Поделиться
Дисперсия и стандартное отклонение.docx
План урока
Учитель: Дата:
Класс 11
Тема: Дисперсия и стандартное отклонение
СВОЙСТВА ДИСПЕРСИИ СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧНОЕ
ВЕЛИЧИНА ИЗМЕРЕНИЕ СВОЙСТВО
Блочно-модульное описание урока
БЛОК1. Вхождение в тему урока и создание условий для осознанного восприятия нового материала.
1.Мотивирование на учебную деятельность
При реализации данного модуля предложите учащимся ситуацию, которая вводит в содержание предстоящей темы. Организуйте решение задачи, позволяющее учащимся выйти на вопрос, ответить на который можно, изучив данную тему.
Распределение значенийКейсы по работе с информацией
Два класса написали написали контрольную работу по информатике и получили следующие оценки:
|
Оценка |
Класс А |
Класс Б |
|
2 |
3 ученика |
7 учеников |
|
3 |
10 учеников |
5 учеников |
|
4 |
7 учеников |
3 ученика |
|
5 |
6 учеников |
8 учеников |
|
Выполни задания |
||
|
||
Критерии оценивания
2. Актуализация опорных знаний
Для изучения предложенной темы повторите с учащимися понятия предыдущей темы «Математическое ожидание случайной величины».
Диагностическая работа
3. Целеполагание
БЛОК 2. Освоение нового материала
1.Осуществление учебных действий по освоению нового материала
При изучении учащимися основных понятий темы проиллюстрируйте их практическими примерами.
Мои новые знания
Интерактивная статья (параграф учебника)
Обычно найти математическое ожидание случайной величины недостаточно, чтобы понять, какие ее значения следует считать вполне вероятными, а какие — маловероятными.
Важно понять, каким может быть отклонение значений от среднего.
Это значит, что поведение случайной величины не определяется ее математическим ожиданием. Одно и то же математическое ожидание может быть у двух совсем разных случайных величин.
Представим двух стрелков, которые стреляют по мишени. Один стреляет метко и попадает близко к центру, а другой просто развлекается и даже не целится. Но его средний результат будет точно таким же, как и у первого стрелка! Эту ситуацию условно иллюстрируют следующие случайные величины:
|
|
-2 |
2 |
|
0,5 |
0,5 |
|
|
|
-10 |
10 |
|
0,5 |
0,5 |
Вычислим математическое ожидание первого стрелка: M(X) = –2 ⋅ 0,5 + 2 ⋅ 0,5 = 0.
Вычислим математическое ожидание второго стрелка: M(Y) = –10 ⋅ 0,5 + 10 ⋅ 0,5 = 0.
Таким образом, возникает потребность количественно оценить, насколько далеко рассеяны пули (значения случайной величины) относительно центра мишени (математического ожидания).
Нужна числовая характеристика для рассеивания или разброса ее значений.
Для того чтобы мера разброса чисел не зависела от их количества в наборе, в качестве такой меры берут среднее арифметическое квадратов отклонений. Эту величину называют дисперсией.
|
Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: D(X) =M(X−M(X))2. |
Дисперсия показывает, насколько в среднем значения сосредоточены, сгруппированы около M(X): если дисперсия маленькая — значения сравнительно близки друг к другу, если большая — далеки друг от друга.
Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом ее математического ожидания:
Свойства дисперсии |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(C) = 0. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: D(CX) =C2D(X). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D(X+Y) =D(X) +D(Y). Это свойство справедливо для произвольного числа независимых случайных величин. Также D(C+X) =D(X). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(X−Y) =D(X) +D(Y). Стандартное отклонениеДля оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится среднее квадратическое отклонение.
На самом базовом уровне стандартное отклонение говорит нам, насколько разбросаны значения данных в наборе данных. Стандартное отклонение говорит нам о среднем расстоянии, на котором значение находится от среднего, а дисперсияговорит нам о квадрате этого значения. ПримерРазберем конкретный пример применения дисперсии и стандартного отклонения (по определению). Некоторая игра имеет следующий закон распределения выигрыша:
Вычислим математическое ожидание:M(X) = 3 ⋅ 0,48 + (–3) ⋅ 0,3 + (–10) ⋅ 0,22 = –1,66. Выясним, насколько далеко «разбросаны» выигрыши/проигрыши относительно среднего значения.
Вычислим дисперсию: D(X) = 10,4235 + 2,039 + 15,302 = 27,7645. На фоне выигрышей X1 = 3, X2 = –3, X3 = –10 результат получился великоватым, так как мы возводили в квадрат, и, чтобы вернуться в размерность нашей игры, нужно извлечь квадратный корень, т. е. вычислим среднее квадратичное (стандартное отклонение): 𝜎(𝑋)=𝐷(𝑋). (X) ≈ 5,269. Получается, если мы отклонимся от математического ожидания M(X) = –1,66 влево и вправо на среднее квадратическое отклонение: (M(X) – 𝜎(X); M(X) + 𝜎(X)); (–1,66 – 5,269; –1,66 + 5,269); (–6,929; 3,609), — то на этом интервале будут «сконцентрированы» наиболее вероятные значения случайной величины. Что мы, собственно, и наблюдаем: X1 = 3(p1 = 0,48),X2 = –3(p2 = 0,3).
Изучи теоретический материал.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.Проверка первичного закрепления
Повторение изученного материала представляет собой воспроизводство на репродуктивном уровне. При этом уместно повторить с учащимися наиболее значимые вопросы: определения, ведущие понятия, факты.
Основные понятия, определения
Диагностическая работа
БЛОК 3. Применение изученного материала
1.Применение знаний, в том числе в новых ситуациях
Чем большее количество раз повторяется изученный материал, чем больше вариантов его повторения и закрепления, тем лучше. На каждый урок должна быть разработана система заданий, вопросов, с помощью которых отрабатываются полученные знания.
Реализация новых понятий на практике
Кейсы по работе с информацией
Воспользуйся формулами вычисления дисперсии, стандартного отклонения, свойствами математического ожидания и дисперсии.
|
Дана случайная величина, X и Y — независимые случайные величины, известны D(X), D(Y). |
||
|
Z= 5X– 2Y+ 3; D(X) = 4;D(Y) = 11. D(Z) — ? 𝜎 — ? |
||
|
D(X) = 0,4. D(–2X+ 3) — ? |
||
|
D(X) = 7; D(Y) = 4. D(2X+ 3Y) — ? 𝜎 — ? |
||
|
M(X) = 8; M(Y) = 7; D(X) = 9; D(Y) = 6; Z = 9X – 8Y + 7 M(Z) — ? D(Z) — ? |
||
БЛОК 4. Проверка приобретенных знаний, умений и навыков.
1.Диагностика или самодиагностика.Рекомендации для учителя
Проведите с учащимися рефлексию, она даст возможность ученикам осмыслить способы и приемы работы с учебным материалом, поиска наиболее рациональных.
Оцени свою деятельностьПеречень тем. Сочинение (эссе)
|
Ответь на вопросы |
||
|
Материалы на данной страницы взяты из открытых источников либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
