельности   и повседневной жизни для:  изученных формул и свойств фигур;  вычисления объемов и площадей поверхностей пространственных тел при решении практических   задач,   используя   при   необходимости   справочники   и   вычислительные устройства.   вычисления объемов и площадей поверхностей пространственных тел при решении практических   задач,   используя   при   необходимости   справочники   и   вычислительные устройства.  ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ   Раздел, тема. № п/п 1 Метод координат в пространстве 2 3 4 5 Цилиндр, конус и шар. Объёмы тел. Повторение за курс 10­11 классов Всего Кол­во часов Примечания 15 14 22 17 64 а к о р у №   ПОУРОЧНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ   Название темы Дата проведения Примечания План Факт Глава \/. Метод координат в пространстве §1. Координаты точки и координаты вектора 1 2 3 4 5 Прямоугольная система координат в  пространстве Координаты вектора.  Решение задач на применение координат вектора Связь между координатами векторов и  координатами точек Простейшие задачи в координатах. 02.09 06.09 08.09 13.09 15.09 6 7 8 9 10 Решение задач по теме «Простейшие задачи в  координатах» Контрольная работа №1 «Координаты точки  и координаты вектора» 20.09 22.09 §2. Скалярное произведение векторов Угол между векторами. Скалярное произведение векторов. Решение задач на применение скалярного  произведения векторов. Вычисление углов между прямыми и  плоскостями 11 Повторение вопросов теории и решение задач.  Самостоятельная работа. §3. Движения. 12 Центральная симметрия. Осевая симметрия.  Зеркальная симметрия.  13 Параллельный перенос 14 Контрольная работа №2 «Скалярное  произведение векторов. Движения» 15 Повторительно­обобщающий урок по теме «Метод координат в пространстве» 27.09 29.09 04.10 06.10 11.10 13.10 18.10 20.10 25.10 27.10 01.11 03.11 Глава \/I. Цилиндр, конус и шар. §1. Цилиндр. 16 Понятие   цилиндра.   Площадь   поверхности 17 18 цилиндра. Самостоятельная работа. Решение   задач  по   теме   «Площадь   поверхности цилиндра» Самостоятельная работа по теме «Площадь  поверхности цилиндра» 19 Понятие конуса. Площадь поверхности конуса.  20 Усечённый конус. 21 Решение задач по теме «Конус» §2. Конус. §3. Сфера. Сфера и шар. Уравнение сферы.  Взаимное расположение сферы и плоскости. 22 23 24 Касательная плоскость к сфере. 25 Площадь сферы. 26 27 Решение задач на различные комбинации тел. Разные задачи на многогранники, цилиндр,  конус, шар. Решение задач по теме «Цилиндр, конус, шар» 28 29 Контрольная работа №3  «Цилиндр, конус, шар» Глава \/II. Объёмы тел. §1. Объём прямоугольного параллелепипеда. 30 Понятие объёма. Объём прямоугольного  параллелепипеда. 31 32 Решение задач по теме «Объём прямоугольного  параллелепипеда» Самостоятельная работа по теме «Объём  прямоугольного параллелепипеда». §2. Объём прямой призмы и цилиндра. 33 Объём прямой призмы.  34 Объём цилиндра. 35 Решение задач на вычисление объёмов прямой  призмы и цилиндра §3. Объём наклонной призмы, пирамиды и конуса. 36 Вычисление объёмов тел с помощью  определённого интеграла Решение задач на вычисление объёма пирамиды 37 Объём наклонной призмы.  38 Объём пирамиды. 39 40 Объём усечённой пирамиды 41 Объём конуса 42 Объём усечённого конуса 43 Контрольная работа №4 «Объёмы призмы,  пирамиды, цилиндра, конуса» §4. Объём шара и площадь сферы. 44 Объём шара. 45 46 Объёмы   шарового   сегмента,   шарового   слоя, Решение задач на вычисление объёма шара шарового сектора. 47 Площадь сферы. 48 49 Повторительно­обобщающий   урок   по   теме Решение задач на вычисление площади сферы «Объём шара и площадь сферы» 50 Контрольная работа №5 «Объём шара и площадь сферы» 51 Повторительно­обобщающий   урок   по   теме «Объёмы тел» Повторение за курс 10­11 классов. (Материалы по организации заключительного повторения при подготовке учащихся к итоговой аттестации по геометрии) 52 Аксиомы стереометрии и их следствия. Решение  задач. 53 Параллельность прямых, прямой и плоскости.  Решение задач. 54 Угол между прямыми. Решение задач. 55 Параллельность плоскостей. Решение задач. 56 Построение сечений в тетраэдре и  параллелепипеде 57 Теорема о трёх перпендикулярах. Решение  задач. 58 Площадь поверхности и объём призмы. Решение  задач. 59 Площадь поверхности и объём пирамиды.  Решение задач. 60 Площадь поверхности и объём цилиндра.  Решение задач. 61 Площадь поверхности и объём конуса. Решение  задач. 62 Площадь поверхности сферы и объём шара.  Решение задач. Векторы в пространстве. Решение задач. 63 64 Метод координат в пространстве. Решение  задач. 65 Применение метода координат при решении  задачи 14 ЕГЭ 66 Итоговая контрольная работа 67 Итоговое тестирование 68 Обобщающий урок. Итого 68 КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1  1. Найдите координаты вектора  АВ В а р и а н т   1 , если А (5; –1; 3), В (2; –2; 4).  2. Даны векторы b 3. Изобразите систему координат  Oxyz  и постройте точку  А  (1; –2; –4).  (3; 1; –2) и c (1; 4; –3). Найдите  .   2b c Найдите расстояния от этой точки до координатных плоскостей.  1. Найдите координаты вектора СD  2. Даны вектора α  (5; – 1; 2) и b В а р и а н т   2 (3; 2; – 4). Найдите  , если С (6; 3; – 2), D (2; 4; – 5).   2α b . 3. Изобразите систему координат  Oxyz  и постройте точку  В (– 2; – 3; 4). Найдите расстояние от этой точки до координатных плоскостей. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2 В а р и а н т   1  1. Вычислите скалярное произведение векторов  m    b , c 2n   a b ,    a  = 3, (  )a b  b  a ,    2. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между прямыми AD1 и BM, где M  = 60°, c  = 2,  .   и  n , если      m a    b c 2 – середина ребра DD1. плоскость β1 и b || β1. 3. При движении прямая отображается на прямую  b1, а плоскость  β  – на В а р и а н т   2  1. Вычислите скалярное произведение векторов  m       b , c n a 2. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между прямыми AC и DC1. 3. При движении прямая a отображается на прямую a1, плоскость α – на   αc    и  n  b 2 ,   = 2, (  )a b  = 60°,   2m       a b c , если   = 3,   b  a . ,  плоскость α1, и  αa  . Докажите, что  1 1α a  . КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3 В а р и а н т   1 1. Осевое сечение цилиндра – квадрат, площадь основания цилиндра равна 16π см2. Найдите площадь поверхности цилиндра. 2. Высота конуса равна 6 см, угол при вершине осевого сечения равен 120°. Найдите: а) площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми 30°; б) площадь боковой поверхности конуса. 3. Диаметр шара равен 2m. Через конец диаметра проведена плоскость под углом   45°   к   нему.   Найдите   длину   линии   пересечения   сферы   с   этой плоскостью.  В а р и а н т   2 1. Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого 4 см. Найдите площадь поверхности цилиндра. 2.   Радиус   основания   конуса   равен   6   см,   а   образующая   наклонена   к плоскости основания под углом 30°. Найдите: а) площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми 60°; б) площадь боковой поверхности конуса. 3. Диаметр шара равен 4m. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 30° к нему. Найдите площадь сечения шара этой плоскостью. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4 В а р и а н т   1 1. Апофема правильной треугольной пирамиды равна 4 см, а двугранный угол при основании равен 60°. Найдите объем пирамиды. 2. В цилиндр вписана призма. Основанием призмы служит прямоугольный треугольник,   катет   которого   равен   2a,   а   прилежащий   угол   равен   30°. Диагональ   большей   боковой   грани   призмы   составляет   с   плоскостью   ее основания угол в 45°. Найдите объем цилиндра. 1.   Боковое   ребро   правильной   треугольной   пирамиды   равно   6   см   и составляет с плоскостью основания угол в 60°. Найдите объем пирамиды. В а р и а н т   2 2.   В   конус   вписана   пирамида.   Основанием   пирамиды   служит прямоугольный   треугольник,  катет   которого  равен  2a,  а  прилежащий   угол равен   30°.   Боковая   грань   пирамиды,   проходящая   через   данный   катет, составляет с плоскостью основания угол в 45°. Найдите объем конуса. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 5 В а р и а н т   1 1. Диаметр шара равен высоте конуса, образующая которого составляет с плоскостью основания угол в 60°. Найдите отношение объемов конуса и шара. 2. Объем цилиндра равен 96π  см3, площадь его осевого сечения 48 см2. Найдите площадь сферы, описанной около цилиндра. В а р и а н т   2 1. В конус, осевое сечение которого есть правильный треугольник, вписан шар.  Найдите   отношение   площади   сферы   к   площади   боковой   поверхности конуса. 2.  Диаметр   шара   равен   высоте   цилиндра,  осевое   сечение   которого   есть квадрат. Найдите отношение объемов цилиндра и шара. ТЕСТЫ ПО ПЛАНИМЕТРИИ В а р и а н т   I (все длины указаны в см) 1   Прямоугольные   треугольники  ABC  и  A′B′C   подобны.   Если   = 35°, то треугольник A′B′C  имеет угол, равный 1) 45°            2) 65°            3) 145°            4) 55° 2  В треугольниках ABC и  A′B′C  ′  B = B , ′ BC = 6, B′C  = 4.  Если 2  ′ ′ ′ AB A  = A′C  равно ′ 2 3 = 3A′B , то отношение  3 2             4)  ′ 1 2             2) 2            3)  1)  3  Вписанный угол опирается на дугу 84°. Градусная мера угла равна 1) 84°            2) 174°            3) 168°            4) 42° 4   На   дугу  AB  опирается   вписанный   угол, содержащий 20°. Если вписанный угол ADC  равен  α, то 2 0 ° α D F 1) α = 20°          2) α > 20°          3) α < 20° 4) α зависит от положения точки D на дуге FB C 5  Сумма внутренних углов выпуклого пятиугольника равна 1) 540°            2) 900°            3) 720°            4) 480° 6   Если   внешний   угол   правильного   многоугольника   содержит   60°,   то B A число его сторон равно 1) 6            2) 5            3) 4            4) 8 7   В   окружность   радиуса   5   вписан прямоугольник,   одна   из   сторон   которого   равна   6. Найдите непараллельную ей сторону. 1) 4            2) 5            3) 6            4) 8 8  Укажите ложное утверждение. 1) Любые два квадрата подобны. 2) Любые два угла подобны. 3) Любые две окружности подобны. 4) Любые два правильных пятиугольника подобны. 9  В треугольнике ABC  A = 60°, AB = 3, AC = 2. Найдите BC. 1) 7            2)  19             3)  7             4) 19 10  В треугольнике ABC sin C = 1) 3            2) 4            3) 6            4) 2 1 4 , sin A = 2 3 , BC = 8. Найдите AB. 11  ABCDEFHG – правильный восьмиугольник. Найдите BGD. 1) 75°            2) 30°            3) 45°            4) 60° 12   В треугольнике  ABC   B  = D  = 90°, BD = 3, AD = 2. Найдите DC. 1) 4,5            2) 6            3) 5            4) 1,5 A 2 Р9МГ – 3137 (все длины указаны в см) C H A B G B D 3 13  В трапеции ABCD AD || BC, BO = 3, OD = 6. Если OC = 2, то диагональ AC равна 1) 4            2) β            3) 9            4) 11 C 6 3 2 O B A D F E C D 14  Около  треугольника  ABC  описана окружность с центром в точке O. Если A = 20°,  B = 70°, то  1) точка O лежит внутри треугольника. 2) о положении точки O ничего сказать нельзя. 3) точка O лежит вне треугольника. 4) точка O лежит на одной из сторон треугольника. 15   В   треугольнике  ABC     BD    AC, A  =   30°.   Если   DBC  =   45°,  AB  =   4,   то сторона BC равна 4 3 0 ° B 4 5 ° 1) 2           2)  2            3) 2 2            4) 3 16   Радиус  описанной  около  правильного многоугольника  окружности равен 6. Если радиус вписанной окружности 3 3 , то сторона многоугольника равна D A C 1) 3            2) 6 3             3) 6            4) 6 2 17  Сторона ромба равна 3. Если одна из диагоналей равна 4, то косинус тупого угла ромба  1 9 1)  1 9             3)   2 9             2)              4)  2 9 18  В треугольнике ABC  AD – биссектриса угла A,  AB = BC. Если  AC  = 6,  BD  = 8, то сторона  AB равна 1) 11            2) 14            3) 12            4) 10 B 6 8 D C A В а р и а н т   II Р9МГ – 4139 (все длины указаны в см) 1   Прямоугольные   треугольники  ABC  и  A′B′C   подобны.   Если   ′  A   =′ = 42°, то треугольник ABC имеет угол, равный 1) 84°            2) 58°            3) 48°            4) 36° 2  В  треугольниках  ABC  A′B′C  ′  B = B , ′ B′C  = 12,  ′ = 4AB, то отношение A′C  :  ′ AC равно BC = 3. Если A′B′ 1 4             4)  1 3 1) 3            2) 4            3)  3  Вписанный угол опирается на дугу 76°. Градусная мера угла равна 1) 176°            2) 104°            3) 38°            4) 152° 4  На  дугу   AB   опирается  вписанный  угол, содержащий 70°. Если вписанный угол   ADC равен α, то  7 0 ° α D F 1) α = 70°            2) α > 70°            3) α < 70° 4) α зависит от положения точки D на дуге FB 5  Сумма внутренних углов выпуклого семиугольника равна 1) 900°            2) 720°            3) 360°            4) 540° A B C 6   Если   внешний   угол   правильного   многоугольника   содержит   30°,   то число сторон многоугольника равно 1) 9            2) 10            3) 8            4) 12 7   В   окружность   радиуса   2,5   вписан прямоугольник, одна из сторон которого равна 4. Найдите непараллельную ей сторону. 1) 2            2) 3,5            3) 2,5            4) 3 8  Укажите верное утверждение. 1) Любые две окружности подобны. 2) Любые два угла подобны. 3) Любые два треугольника подобны. 4) Любые две трапеции подобны. 9  В треугольнике ABC C = 150°, AC = 3 , BC = 2. Найдите AB. 1) 2            2) 1            3)  13             4)  10 10  В треугольнике ABC  AC = 4, sin C = 1) 4            2) 3            3) 12            4) 6 1 2 , sin B = 1 3 . Найдите AB. 11   ABCDEF  –   правильный   шестиугольник. Найдите  CAE. 1) 30°            2) 60°            3) 75°            4) 90° 12   В треугольнике  ABC  B = D  = 90°, BD = 2, DC = 4. Найдите AD. 1) 1            2) 2            3) 2 2             4)  2 13  В трапеции ABCD  AD || BC, DO = 15, BO = 5. Если OC = 3, то диагональ AC равна 1) 9            2) 12            3) 25            4) 28 A B A E C C A B B D 2 5 O D F 4 C 3 1 5 D 14  Около треугольника ABC описана окружность с центром в точке O. Если  B = 45°,  C = 15°, то 1) точка O лежит на одной из сторон треугольника 2) точка O лежит внутри треугольника 3) положение точки O определить нельзя 4) точка O лежит вне треугольника 15  В треугольнике ABC BD  AC. Если  A  = 60°,   C  = 45°,  DC  = 3 , то сторона  AB равна B 6 0 ° 4 5 ° 3 1) 2 3           2)  3          3) 2          4) 2 2 16  Радиус вписанной в правильный многоугольник окружности равен 2. D C A Если радиус описанной окружности 4, то сторона многоугольника равна 1) 2 3             2) 4 3             3) 4            4) 6 17  Сторона ромба равна 3. Если одна из диагоналей равна 5, то косинус острого угла ромба равен  7 18  7 9 7 9             4)  7 18             3)              2)  1)  18  В треугольнике ABC  AD – биссектриса угла A,  AB = BC. Если  AC  = 9,  BD  = 12, то сторона  BC равна 1) 18            2) 15            3) 24            4) 21 B 9 1 2 D C A В а р и а н т   III (все длины указаны в см) 1   Прямоугольные   треугольники  ABC  и  A′B′C   подобны.   Если   ′ ′ = 28°, то треугольник A′B′C  имеет  угол, равный  1) 152°            2) 62°            3) 52°            4) 64° 2  В треугольниках  ABC и  A′B′C  ′  C = C , ′ AC = 4, A′C′ = 8.  Если B′C′ B  = = 2BC, то отношение AB : A′B  равно  ′ 1 2             2) 2            3) 4            4)  1)  3   Вписанный угол содержит 130°. Градусная мера дуги, на которую он 1 4 опирается, равна 1) 65°            2) 130°            3) 220°            4) 260° 4   На   дугу  AB  опирается   вписанный   угол, содержащий 30°. Если вписанный угол  ADC  равен  β, то  F D β 3 0 ° 1) β < 30°            2) β = 30°            3) β > 30° 4) β зависит от положения точки D на дуге AF 5   Сумма   внутренних   углов   выпуклого   многоугольника   1080°.   Тогда B A C число сторон многоугольника равно  1) 6            2) 7            3) 8            4) 9 6  Внешний угол правильного шестиугольника равен  1) 30°            2) 60°            3) 72°            4) 54° 7   В   окружность   вписан   прямоугольник   со сторонами 8 и 6. Найдите радиус этой окружности. 1) 5            2) 6            3) 4            4) 10 8  Укажите ложное утверждение. 1) Любые две окружности подобны. 2) Любые два отрезка подобны. 3) Любые два квадрата подобны. 4) Любые два ромба подобны. 9  В треугольнике ABC   A = 45°, AB = 2 2 , AC = 1. Найдите BC. 1) 13             2)  5             3) 5            4)  13 10  В треугольнике ABC  BC = 9, AB = 6, sin C = 1 4             2)  1 9             4)  2 3             3)  1 2 1)  1 6 . Найдите sin A. 11   ABCDE  –   правильный   пятиугольник. Найдите  BAC. 1) 15°            2) 18°            3) 36°            4) 30° C B D A E 12   В треугольнике  ABC  C = D  = 90°, AC = 6, AD = 4. Найдите гипотенузу AB. 1) 18            2) 13            3) 12            4) 9 13   В  трапеции  ABCD   AD || BC,  AD  = 6, BC = 3. Если BO = 2, то диагональ BD равна 1) 4            2) 9            3) 5            4) 6 6 A C 4 B 2 D O 6 B C A D 14  Около треугольника ABC описана окружность с центром в точке O. Если A = 65°,  B = 35°, то  1) точка O лежит на одной из сторон треугольника. 2) точка O лежит вне треугольника. 3) точка O лежит внутри треугольника. 4) положение точки O определить нельзя. 15   В треугольнике  ABC   BD    AC,   ABC  = = 105°.  Если  DBC = 60°, AD = 2, то отрезок DC равен 1) 2 2            2) 2 3            3) 3 2             4) 3 B 6 0 ° 2 D A C 16   Сторона   правильного   многоугольника   равна   8.   Если   радиус вписанной в него окружности 4 3 , то радиус описанной окружности равен 1) 12            2) 6 3             3) 8 3             4) 8 17  Сторона ромба равна 3. Если одна из диагоналей равна 2, то косинус тупого угла ромба равен  1 3             4)  B α 6 A 8 C D 1 2  7 9 1 3 1)  18   В   треугольнике  ABC   7 9             3)              2)    BD  – биссектриса угла B,  ABD =  α. Если  AB = 6, =  AC  = 12, DC = 8, то A равен 1) 2α             2) 90° – α             3) α 4) 90° – 2α В а р и а н т   IV На   плоскости   заданы   прямоугольная   система   координат  Oxy  и    и  j координатные векторы  i .    1  Разложение вектора  x  и  j {–4; 3} по координатным векторам  i   x x    i    i 3  j 3  j 4  имеет вид 1)                  2)  4 4    i  j              4)   x 3)   2   Вектор,   равный   сумме   векторов  α    i  x  j 3 4 3 координаты    i j   b    i 2 3  j ,   имеет   и    3  j  y j , равны 3) x = 3     y = 0 4) x = 0     y = –3 1) {1; 2}            2) {2; 1}            3) {3; 4}            4) {–1; 2}    3  Числа x и y, удовлетворяющие условию  xi 1) x = –3 2) x = 0   y = 0     y = 3  4  Длина вектора c  {3; –2} равна 1)  5             2)  13             3) 5            4) 13  5   Вектор  c ,   изображенный   на   чертеже,   имеет    1) c  {0; –1}           3) c  {2; 1}           2) c  {2; –1}  4) c  {–2; –1} 6  ABCD – параллелограмм. Если A (3; –4) и C (–3; –2), то координаты j O 1 x координаты y i c точки пересечения диагоналей равны 1) (0; –3)            2) (0; –1)            3) (3; –1)            4) (6; –2)  7   Пусть заданы точки  A  (–4; –3) и  B  (1; 2). Тогда вектор   BA   имеет координаты  1) {5; 5}            2) {–3; –1}            3) {–5; –5}            4) {3; 1} Для решения задач 8 и 9 задана единичная полуокружность, изображенная на рис. y C   ( 0 ;   1 ) B   ( – 1 ;   0 ) O A   ( 1 ;   0 ) x 8   На единичной полуокружности лежит точка  M  угла AOM равен    1 2 ; 3 2    . Косинус  1 2 1)              2)  3 2             3)   1 3 1 2             4)  9   На   единичной   полуокружности   лежит   точка  M  треугольника AOM равна    4 3 ; 3 5    .   Площадь 1) 0,8            2) 0,6            3) 0,3            4) 0,48 10  В  треугольнике   ABC C = 90°.  Если   AB = 4, AC = 2, то угол A равен 1) 30°            2) 60°            3) 75°            4) 45° 11  В треугольнике ABC AB = 5, BC = 7. Отношение (sin A) : (sin C) равно 1) 1            2)  5 7             3)  1 2             4)  7 5 12  В треугольнике   ABC  AC = 2, BC = 3. Если cos C =  1 4 , то сторона AB равна 1) 4            2) 3            3)  7             4)  10 13  Уравнение прямой, проходящей через точку A (–8; 7) и параллельной оси Oy, имеет вид 1) x + y + 1 = 0           2) y – 7 = 0           3) y + 7 = 0           4) x + 8 = 0 14  Уравнение окружности с центром в точке (1; –3), проходящей через точку (1; –1), имеет вид 1) (x + 1)2 + (y – 3)2 = 4               2) (x – 1)2 + (y + 3)2 = 4 3) (x + 1)2 + (y – 3)2 = 2               4) (x – 1)2 + (y + 3)2 = 2 15  Точки B (1; 0), C (2; –3), D (1; –1) – вершины параллелограмма  ABCD.   Координаты   вершины  A равны B C 1) (–2; 4)        2) (0; 2)        3) (2; –4)        4) (2; –2) A D 16  В треугольнике ABC   A = α,  B = β. Если BC = 2, AB = 3,  C = 45°, то B β 3 α 2 4 5 ° 1) α < 45° < 90° < β               2) α < 45° < β < 90° 3) 45 ° < α < β < 90°              4) α < β < 45° 17  Расстояние между двумя точками A и B равно 5. Если A (–2; 3) и B (1; C A y), то  1) B (1; 7)                               2) такой точки B не существует 3) B (1; 7) или B (1; –1)          4) B (1; –5) или B (1; –1)    18   Даны точки  A  (0; –1),  B  (–1; 0),  C  (–1; 2). Если   KA AB CB   , то координаты точки K равны 1) (–1; 2)            2) (1; 2)            3) (1; 0)            4) (1; –4) ИТОГОВАЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО СТЕРЕОМЕТРИИ В правильной четырехугольной пирамиде MABCD сторона основания равна 6, а боковое ребро – 5. Найдите: В а р и а н т   I 1) площадь боковой поверхности пирамиды; 2) объем пирамиды; 3) угол наклона боковой грани к плоскости основания; 4) скалярное произведение векторов (AD + AB) ∙  AM; 5) площадь описанной около пирамиды сферы; 6) угол между BD и плоскостью DMC. В а р и а н т   II В  правильной  треугольной  пирамиде  MABC  сторона основания равна 3 3 , а боковое ребро – 5. Найдите:  1) площадь боковой поверхности пирамиды; 2) объем пирамиды; 3) угол между боковым ребром и плоскостью основания;    MB MC EA   ( ) 1 2 4) скалярное  произведение  векторов   ,  где E – середина BC; 5) объем вписанного в пирамиду шара; 6) угол между стороной основания и плоскостью боковой грани. В а р и а н т   III В правильной четырехугольной пирамиде MABCD боковое ребро равно 8 и наклонено к плоскости основания под углом 60°. Найдите: 1) площадь боковой поверхности пирамиды; 2) объем пирамиды; 3) угол между противоположными боковыми гранями;     MA MC ME  ( ) 4) скалярное произведение векторов  1 2 , где E – середина DC; 5) объем описанного около пирамиды шара; 6) угол между боковым ребром AM и плоскостью DMC. В а р и а н т   IV В  правильной  треугольной  пирамиде  MABC  сторона  основания  равна  2 3 ,  а  боковые  грани  наклонены  к  основанию   под   углом   60°.  Найдите:  1) площадь боковой поверхности пирамиды;