Разбор задач по геометрии 2 части

Подготовка к ОГЭ по математике. Разбор задач по геометрии 2 части.

В прямоугольном треугольнике высота, проведённая к гипотенузе, делит её на отрезки 18 и 32. Найти высоту. Презентация Выступления.

Решение:

Рассмотрим группу задач: Презентация Выступления

Задач 1

Из точки В к окружности проведены касательные BP и BQ (P и Q – точки касания). Найти длину хорды PQ, если длина отрезка PB= 40, а расстояние от центра окружности до хорды PQ равна 18.

Решение

1)PQ = 2PM; ∆ OPB – прямоугольный,

PM – высота.

2)Пусть BM = x, x > 0, тогда

Ответ: 48

Задача 2

В параллелограмме одна из диагоналей перпендикулярна боковой стороне. Высота, проведённая из вершины, делит основание на отрезки длиной 32 и 18. Найдите площадь параллелограмма.

Решение

1)Пусть AD = a=50,

Ответ: 1200

Задача 3

Окружность вписана в ромб. Радиус, проведённый из центра окружности к стороне ромба, делит её на отрезки 18 и 24. Найдите радиус вписанной окружности.

Решение:

Радиус вписанной в ромб окружности есть высота прямоугольного треугольника OAB,

Ответ:

Задача 4

Найдите площадь равнобедренной трапеции, если её основания равны 14 и 50, а диагональ перпендикулярна боковой стороне.

Решение:

Ответ: 768

Задача 5

Большее основание трапеции является диаметром описанной окружности. Определите высоту трапеции, если её диагональ равна 40, а меньшей из отрезков, на которые делит основание высота, равен 18.

Решение:

1)Описать окружность можно только около равнобедренной трапеции.

2)∆ABC – прямоугольный (B – вписанный, опирается на диаметр).

Ответ: 24

Задача 6

Равнобедренная трапеция с основаниями 64 и 36 описана около окружности. Найдите радиус окружности.

Решение:

1)BM = BH (как отрезки касательных, проведённых из одной точки)

2) O – точка пересечения биссектрис B, A, C и D, тогда

BOA=90° и OH = r =

3) т. к. ABCD – описана около окружности, то BC + AD = AB + CD, AB = CD,

2AB = 36 + 64, AB = 50

4) т. к. BM = BH и BM = BC, т. к. трапеция равнобедренная, то BM = 18 = BH

AH = 50-18=32

5) OH= r =

Ответ: 24

Решение задач второй части проверяют эксперты. Решение должно быть верным и грамотно оформленным. Поэтому, своим ученикам я говорю что, при решении геометрических задач, полезно использовать следующие рекомендации:

О чертеже.

Решение любой геометрической задачи начинается с чертежа.

Хороший чертёж это удобный для восприятия наглядный способ записи условий задачи, он может стать помощником в решении задачи, подсказать правильный ход рассуждений. Но в то же время надо отчётливо понимать и понимать, что даже самый аккуратно, выполненный при помощи циркуля и линейки чертёж, сам по себе ничего не доказывает. Всё, что «увидено» на чертеже, должно быть обосновано, стремитесь сделать его соответствующим условиям задачи. Так, если сказано, что некоторый угол вдвое больше другого или отрезки перпендикулярны, отразите это на чертеже. Если на чертеже соблюдены пропорции и соотношения, заданные в условии задачи, например, прямой угол на чертеже выглядит прямым, а произвольный треугольник выглядит не как правильный, то такой чертёж поможет вам увидеть некоторые особенности геометрической фигуры полезные для решения вашей задачи. Необходимо избегать усложнения чертежа, поэтому, полезно выполнять выносные чертежи.

О поиске решения задачи.

Начиная решать задачу, ведите рассуждения по следующей схеме:

Треугольник равнобедренный, следовательно … , (боковые стороны, равны; высота, проведённая к основанию, есть биссектриса и медиана); Две касательные проведены из одной точки, следовательно … , (длина отрезка касательных от этой точки до точек касания равны; прямая, проходящая через центр окружности и эту точку, делит угол между касательными пополам, и т. д.); Вспомните теоремы, в которых связаны данные и искомые элементы задачи, вспомните и посмотрите решение похожих задач.

Ларин 2014

Вариант1

№24

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом С известны катеты: AC=6, BC=8. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Решение

Дано: ∆ABC( С=90°) Вывод: c = b – r + a – r

2r = b + a – c

AC= 6, BC= 8

Вписанная окружность

Найти: r

Решение:

Радиус вписанной окружности

1)∆ABC( С=90°), по теореме Пифагора

Ответ: 2

№25

Докажите, что угол между касательной и хордой, имеющими общую точку на окружности, равна половине градусной меры дуги, заключённой между его сторонами.

Решение:

Дано: (O; r), AB – касательная.

Доказать:

Доказательство:

1) (радиус, проведённый в точке касания перпендикулярен касательной)

2) пусть , тогда (центральный угол равен дуге на которую опирается)

3) т. к. OB = OC (как радиусы одной окружности), то

4) т. к. , то ч. т.д.

№26

Трапеция ABCD с основаниями AD = 6, и BC = 4 и диагональю BD = 7 вписана в окружность. На окружности взята точка K, отличная от точки D так, что BK = 7. Найти длину отрезка AK.

Дано: ABCD – трапеция, описанная окружность, BC = 4, AD = 6, BD = 7, BK = 7. K не совпадает с D.

Найти: AK

Решение:

1) Описать окружность можно только около равнобедренной трапеции, поэтому BA = CD и

2) т. к.

3) т. к.

4) ∆ABK = ∆BCD (по стороне BD = BK и двум прилежащим к ней углам. ) из равенства треугольников следует, что BC = AK = 4.

Ответ: AK = 4.

Ларин 2014

Вариант2

№24

Окружность проходит через вершины A и C треугольника ABC и пересекает его стороны AB и B в точках K и E соответственно. Отрезки AE и CK перпендикулярны. Найдите угол ABC, если угол KCB равен 20є

Дано: ∆ABC, A ϵ окружности, C ϵ окружности,

Найти:

Решение: (при решении используем метод поэтапного решения)

1) т. к.

Ответ:

№25

В параллелограмме ABCD отмечена точка M – середина BC. Отрезок AM пересекается с диагональю BD в точке K. Докажите, что BK: BD = 1: 3.

Дано: ABCD – параллелограмм

BM = MC, AMBD = K

Доказать: BK : BD = 1:3

Доказательство:

(как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей BD).

(по двум углам:

При решении используется метод подобия и поэтапного решения.

3) Из подобия ∆BKM и ∆AKD следует:

Имеем

4) Т. к. BD = BK + KD, то BD = 3BK и

№26

Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке O. Площади треугольников AOD и BOC равны соответственно 25 и 16. Найдите площадь трапеции.

Дано: ABCD – трапеция, ACBD = O

Найти:

3) т. к. BC||AD, и BD – секущая, то (как накрест лежащие)

5) Т. к. ∆ABO и ∆AOD имеют общую высоту, то их площади относятся как стороны, соответствующие этим высотам,

Ответ: площадь трапеции 81.

В прямоугольном треугольнике высота, проведённая к гипотенузе, делит её на отрезки 18 и 32

В параллелограмме одна из диагоналей перпендикулярна боковой стороне

Ответ: 768 Задача 5

Решение: 1)BM =

Ларин 2014 Вариант1 №24 В прямоугольном треугольнике

Дано: (O; r), AB – касательная

ABK = ∆BCD (по стороне BD =

В параллелограмме ABCD отмечена точка

Дано: ABCD – трапеция, AC BD =

Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.

17.04.2020