Разработка урока по теме "Арифметическая прогрессия " 9 класс, математика

Арифметическая прогрессия. 9­й класс Цели урока:  Образовательная: обобщить и систематизировать знания учащихся по  теме, выявить уровень овладения учащимися комплексом знаний и  умений по теме, показать применение полученных знаний в  практической деятельности и нестандартных ситуациях;  Развивающая: развитие кругозора, мышления, внимания, культуры  математической речи, привитие интереса к изучению математики;  Воспитательная: воспитание дисциплинированности, аккуратности,  усидчивости, толерантного отношения друг к другу. Оборудование: доска, мел, проектор, интерактивная доска. I. Организационный момент. Ход урока Проверка готовности учащихся к работе. Сообщение темы урока, постановка  целей и задач урока. II. Устная работа (с применением интерактивной доски). Мы изучили тему “Арифметическая прогрессия”, познакомились с новыми  понятиями, терминами, вывели формулы для вычисления n­го члена и суммы  n первых членов арифметической прогрессии, научились с их помощью  решать задачи. Основная цель сегодняшнего урока – обобщить и систематизировать  полученные знания, научиться применять их при решении нестандартных  задач. Но, прежде чем приступить к их решению, давайте разомнемся и решим несколько устных задач (решаются с помощью интерактивной доски) 1. Вставьте пропущенное число:  18, 21, 24, 27, … ;  0, 2, … , 6, … ;  ­10, ­5, 0, … . Д2. аны четыре арифметические прогрессии. Выберите среди них ту, среди  членов которой есть число ­6.  an= ­2n + 10;  an= ­4n + 1;  an= 3n ;  an= ­4n + 1. 3. Из данных чисел составьте арифметическую прогрессию:  ­7, ­4, ­1, 2, 5;  35, 28, 21, 14, 7. 4. Найдите сумму первых пяти членов арифметической прогрессии (an), если  a1=2, d=3. III. Решение задач. Говоря об арифметической прогрессии мы неоднократно повторяем слово  “прогрессия”. А знаете ли вы, откуда произошло это слово? Первые представления об арифметической прогрессии были еще у древних  народов. Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны  китайским и индийским математикам. Математические прогрессии  встречаются у вавилонян, в египетских папирусах, древнекитайском трактате  “Математика в 9 книгах”. В одной из клинописных табличек вавилонян  предлагается найти сумму первых десяти членов геометрической прогрессии 1× 2, 2× 2, … , 2× (n­1). Широко известна задача о вознаграждении изобретателя шахмат, записанная в древнеегипетском папирусе Ахмеса более 2000 лет назад. В папирусе Ринда,  составленном около 2000 лет до нашей эры и являющейся списком с другого,  еще более древнего математического сочинения, относящегося к 3  тысячелетию до нашей эры, имеется задача о делении хлеба. Давайте и мы  решим эту задачу. Задача 1. Сто мер хлеба разделили между пятью людьми так, чтобы  второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых получили в 7 раз меньше трех остальных. Сколько нужно дать каждому? Для решения этой задачи мы использовали формулу суммы n первых членов  арифметической прогрессии. Впервые эта формула была доказана  древнегреческим ученым Диофантом (III век н. э.). Правило отыскания суммы n первых членов произвольной арифметической прогрессии встречается в  “Книге абака” Л. Фибоначчи (1202 г). Но, несмотря на вековую давность этих  формул, в школьных учебниках они появились совсем недавно. В первом  учебнике “Арифметика” Л. Магницкого, изданном 200 лет назад и служившим полвека основным руководством для обучения, общих формул для  вычисления суммы n первых членов арифметической прогрессии нет, и даже  сам составитель не без труда справлялся с такими задачами. Между тем, вывести формулу суммы n первых членов арифметической  прогрессии можно с помощью следующих несложных рассуждений. Пусть (an) : a1, a2, а3…. – арифметическая прогрессия. Изобразим члены  прогрессии с помощью прямоугольников площадью a1, a2, а3 … an соответственно. Площадь получившейся фигуры ABCD равна сумме n первых членов нашей  арифметической прогрессии, то есть SABCD = Sn Дополним фигуру ABCD с помощью равной ей фигуры CKMD до  прямоугольника SABKM = AB × BK BK= a1+ an, AB = n, SABKM = 2Sn. Тогда, 2Sn.=(a1+ an)× n Sn.= (a1+ an)× n/ 2 Легко заметить закономерность, присущую арифметической прогрессии a1 + an = , a2 + an­1, то есть для любой конечной арифметической прогрессии (an) : a1, a2, а3….  an имеет место равенство a1 + an = ak + an­k+­1, Обратите внимание, что сумма индексов у слагаемых в левой и правой частях  одна и та же n + 1. Этим свойством интуитивно воспользовался маленький Гаусс, когда за  несколько минут сложил числа от 1 до 100, тем самым немало удивив своего  учителя. Запишите это свойство арифметической прогрессии в справочники. Задача 2.   если:   Найдите сумму 20 первых членов арифметической прогрессии,  a6 + a9 + a12+ a15 = 20. Задача     3. Решите уравнение: 1+3+5+7+….+x = 625 Арифметическая прогрессия обладает еще одним интересным свойством,  которое можно отнести к разряду занимательных. Рассмотрим последовательность четных натуральных чисел (an) : 2, 4, 6, 8, …– арифметическая прогрессия. Из девяти первых членов этой арифметической прогрессии дома вы составили магический квадрат. 8 6 16 18 10 2 4 4 2 Пусть (an) : a1, a2, а3…. an – арифметическая прогрессия, anΠN a4 a3 a8 a9 a5 a1 а2 а7 а6 В самом деле, a1+3d a1+8d a1+d a1+2d a1+7d a1+4d a1 a1+6d a1+5d Оказывается, из каждых девяти последовательных членов любой  арифметической прогрессии натуральных чисел можно составить магический  квадрат. Константа магического квадрата равна 3a1 + 12d. Законам арифметической прогрессии подчиняются даже стихотворения. Вспомним строки из романа А. С. Пушкина “Евгений Онегин”, сказанные о его герое: “Не мог он ямба от хорея, как мы ни бились, отличить”. Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов  стиха. Ямб – стихотворный метр с ударениями на четных слогах стиха (Мой дядя  самых честных правил), то есть ударными являются 2, 4, 6, 8 и так далее  слоги. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с  первым членом 2 и разностью, равной 2: (an) : 2, 4, 6, 8, … Хорей – стихотворный размер с ударением на нечетных слогах стиха (буря  небо мглою кроет). Номера ударных слогов также образуют арифметическую прогрессию, но ее  первый член равен 1, а разность, по­прежнему, равна 2: (bn) : 1, 3, 5, 7, … IV. Подведение итогов урока. Задание на дом. 1. Мама предложила сыну на выбор два варианта: давать ему ежедневно на  карманные расходы в течении месяца по восемь рублей или дать в первый  день 50копеек, зато в следующий на 50 копеек больше, в следующий еще на 50 копеек больше и так далее в течении месяца. Какой вариант выгоднее для  сына, если мама с сыном договаривается на апрель? На март? 2. Найдите значение выражения: (12+32+52+…+1992) – (22+42+…+2002) 3. Решите уравнение: 1+4+7+…+х =176