Распространение волн в упругих средах.

Бегущая волна

Выведем уравнение волны, которое позволит определить смещение каждой точки среды в любой момент времени при распространении гармонической волны. Сделаем это на примере волны, бегущей по длинному тонкому резиновому шнуру.
Ось ОХ направим вдоль шнура, а начало отсчета свяжем с левым концом шнура. Смещение колеблющейся точки шнура от положения равновесия обозначим буквой s. Для описания волнового процесса нужно знать смещение каждой точки шнура в любой момент времени. Следовательно, надо знать вид функции
s = s (х, t).
Заставим конец шнура (точка с координатой х = 0) совершать гармонические колебания с циклической частотой ω. Колебания этой точки будут происходить по закону:
s = sm sin ωt,                         (6.3)
если начальную фазу колебаний считать равной нулю. Здесь sm — амплитуда колебаний (рис. 6.10, а).

Уравнение бегущей волны

Колебания распространяются вдоль шнура (оси ОХ) со скоростью υ и в произвольную точку шнура с координатой х придут спустя время













Эта точка также начнет совершать гармонические колебания с частотой ω, но с запаздыванием на время τ (рис. 6.10, б).

Уравнение бегущей волны

Если пренебречь затуханием волны по мере ее распространения, то колебания в точке х будут происходить с той же амплитудой sm, но с другой фазой:


Это и есть уравнение гармонической бегущей волны, распространяющейся в положительном направлении оси ОХ.
Волна при распространении от какого-либо источника в сплошной среде постепенно захватывает все более обширные области пространства.
Энергия, которую несут с собой волны, с течением времени распределяется по все большей и большей поверхности. Поэтому энергия, переносимая через поверхность единичной площади за одну секунду, уменьшается по мере удаления от источника волн. Следовательно, уменьшается и амплитуда колебаний частиц среды по мере удаления от источника.
Ведь энергия колеблющегося тела пропорциональна квадрату амплитуды его колебаний. Это справедливо для колебаний не только груза на пружине или какого- нибудь другого маятника, но и для любой частицы среды.

Плоская волна. Волновая поверхность и луч

Исключение составляет так называемая плоская волна. Такую волну можно получить, если поместить в упругую среду большую пластину и заставить ее колебаться в направлении нормали к пластине. Все точки среды, примыкающие к пластине с одной стороны, будут совершать колебания с одинаковыми амплитудами и фазами. Эти колебания будут распространяться в виде волн в направлении нормали к пластине, причем все частицы среды, лежащие в плоскости, параллельной пластине, будут колебаться в одной фазе. Поверхность равной фазы называется волновой поверхностью.
В случае плоской волны волновые поверхности представляют собой плоскости (рис. 6.11). Так как все точки, принадлежащие одной волновой поверхности, колеблются одинаково, то уравнение плоской бегущей волны будет иметь вид


где s — смещение всех точек волновой поверхности в данный момент времени, а ось X совпадает с направлением распространения волны и, соответственно, перпендикулярна волновой поверхности.

луч

Распространение плоской волы

Линия, нормальная к волновой поверхности, называется лучом. Под направлением распространения волн понимают направление именно лучей. Лучи для плоских волн представляют собой параллельные прямые (см. рис. 6.11). Вдоль лучей происходит перенос энергии.
При распространении плоской волны размеры волновых поверхностей по мере удаления от пластины не меняются (или почти не меняются). Поэтому энергия волны не рассеивается в пространстве и амплитуда колебаний частиц среды уменьшается только за счет действия сил трения.
На поверхности воды легко получить линейные волны, которые дают наглядное представление о плоских волнах в пространстве. Для этого нужно стержень, слегка касающийся поверхности воды, заставить колебаться в направлении, перпендикулярном поверхности воды.
Все частицы воды, находящиеся на прямой, параллельной стержню, будут колебаться в одинаковой фазе (рис. 6.12).

Фронт волны

Фронтом волны называется геометрическое место точек, до которых дошли возмущения в данный момент времени. Фронт волны отделяет часть пространства, в которой возникли колебания, от той части пространства, в которой колебаний нет. Волновых поверхностей существует сколь угодно много, фронт волны один. Очевидно, что фронт волны — волновая поверхность, на которой фаза колебаний равна нулю.

Другой пример волны в сплошной среде — это сферическая волна. Она возникает, если поместить в среду пульсирующую сферу (рис. 6.13). В этом случае волновые поверхности являются сферами.
Лучи направлены вдоль продолжений радиусов пульсирующей сферы.
Амплитуда колебаний частиц в сферической волне обязательно убывает по мере удаления от источника. Энергия, излучаемая источником, в этом случае равномерно распределяется по поверхности сферы, радиус которой непрерывно увеличивается по мере распространения волны.

Упражнения

Задача1.уравнение бегущей волны имеет вид

Найдите частоту волны, скорость её распространения и длину.
Задача 2. В воздухе звук проходит 1,1 км на 2,6 с медленнее, чем в воде. Принимая скорость звука в воздухе равной 330 м/с, определите скорость звука в воде.
Задача 3. Два человека бросают разные камни в воду на разное расстояние от берега, но волны приходят к берегу одновременно. Расстояние между двумя ближайшими гребнями волны от первого камня равно 2 см, а расстояние между двумя ближайшими гребнями волны от второго камня — 2,5 см. Найдите соотношение расстояний, на которые были брошены камни, если известно, что обе волны имеют одинаковую частоту.
Задача 4. Бегущая по шнуру волна распространяется со скоростью 30 см/с. Известно, что в момент времени t = 2 с центральная точка шнура в первый раз отклоняется от положения равновесия в положительном направлении на максимальное расстояние. Найдите длину шнура, если длина бегущей волны равна 2 см.

Использованные ссылки

https://studfile.net/preview/2156703/page:2/
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7e/Spherical_Wave.gif
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/44/Plane_Wave_3D_Animation_300x216_255Colors.gif
http://xn--24-6kct3an.xn--p1ai/%D0%A4%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0_11_%D0%BA%D0%BB_%D0%9C%D1%8F%D0%BA%D0%B8%D1%88%D0%B5%D0%B2/index.html