Разработка

Краткое описание (Урок "Условная вероятность. Умножение вероятностей" предназначен для обучения 10 класса по основам условной вероятности и применения умножения вероятностей в решении задач. Ученики узнают, что такое условная вероятность, как ее вычислять и как она связана с независимыми и зависимыми событиями.  https://vpr-klass.com/uchebniki/matematika/10 11_klass_alimov/10-11_klass_alimov_uchebnik_chitat'_onlajn.html

Урок предлагает учащимся возможность развить навыки анализа, логического мышления и применения математических концепций в реальных ситуациях.

Литература1. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А., Высоцкий И.Р., Ященко И.В. Теория вероятностей

и статистика. — М.: МЦНМО, 2011. 2. Высоцкий И.Р. Дидактические материалы по теории вероятностей. 8–9 классы.  — М.: МЦНМО, 2018. 3. Высоцкий И.Р., Макаров А.А., Тюрин Ю.Н.,

Ященко И.В. Математическая вертикаль. Теория вероятностей и статистика. 7–9 классы.  — М.: Просвещение, 2020.  4.  Высоцкий И.Р., Ященко И.В. Универсальный многоуровневый  сборник задач. 7–9 классы. — М.: Просвещение, 2020. 5.  Высоцкий И.Р., Ященко И.В. Теория вероятностей и статистика. 7–9 классы.  — М.: Просвещение, 2021)

БЛОК 1. Вхождение в тему урока и создание условий для осознанного восприятия нового материала

Этап 1.1. Актуализация опорных знаний

1. Что такое условная вероятность и как она отличается от обычной вероятности?

2. Как вычисляется условная вероятность? Предоставьте формулу.

3. Что такое независимые события? Какие вероятности у них используются при умножении?

4. Что такое зависимые события? Какие вероятности у них используются при умножении?

5. Какие методы и инструменты можно использовать для визуализации и решения задач с условной вероятностью и умножением вероятностей?

6. Какие примеры реальных ситуаций можно привести, где использование условной вероятности и умножения вероятностей было бы полезным?

7. Какие практические навыки вы развили в результате изучения условной вероятности и умножения вероятностей?

Этап 1.2. Целеполагание

Цели:

–  познакомиться с деревом случайного опыта  — удобным инструментом для наглядного

представления случайного опыта;

– научиться строить дерево случайного опыта;

– научиться решать задачи на вычисление вероятностей при помощи дерева случайного опыта.

Дерево случайного опыта или дерево вероятностей — удобный инструмент решения задач,

который позволяет рассматривать составной эксперимент как бы «по частям», мысленно расположить случайные события во времени или разбить на этапы. Объясним, как строить дерево

эксперимента, на примере.

БЛОК 2. Освоение нового материала

Этап 2.1. Осуществление учебных действий по освоению нового материала

Пример 1. Велосипедист едет по парковой дорожке (рис. 11) и планирует выехать из парка через один из пяти выходов (А, В, С, D или Е).

Велосипедист едет только вперед и на каждой развилке случайным образом выбирает одну

из дорожек, по которой еще не ехал. Какова вероятность того, что велосипедист покинет парк:

а) через выход А;

б) через выход Е?

Желательный результат обсуждения. Начальное состояние, когда велосипедист не проехал ни один из перекрестков, изобразим точкой S (рис. 12).

Начальную точку, конечную и точки ветвления будем называть вершинами дерева. На первом перекрестке велосипедист может с равными шансами поехать к одному из двух перекрестков  — назовем их 2а и 2б. Проведем стрелки от точки S вниз, вправо и влево. Стрелки будем называть ребрами дерева. Около ребер подпишем вероятности событий: в нашем случае вероятности равны

1/2, так как, по условию, велосипедист выбирает дальнейший путь случайным образом.

Предположим, что велосипедист поехал к перекрестку 2а. После этого может наступить одно из трех событий: он направится к выходу А, к выходу В или к выходу С. Изобразим эти элементарные исходы точками А, В и С и проведем к ним ребра. Вероятности тоже

будут одинаковы и равны 1/3. Аналогично изобразим варианты, когда велосипедист поехал к перекрестку 2б. Обратите внимание учащихся на то, что сумма вероятностей около всех ребер, выходящих из одной вершины, равна единице. При построении дерева эксперимента важно за этим следить, особенно поначалу. Элементарные события эксперимента в дереве  изображаются конечными вершинами дерева. К каждой конечной вершине ведет единственная

цепочка от точки S. Поэтому можно считать, что элементарные события изображаются не только конечными вершинами, но и ведущими к ним цепочками. Например, в нашей задаче пять элементарных исходов и, соответственно, пять цепочек. Событию «велосипедист выехал через выход А» соответствует цепочка S—2a—A. Вероятности, которые мы подписывали на ребрах, — условные. Например, условная вероятность того, что велосипедист покинет парк через выход А, при условии, что он был на перекрестке 2а, равна 1/3.Предложите учащимся найти вероятности

всех возможных элементарных событий. Для этого, пользуясь правилом умножения вероятностей, нужно найти произведения условных вероятностей вдоль каждой цепочки, ведущей от S к конечной вершине. Найденные произведения нужно сложить. Подпишите полученные вероятности на рисунке рядом с элементарными событиями (рис 13)

Сумма всех вероятностей должна равняться

единице (как сумма вероятностей элементарных

событий). Более сложные события (не элементарные) изображаются на дереве промежуточными вершинами или какой-либо фигурой, объединяющей элементарные исходы.

Пример 2. Пусть известно, что выходы D

и С ведут к пруду. Найдите вероятность того, что

велосипедист выедет из парка к пруду.

Желательный результат обсуждения.

На рисунке обведем элементарные события, благоприятствующие событию «велосипедист выедет к пруду» (рис. 14)

Можно сформулировать общее правило нахождения вероятностей событий с помощью дерева. Оно получается из правила сложения вероятностей элементарных событий.

Правило сложения. Чтобы найти вероятность события с помощью дерева, нужно сложить вероятности всех цепочек, ведущих к этому событию от начальной вершины.

Пример 3. На рисунке 15 изображено дерево

опыта. Найдите:

а) P(K); б) P(b|K);

в) P(A|K); г) P(b);

д) P(A)

Желательный результат обсуждения. Важно, чтобы учащиеся понимали, что вероятности

из пунктов «а»–«в» уже подписаны на дереве:P(K) = 0,3 — вероятность события K, то есть

цепочки SK;

P(b|K) = 0,5 — вероятность ребра Kb;

P(A|K) = 0,3 — вероятность ребра Kc.

г) Чтобы найти вероятность элементарного события b, нужно перемножить вероятности вдоль

цепочки SKb:

P(b) = P(K)•P(b|K) =

= 0,3•0,5 = 0,15.

д)  Событие А состоит из элементарных событий с и d.

P(d) = 0,7, P(c) = 0,3•0,3 = 0,09,

поэтому

P(A) = P(c) + P(d) = 0,79.

Дерево вероятностей является удобным и универсальным инструментом решения вероятностных задач.

БЛОК 3. Применение изученного материала

Этап 3.1. Применение знаний, в том числе в новых ситуациях

1. В каком из описанных случаев порядок важен,  а в каком -  нет?

В классе 15 учеников, из них нужно выбрать троих. Сколькими способами это можно сделать, если:

а) первый ученик должен решать задачу, второй сходить за мелом, третий- дежурить по столовой;

б) им нужно спеть хором

     2. Сколькими способами можно составить расписание из 6 предметов,

         Если вторым уроком должна быть математика ?

     РЕШЕНИЕ:

задача №1:

1. а) число способов равно = 15  х 14 х 13 = 2730

б)  =  =  = 455

задача №2

2. Нужно найти перестановку из пяти элементов, т.к. одно место из шести занято, т.е.  = 5! = 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 120

БЛОК 4. Проверка приобретенных знаний, умений и навыков

Этап 4.1. Диагностика/самодиагностика

Ученику предложили написать на доске любое двузначное число. Найти вероятность того, что оно не кратно 20.

Решение

Найдем количество двузначных чисел кратных 20, это – 20,40,60,80, значит Р () =  ,    Р(А)= 1-  =  =   , где  противоположное событие по отношению к А.

БЛОК 5. Подведение итогов, домашнее задание

Этап 5.1. Рефлексия

Цели:

 - зафиксировать новое содержание урока;

-организовать рефлексию и самооценку учениками собственной учебной деятельности.

Этап 5.2.Домашнее задание

Задача

В болото ведут три маршрута. Напишем на ребрах вдоль маршрутов соответствующие вероятности.

Надо найти вероятность события, которому благоприятствуют несколько исходов. (ИЛИ – ИЛИ) - вероятности соответствующих конечных вершин складываются.

 Ответ.