«Разложение многочлена пятой степени на квадратичные множители с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа»

Разложение многочлена пятой степени на квадратичные множители с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа 1. Определение интерполяционного многочлена Лагранжа пятой степени. Чтобы разложить приведенный многочлен пятой степени на множители необходимо выполнение равенства: f(x)=φ(x)·g(x). При этом степень многочленов φ(x) и g(x) должна быть не выше пятой. Для определения целого многочлена не выше пятой степени с заданной таблицей значений существует формула интерполяционного многочлена Лагранжа (ИМЛ): 6 Ak k=1 F'(xk)(x−xk) , где F(x)=(x-x1)·(x-x2)·(x-x3)·(x-x4)·(x- φ(x) = F(x)· ∑ x5)(x-x6), Fʹ(xk) значения производной функции F(x) в точках xk. Где необходимо задать на плоскости координаты шести точек. Для определения множителей φ(x) и g(x) выберем произвольно шесть целых значений x= x1; x2; x3; x4; x5; x6 и станем подставлять их в равенство f(x)= φ(x)·g(x). Получим: f(x1)= φ(x1)·g(x1) ; f(x2)= φ(x2)·g(x2); f(x3)= φ(x3)·g(x3); f(x4)= φ(x4)·g(x4) ; f(x5)=φ(x5)·g(x5); f(x6)= φ(x6)· g(x6). Эти равенства показывают, что каждое значение φ(xk) искомого множителя φ(x) является делителем числа f(xk). Для построения множителя φ(x) воспользуемся ИМЛ и в качестве f(xk) будем подставлять произвольные целые числа Аk, а значения xk выберем в виде последовательных целых чисел близких к нулю, т.е. x1= -3; x2= -2; x3= -1; x4=0; x5=1; x6=2. В развернутом виде ИМЛ φ(x) выглядит так: = F(x) φ(x) A4 + A2 A3 + A1 A5 F'(1)(x−1) + +A6 F'(−3)(x+3) F'(−2)(x+2) + + F'(0)x F'(−1)(x+1) F'(2)(x−2)) , ·( где F(x)=(x+3)·(x+2)·(x+1)·x·(x-1)·(x-2). (2). Для построения множителя φ(x) с помощью ИМЛ необходимо задать числа А1; А2; А3; А4; А5; А6. Определение: числа А1; А2; А3; А4; А5; А6 взятые из формулы ИМЛ записанные в ряд называются Лагранжевым рядом. 2. Разложение многочлена на линейные множители с помощью ИМЛ. Теорема 1 (Обобщение схемы Горнера) Многочлен φ(x) является линейным, если числа А1; А2; А3; А4; А5; А6 образуют возрастающую последовательность целых чисел. Доказательство: приведем многочлен (2) к наименьшему общему знаменателю, т.е. к 120· F(x), получившийся числитель запишем в виде многочлена пятой степени у которого коэффициенты содержат числа А1; А2; А3; А4; А5; А6. Для того что бы многочлен (2) был линейным необходимо приравнять к нулю коэффициенты при «х» пятой, четвертой, третьей и второй степени, а коэффициент при «х» первой степени приравнять к 120. В результате получим следующую систему из пяти уравнений с шестью переменными: -А1+5·А2-10·А3+10·А4-5·А5+А6=0 5·А2-20·А3+30·А4-20·А5+5·А6=0 5·А1-35·А2+70·А3-50·А4+5·А5+5·А6=0 -5·А2+80·А3-150·А4+80·А4-5·А6=0 -4·А1+30·А2-120·А3+40·А4+60·А5-6·А6=120. Если зафиксировать число А6 то все остальные выразятся следующими формулами: А1=А6-5; А2=А6-4; А3=А6- 3; А4=А6-2; А5=А6-1. Мы получили возрастающую последовательность целых чисел. Из теоремы вытекает что линейный множитель имеет следующий вид: φ(x)=x+А4 (3). Определение: последовательность чисел заданных данными соотношениями А1=А6-5; А2=А6-4; А3=А6-3; А4=А6-2; А5=А6-1; А6 называют линейным Лагранжевым рядом. Определение: линейный Лагранжевый ряд называется «кандидатом» если все его числа Аk являются делителями соответствующих значений функции f(xk), где k=1;2;3;4;5;6. Для всех кандидатов строим линейный множитель φ(x) по формуле (3) и проверяем его на делимость с f(x). Из теоремы вытекает что линейный множитель имеет следующий вид φ(x)=x+А4 , где А4 является делителем свободного члена т.е. Аналогично приведенного многочлена по схеме Горнера. Пример: f(x)= x5-8x4+2x3-16x2+x-8. По схеме Горнера найдем значение многочлена при х= -3; -2; -1; 0;1;2. Для этого составим таблицу 1: -8 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -3 -2 -1 0 1 2 Последний столбец таблицы 1 перепишем первой строкой таблицы 2. Выберем в этой строке число, имеющее наименьшее число делителей. В нашем примере это число -8. Запишем в столбик все его делители. Каждому делителю числа -8 запишем в строчку линейный Лагранжевый ряд. Из получившихся Лагранжевых рядов выберем «кандидатов». Построим с помощью «кандидатов» многочлен φ(x) по f(0). линейный множитель -8 -1100 -250 -36 -8 -28 -150 определяется 1 1 1 1 1 1 1 2 35 22 11 2 -5 -10 -16 -121 -60 -27 -16 -21 -36 1 364 121 28 1 -20 -71 -36 А3 0 -2 1 -3 3 -5 7 -9 -8 А4 1 -1 2 -2 4 -4 8 -8 -28 А5 2 0 3 -1 5 -3 9 -7 -150 А6 3 1 4 0 6 -2 10 -6 формуле (3) и проверим их на делимость с данным многочленом f(x)= x5-8x4+2x3-16x2+x-8. Таблица 2: -250 -1100 А2 А1 -2 -1 -3 -4 0 -1 -5 -4 2 1 -6 -7 5 6 -11 «кандид -10 ат» В приведенной выше таблице 2 закрашены серым цветом прямоугольники, в которых находятся числа, не являющиеся делителями соответствующих значений функции f(x). В данной таблице находится строка или Лагранжевый ряд все числа, которого являются делителями соответствующих значений функции f(x). Этот ряд является единственным кандидатом. В этом ряде А4= -8, подставляя в формулу φ(x)=x- А4, находим φ(x)=x- 8. Действительный кандидат выделим черным цветом. 3. Разложение многочлена множители с помощью ИМЛ. Проверка:x5-8x4+2x3-16x2+x-8=(x-8)·(x4+2x2+1). на квадратичные Теорема 2. Множитель φ(x) является квадратичным если числа А1; А2; А3; А4; А5; А6 связаны между собой следующими соотношениями: А1=5·(А5+4)-4·А6 А2=4·(А5+3)-3·А6 А3=3·(А5+2)-2·А6 А4=2·(А5+1)-1·А6 Доказательство: Доказательство: приведем многочлен (1) к наименьшему общему знаменателю, т.е. к 120· F(x),получившийся числитель запишем в виде многочлена пятой степени у которого коэффициенты содержат числа А1; А2; А3; А4; А5; А6 . Для того что бы многочлен (1) был квадратичным необходимо приравнять к нулю коэффициенты при «х» пятой, четвертой и третьей степени, а коэффициент при «х» второй степени приравнять к 120. В результате получим следующую систему из четырех уравнений с шестью переменными: -А1+5·А2-10·А3+10·А4-5·А5+А6=0 5·А2-20·А3+30·А4-20·А5+5·А6=0 5·А1-35·А2+70·А3-50·А4+5·А5+5·А6=0 -5·А2+80·А3-150·А4+80·А5-5·А6=120. Если зафиксировать два числа А5 и А6 то все остальные выразятся следующими формулами: А1=5·(А5+4)-4·А6; А2=4·(А5+3)-3·А6; А3=3·(А5+2)-2·А6; А4=2·(А5+1)-1·А6. Из теоремы вытекает, что квадратичный множитель выразится формулой φ(x)=x2+( А6- А5-3) ·x+ А4. (4) Определение: Последовательность целых чисел заданных следующими соотношениями ; А3=3·(А5+2)-2·А6 ; А4=2·(А5+1)-1·А6 называется квадратичным Лагранжевым рядом Определение: квадратичный Лагранжевый ряд называется «кандидатом» если все его числа Аk являются делителями соответствующих значений функции f(xk), k=1;2;3;4;5;6. Для всех кандидатов строим квадратичный множитель φ(x) по формуле (4) и проверяем его на делимость с f(x). А1=5·(А5+4)-4·А6 ; А2=4·(А5+3)-3·А6 А3 А4+ d+4 А4 А5+ d+2 А5 А5 4. Упрощенный вид квадратичных Лагранжевых рядов. Формулы квадратичного Лагранжевого ряда можно упростить. Для этого буквой «d» обозначим разность А5- А6, тогда числа квадратичного Лагранжевого ряда будут выглядеть более простыми формулами и удобными для их построения: А1 А2 А2+ d+8 А3+ d+6 Пример: А5=7; А6=10 составить квадратичный Лагранжевый ряд. Найдем d=7-10=-3, тогда по формулам таблицы найдем числа данного ряда: А1 А2+ d+8 10+(- 3)+8 15 Ответ: 15; 10; 7; 6; 7; 10. Рассмотрим пример разложения приведенного многочлена пятой степени на множители: f(x)=x5-5x4+13x3-22x2+27x- 20. А5 А2 А3+ d+6 А5 7+(-3)+6 6+(-3)+4 7+(-3)+2 7 7 10 А4 А5+ d+2 А3 А4+ d+4 7 6 А6 А6 А6 А6 10 10 1) По схеме Горнера найдем значения функции при х=-3; -2;-1; 0;1;2. Для этого составим таблицу: 1 1 1 1 1 1 1 -5 -8 -7 -6 -5 -4 -3 13 37 27 19 13 9 7 -22 -133 -76 -41 -22 -13 -8 -3 -2 -1 0 1 2 2) Определим, имеет ли данный многочлен, линейные множители. Для этого в строчку таблицы №3 запишем получившиеся значения функции. Из них выберем число, имеющее наименьшее число делителей. В нашем примере это число «2». Запишем в столбик все его целые делители. Для каждого делителя числа «2» в -20 -1298 -378 -88 -20 -6 2 27 426 179 68 27 14 11 строчку запишем линейные Лагранжевые ряды. Из них выберем кандидатов и проверим на делимость с данным многочленом f(x). Таблица №3: -1298 А1 -378 А2 -88 А3 -20 А4 -3 0 -4 -5 -6 А5 0 -2 1 -3 2 А6 1 -1 2 -2 В данной таблице №3 серым цветом отмечены клетки, в которых находятся числа, не являющиеся делителями соответствующих значений функции f(x). Пустые клетки заполнять нет необходимости, так как построенный квадратичный Лагранжевый ряд с числом в серой клетке заведомо не является «кандидатом». Из данной №3 таблицы видно, что «кандидатов» нет. Это значит что данный многочлен f(x)=x5-5x4+13x3- 22x2+27x-20 на линейные множители не раскладывается. 3) Определим, имеет ли данный многочлен, квадратичные множители. Для этого в строчку таблицы №4 запишем получившиеся значения функции. Из них выберем два числа, имеющие наименьшее число делителей. В нашем примере это числа «2» и «-6» запишем их делители в столбики. Для каждой пары делителей чисел «2» и «-6» в строчку запишем квадратичные Лагранжевые ряды. Из них выберем кандидатов и проверим их на делимость с данным многочленом f(x). Таблица №4: -1298 А1 А2+ d+8 -378 А2 А3+ d+6 5 -88 А3 А4+ d+4 1 10 -5 -20 А4 А5+ d+2 3 -1 5 -3 7 -5 -6 А5 А5 1 -1 2 -2 3 -3 2 А6 А6 1 1 1 1 1 1 d d= А5- А6 d=0 d=-2 d=1 d=-3 d=2 d=-4 19 7 2 14 -2 14 7 22 2 13 6 11 5 2 5 -1 8 -4 7 19 1 13 -11 5 1 7 -1 9 -3 15 -9 2 -2 4 -4 6 -6 12 -12 6 2 8 0 10 -2 16 -8 6 -6 1 -1 2 -2 3 -3 6 -6 1 -1 2 -2 3 -3 6 -6 1 -1 2 -2 3 -3 6 -6 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 2 2 2 2 2 2 2 2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 d=5 d=-7 d=2 d=0 d=3 d=-1 d=4 d=-2 d=7 d=-5 d=-1 d=-3 d=0 d=-4 d=1 d=-5 d=4 d=-8 d=3 d=1 d=4 d=0 d=5 d=-1 d= 8 d=-4 «канд .» «канд .» В данной таблице №4 мы видим двух «кандидатов». С их помощью по формуле φ(x)=x2+( А6- А5-3) ·x+ А4 найдем квадратные множители: φ1(x)=x2-3х+ 4; φ2(x)=x2+x-4. Проверка показывает, что один из двух множителей является истинным это φ1(x)=x2-3х+ 4, а другой множитель оказался посторонним. Ответ: x5-5x4+13x3-22x2+27x-20=(x2-3х+ 4)·(x3-2x2+3x-5). В данной таблице №4 получили 32 квадратичных Лагранжевых ряда. Это число определяется количеством различных пар делителей, как положительных, так и отрицательных, которые расположены двумя столбиками по соседству. двух значений функции, 5. Уменьшение числа квадратичных Лагранжевых рядов. По определению Если значения функции число делителей, которых минимально, расположены не по соседству, то можно воспользоваться следующей теоремой: Теорема 3 Пусть известны А4 и А6 тогда А5=(А4+ А6 ·1):2-1 Пусть известны А3 и А6 тогда А5=(А3+ А6 ·2):3-2 Пусть известны А2 и А6 тогда А5=(А2+ А6 ·3):4-3 Пусть известны А1 и А6 тогда А5=(А1+ А6 ·4):5-4. Доказательство: докажем последнее равенство А5=(А1+А6·4):5-4. квадратичных Лагранжевых чисел, А1=5·(А5+4)-4·А6 подставим это число в исходное равенство получим А5=(5·(А5+4)-4·А6+А6·4):5-4=(5 ·А5+20):5-4=А5+4-4=А5 что и требовалось доказать. Другие равенства доказываются аналогично. Данная теорема позволяет уменьшить число квадратичных Лагранжевых рядов. Рассмотрим уже решенный нами пример f(x)=x5-5x4+13x3-22x2+27x-20 и решим его на случай когда мы рассматриваем квадратичные Лагранжевые ряды построенных с помощью делителей А4 и А6. Таблица №5: -1298 -378 А2 А1 А2+ А3+ d+6 d+8 d d = А5- А6 -88 А3 А4+ d+4 -20 А4 А5+ d+2 1 -1 5 -5 1 -1 -6 А5 (А4+ А6 ·1):2-1 0 -1 2 -3 -1 -2 2 А 6 А 6 1 1 d =-2 1 d =1 1 d =-4 - d =0 1 d =-1 - 1 5 7 1 10 -5 5 2 14 19 11 7 22 2 2 14 -2 13 6 5 -1 8 -4 7 1 19 5 -5 2 -2 4 -4 10 -10 20 -20 2 -2 4 -4 10 -10 20 -20 1 -4 1 -1 2 -2 5 -5 10 -10 -1 -3 0 -4 3 -7 8 -12 «канд .» «канд .» d =2 - 1 - 1 2 d =-1 2 d =-3 2 d =0 2 d =-4 2 2 2 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 d =1 d =-1 d =5 В данной таблице №5 мы получили 24 квадратичных Лагранжевых ряда. Так как в формуле сумму А4 и А6 необходимо делить на 2, поэтому делители А4 и А6 должны быть либо оба четными, либо оба нечетными. За счет этого уменьшилось число квадратичных Лагранжевых рядов. Если использовать данную теорему 3 для записи квадратичных Лагранжевых рядов, построенных с помощью А1 и А6, то число рядов уменьшится до 12. Таблица №6: -378 -1298 А1 А2 2 А6 d -88 А3 -20 А4 -6 А5 «канд .» A3+d+ 6 5 d=-4 d=0 «канд .» «канд .» A5+d+ 2 -5 -1 A4+d+ 4 -5 1 (4A1+A6): 5-4 -3 -1 -15 -5 -7 7 -2 2 -26 -6 -10 12 A6 d=A5- A6 d=-4 1 1 d=-2 1 -1 -1 -1 2 2 2 -2 d=-4 -2 -2 A2+d+ 8 1 11 -59 -1 -11 -59 2 22 -118 -2 -22 118 В таблице №6 число квадратичных Лагранжевых рядов уменьшилось до 12, так как А5 находится по формуле (4A1+A6):5-4 и А5 как целое число должно быть меньше или равно -6. Во всех таблицах черная выделенная строка является «действительным кандидатом». Остальные кандидаты являются «мнимыми». Для многочлена шестой степени можно доказать, что квадратичный множитель можно найти по формуле: φ(x)=x2+ ( А7 - А6 - 5) ·x+ А4, где числа А1; А2; А3; А4; А5; А6; А7 образуют квадратичный Лагранжевый ряд. 6. Выводы: 1. Данный метод разложения, использующий ИМЛ -2 14 -4 8 -4 4 -8 является обобщением «схемы Горнера». 2. Данным методом можно определить квадратичные множители для многочленов выше пятой степени. 3. Данным методом можно исследовать свойства Лагранжевых чисел для определения кубических многочленов в разложении многочленов пятой и выше степени. 7. Литература: 1. А. Н. Чеботарев «Основы теории Галуа», ОМТИ ГТТИ, 1934г., 1ч. 2. «Числа и многочлены», составитель А.А. Егоров – М.: бюро Квантум, 2000/ приложение к журналу «Квант» №6, 2000г.