Разбор задания №18 ЕГЭ по математике профильного уровня

Задание 18. Числа и их свойства — профильный ЕГЭ по Математике

Эта задача оценивается в целых 4 первичных балла, и они пересчитываются в 9-10 тестовых.

Необходимая теория для решения задач на числа и их свойства - это всего две страницы. Делимость чисел, наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное, основная теорема арифметики, признаки делимости на 3, на 4, на 5, на 8, 9, 10 и 11. Ничего сложного.

Также темы: Арифметическая прогрессия и Геометрическая прогрессия.

Многие считают, что если в этой задаче в пункте (а) ответ «да», то во втором обязательно должно быть «нет». Авторитетно заявляем: нет, необязательно! Может быть любое сочетание из «да» и «нет». И может быть «да» в обоих пунктах, и «нет» в обоих.

Если вопрос в этой задаче (неважно, в каком пункте) формулируется как «Может ли быть…» - и дальше некоторое утверждение, и ваш ответ: «Да», - то одного вашего «Да» недостаточно. Нужен пример. И если вы его подберете, вы не обязаны объяснять, как нашли его.

Если ответ на этот вопрос: «Нет», то вам нужно это доказать. «Нет, потому что…» - и приводите свое доказательство.

В общем, проще показать это на примерах:

За прохождение каждого уровня игры на планшете можно получить от одной до трёх звёзд. При этом заряд аккумулятора планшета уменьшается на 3 пункта при получении трёх звёзд, на 6 пунктов при получении двух звёзд и на 9 пунктов при получении одной звезды. Витя прошёл несколько уровней игры подряд.

а) Мог ли заряд аккумулятора уменьшиться ровно на 32 пункта?

б) Сколько уровней игры было пройдено, если заряд аккумулятора уменьшился на 33 пункта и суммарно было получено 17 звёзд?

в) За пройденный уровень начисляется 9000 очков при получении трёх звёзд, 5000 — при получении двух звёзд и 2000 — при получении одной звезды. Какое наибольшее количество очков мог получить Витя, если заряд аккумулятора уменьшился на 33 пункта и суммарно было получено 17 звёзд?

Пункт а: заметим, что заряд аккумулятора при прохождении уровня уменьшается на 3, 6 или 9 пунктов, и все эти числа делится на 3. Поскольку 32 не делится на 3, заряд не мог уменьшиться на 32 пункта.

Пункт б: да, на 33 пункта заряд мог уменьшиться.

Пусть на х уровнях получено по 3 звезды, на у уровней — по 2 звезды и на z уровнях — по 1 звезде.

Тогда:

,

то есть .

Сложив уравнения  и , получим, что  (пройдено 7 уровней).

Системе удовлетворяют  При этом заряд аккумулятора уменьшился на 33 пункта.

Пункт в: поскольку  и , получаем, что .

Возможны варианты:

, тогда , получено 47 тысяч очков.

, тогда , получено 48 тысяч очков.

, тогда , получено 49 тысяч очков – это максимально возможное количество.

Скачано с www.znanio.ru