Разработка урока по теме: "Виды неправильных пирамид"

Разработка урока по теме: «Виды неправильных пирамид». Выполнил:  Королёва М.А., учитель математики средней школы № 3 г. Лысково. Тип урока: урок­лекция. Учебник: Геометрия, 10­11: учеб. для общеобразоват. учреждений:  базовый и профил. уровни/[Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.  Кадомцев и др.]. – 16­е изд. – М.: Просвещение, 2014 год. – 256 с. Учебная задача урока: В совместной деятельности с учащимися  выявить основные виды неправильных пирамид и соответствующие  им равносильные условия. Диагностируемые цели: в результате урока ученик: знает виды неправильных пирамид и их построение, свойства  площади боковой поверхности неправильных пирамид; понимает какие свойства и почему присуще каждому виду  пирамид. умеет определять вид неправильных пирамид, находить проекцию  вершины пирамиды на плоскость основания. Методы обучения: метод эвристической беседы, частично­ поисковый. Средства обучения: мел, доска, учебник, ручки, тетради, канва­ таблица, презентация, модели. Форма работы: фронтальная. Структура урока: I. Мотивационно­ориентировочный этап (10  мин); II. Операционально­познавательный этап (30 мин); III. Рефлексивно­оценочный этап (5 мин). Ход урока. I. Мотивационно – ориентировочный этап. Учитель:  На   пошлом   уроке   вы   решали   задачи   на   правильную пирамиду. Сформулируйте определение правильной пирамиды. Ученики:  Правильной называется пирамида, в основание которой лежит правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с  центром основания, является ее высотой. Учитель:  Изобразим   правильную   треугольную   пирамиду. Сформулируйте   шаги   плана   её   построения   для   треугольной пирамиды. Ученики: 1. Построить основание пирамиды. 1. Найти точку пересечения медиан. 1 2. Построить перпендикуляр к основанию через эту точку. 3. Взять на этой прямой произвольную точку – вершина пирамиды. 4. Соединить эту точку с вершинами основания.   Учитель:  Назовите основание пирамиды, боковые грани, боковые ребра. Ученики:  Основанием   является   ⊿ АВС,   боковые   грани­   АДС, ВДС, АДВ, боковые ребра­ АД, ВД , СД. Учитель: что называется высотой пирамиды.  Ученики:  перпендикуляр,   проведенный   из   вершины   пирамиды   к плоскости основания, называется высотой призмы ­ ОД. Учитель: Что называется апофемой? Изобразите ее на рисунке. Ученики: Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой. ДМ – апофема. Учитель: Вспомним свойства правильной пирамиды. Ученики:  Все   боковые   ребра   правильной   пирамиды   равны: АД=ВД=СД.   Боковые   грани   являются   равными   равнобедренными треугольниками: ⊿АДС=⊿ВДС=⊿АДВ.  Площадь   боковой   поверхности   правильной   пирамиды   равна половине   произведения   периметра   основания   на   апофему,   ребра образуют равные углы с основанием и высотой. Учитель: Докажите по данному рисунку равенство боковых ребер? Ученики: Рассмотрим ⊿АОД,  ⊿СОД и ⊿ВОД – прямоугольные:  1. ДО – общая сторона 2. АО=ВО=ОС   –   как   радиусы   описанной   окружности   основания.   Следовательно, ⊿АОД=⊿ВОД=⊿СОД   (по   двум   катетам). АД=ВД=СД. Учитель: Что ещё следует из равенства этих же треугольников? Ученики:  ∠ ДАО=∠ДВО=∠ДСО. 2 Учитель:  Докажите   равно   наклонность   боковых   граней   к основанию. Ученики:  ∠ДАО=∠ДВО=∠ДСО,   то   боковые   грани   равно наклонены к основанию.  Учитель: Что мы знаем про апофемы? Ученики: Апофемы опираются на радиус вписанной окружности и  равны между собой. Так же равны углы между апофемой и  плоскостью основания, и равны углы между апофемой и высотой.  Учитель: Какой можно сделать вывод из этого про боковые грани  правильной пирамиды и ее высотой ? Ученики: Боковые грани правильной пирамиды образуют равные  углы с высотой. Учитель: Мы имеем правильную пирамиду, и она обладает  некоторыми свойствами: боковые грани равно наклонены к  основанию, боковые грани образуют равные углы с высотой  правильной пирамиды.  Обратим внимание на задачи в учебнике. Какие пирамиды  рассматриваются в большинстве задач?  Ученики: В большинстве задач рассматриваются пирамиды, в  основание которых лежат неправильные многоугольники.  Учитель: Значит, нужно выявить свойства неправильных пирамид,  чтобы выяснить взаимное расположение их элементов, которые  будут необходимы при решение задач. Цель урока является  выявление видов неправильных пирамид и их свойств.  Содержательный этап. Решим задачу: Дан треугольник АВС и точка Д вне плоскости этого треугольника. Точка Д равноудалена от вершин А и В. Выяснить, в какую точку плоскости АВС проектируется точка Д. II. 3 Дано: ∆АВС; т.Д∉ (АВС). т.Д равноудалена от А и В. Выяснить: в какую точку плоскости (АВС) проектируется т.Д.   Решение: Допустим   т.Н   –   проекция   т.Д   на   (АВС).   Следовательно ДН⊥(АВС) Рассмотрим ∆ДАН и ∆ДВН – прямоугольные: 1) АД=ВД;  2) НД – общая.  Следовательно ∆ДАН=∆ДВН по гипотенузе и катету. Из   равенства   треугольников   ∆ДАН=∆ДВН   следует,   что АН=ВН. ∆АНВ – равнобедренный по определению и т.Н – вершина, из   которой   выходит   медиана   и  гипотенуза,  то   есть  т.Н  лежит   на серединном перпендикуляре к стороне АВ. Ответ:   проекция   точки   Д   на   плоскость   треугольника   АВС принадлежит серединному перпендикуляру отрезка АВ. Из равенства треугольников ДАН и ДВН можно выделить еще два равенства: ∠ДАН=∠ДВН.   Это   углы   между   наклонными   АД   и   ВД   и плоскостью (АВС). ∠АДН=∠ВДН.   Это   углы   между   наклонными   АД   и   ВД   и перпендикуляром ДН. Мы получили несколько условий: 1) Точка Д равноудалена от вершин А и В; 2) Точка Д проектируется на серединный перпендикуляр к отрезку АВ; 3) Наклонными АД и ВД равно наклонены к плоскости АВС; 4) Наклонными АД и ВД равно наклонены к перпендикуляру ДН. 4 В нашей  задаче   выполнялось  первое  условие, а мы  доказали, что выполняются следующие три. Допустим,   что   выполняется,   например,   третье   условие.   Другие условия   будут   выполняться,   исходя   из   равенства   треугольников ДАН   и   ДВН.   Получаем,   что,   если   выполняется   одно   из   данных четырех   условий,   то   выполняются   и   остальные   условия.   Такие условия называются равносильными. Если   мы   соединим   точки   Д   и   С,   то   получим   тетраэдр   ДАВС. Допустим,   что   все   боковые   ребра   тетраэдра   равны.   Из   этого выведем равносильные условия, опираясь на равносильные условия предыдущей задачи. Все три треугольника АДН, ВДН и СДН равны, а значит точка Н лежит   на   пересечении   серединных   перпендикуляров   к   сторонам треугольника АВС. То   есть   точка   Д   проектируется   в   центр   описанной   окружности основания. Все   боковые   ребра   равно   наклонены   к   плоскости   основания   и   к высоте пирамиды. Таким образом, получаем один из видов неправильных пирамид – пирамида,   вершина   которой   проектируется   в   центр   описанной окружности основания. Вершина пирамиды проектируется в центр описанной окружности основания тогда и только тогда, когда: 1) Высота   пирамиды   проходит   через   центр   описанной   окружности основания; 2) Боковые ребра пирамиды равны; 3) Боковые ребра пирамиды равно наклонены к плоскости основания; 4) Боковые ребра пирамиды равно наклонены к высоте пирамиды. Учитель: Решим задачу. Дан ⊿ АВС и точка Д вне плоскости этого треугольника. Точка Д равноудалена от прямых АВ и АС. Выясните, в какую точку плоскости АВС проектируется точка Д. 5 Дано: ⊿ АВС,  Д∉ (АВС), d(Д, АВ) = d(Д, АС)   Выяснить, в какую точку плоскости АВС проектируется точка Д. Решение. Учитель: Что означает точка Д равноудалена от прямых АВ и АС? Ученики:   Проводится перпендикуляр из т. Д к АВ и АС   ­ ДК и ДМ, тогда ДК = ДМ. Учитель:  Рассмотрим т. Н – проекция т. Д на плоскость АВС. Что можно сказать про ⊿ ДНК  и ⊿ ДНМ? Ученики: ⊿ ДНК  = ⊿ ДНМ (по гипотенузе и катету). Из равенства треугольников следует, что НК = НМ. Учитель: К какому множеству точек принадлежит точка Н? Ученики: Биссектриса угла ВАС. Учитель: Что еще можем сказать про НК и НМ? Ученики: ДН – проекция, ДК – наклонная, ДН ⊥ КН,  ДК ⊥ АВ, то по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах, КН ⊥ АВ. ДН – проекция, ДК – наклонная, ДН  ⊥  КМ,   ДМ  ⊥  АВ, то по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах, НМ ⊥ АС. Учитель: Что можем сказать про ⊿ ДКА и  ⊿ ДМА ? Ученики: ⊿ ДКА и  ⊿ ДМА ­ прямоугольные: 1) ДК = ДМ 2) ДА – общая. ⊿  ДКА   =  ⊿  ДМА   (по   гипотенузе   и   катету).   Из   равенства треугольников следует: ∠ДАК = ∠ДАМ. Учитель:  Исходя   из   этого,   можно   сделать   вывод,   что   проекция точки Д на плоскость АВС принадлежит биссектрисе  ∠  ВАС. Но это не полный вывод, который можно сделать по задаче. Из условия задачи   так   же   следует,   что   т.   Д   может   проектироваться   на 6 продолжение биссектрисы ∠ САВ , если ∠ДАВ = ∠ДАС >90° ,или биссектрису   одного   из   внешних   углов  ⊿  АВС   при   вершине   А, ⊿ДКН=⊿ДМК,   следовательно   плоскости   (ДАВ)   и   (ДАС)   равно наклонены к плоскости (АВС). ∠КДН=∠МДН, тогда получим, что плоскости (ДАВ) и (ДАС) равно наклонены к перпендикуляру ДН. Но   в   дальнейшем   нас   будет   больше   интересовать   именно   первый случай, поэтому остановимся подробнее на нем. Получаем следующие равносильные условия для пирамиды, вершина которой проектируется в центр вписанной окружности основания: 1)   т.   Д   равноудалена   от   прямых   АВ   и   АС   (∠ДАВ   = ∠ДАС<90°); 2) т. Д проектируется на биссектрису ∠ САВ; 3) ∠ДАВС = ∠ДАСВ<90°; 4) (ДАВ) и (ДАС) равно наклонены к перпендикуляру ДН; 5) Наклонная ДА образует равные острые углы со сторонами АВ и АС. Вершина пирамиды проектируется в центр вписанной окружности основания тогда и только тогда, когда : 1) Высота   пирамиды   проходит   через   центр   вписанной   окружности основания; 2) Вершина пирамиды равноудалена от сторон основания; 3) Каждое   боковое   ребро   пирамиды   образует   равные   углы   со смежными сторонами основания; 4) Боковые грани пирамиды  равно наклонены к основанию; 5) Боковые грани пирамиды равно наклонены к высоте пирамиды. Такая пирамида обладает следующими свойствами: 1. Sбок.пов.=  1 2  Росн  × h, где h – высота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды; 2. Sбок.пов = Sосн cosα , где  α  ­ двугранный угол при основании  пирамиды. III. Рефлексивно­оценочный этап. Учитель: Какие пирамиды мы изучили? Ученики: Пирамида, вершина которой проектируется в центр  описанной и вписанной окружности основания.  Учитель: Какими свойствами обладает пирамида,  вершина которой проектируется в центр описанной окружности основания? Ученики: Вершина пирамиды проектируется в центр описанной  окружности основания тогда и только тогда, когда: 7 1) Высота пирамиды проходит через центр описанной окружности  основания; 2) Боковые ребра пирамиды равны; 3) Боковые ребра пирамиды равно наклонены к плоскости основания; 4) Боковые ребра пирамиды равно наклонены к высоте пирамиды. Учитель: Какими свойствами обладает пирамида,  вершина которой проектируется в центр вписанной окружности основания? Ученики: Вершина пирамиды проектируется в центр вписанной  окружности основания тогда и только тогда, когда : 1) Высота пирамиды проходит через центр вписанной окружности  основания; 2) Вершина пирамиды равноудалена от сторон основания; 3) Каждое боковое ребро пирамиды образует равные углы со  смежными сторонами основания; 4) Боковые грани пирамиды  равно наклонены к основанию; 5) Боковые грани пирамиды равно наклонены к высоте пирамиды. Учитель: Как найти площадь боковой поверхности пирамиды,  вершина которой проектируется в центр вписанной окружности  основания? Ученики:  Sбок.пов.=  Росн ×h, где h – высота боковой грани,  проведенная из вершины пирамиды; Sбок.пов = Sосн cosα  , где α ­ двугранный угол при основании  пирамиды. Учитель: Домашнее задание.   Доказать свойства пирамиды, вершина которой проектируется в  центр вписанной окружности. №250. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом 120о. боковые ребра образуют с ее высотой, равной 16 см,  углы в 45о. Найти площадь основания пирамиды. 8 Дано: ДАВС – пирамида, АВС равнобедренный треугольник ( ∠В=120 о),  ДО – высота, ДО=16 см, ∠АДО=∠ВДО=∠СДО=45о(*) Найти: Sосн. Решение: 1. Из условия (*) следует, что вершина Д проектируется в центр  описанной окружности основания АВС. 2. Пусть R – радиус описанной окружности, тогда по теореме синусов  2R= АВ sin∠С , АВ = 2R sin∠С 3. Из  ⊿ ДОC(прямоугольный) : CО=ДО, ДО=16 (см)=СО= R. Cледовательно, АВ=16 (см)= ВС. 1 2 АВ×ВС×sin∠В 4. Sосн.=0,5 × 5. Sосн.=  0,5×16 ×16 √3 ×  √3 Ответ: 64 √3 см2. 2 = 64 √3  (см2). 9 Канва – таблица. Виды неправильных пирамид и их свойства  Вершина пирамиды проектируется в  центр вписанной окружности  основания Вершина пирамиды проектируется в центр описанной окружности основания тогда и только тогда, когда: Высота пирамиды проходит через  центр вписанной окружности  основания; Вершина пирамиды равноудалена от  сторон основания; Каждое боковое ребро пирамиды  образует равные углы со смежными  сторонами основания; Боковые грани пирамиды   равнонаклонены к основанию; Боковые грани пирамиды  равнонаклонены к высоте пирамиды. Высота пирамиды проходит через центр  описанной окружности основания; Боковые ребра пирамиды равны; Боковые ребра пирамиды  равнонаклонены к плоскости основания; Боковые ребра пирамиды равнонаклонены к высоте пирамиды. Свойства: Sбок.пов.=  Росн ×h, где h – высота  боковой грани, проведенная из  вершины пирамиды; Sбок.пов = Sосн двугранный угол при основании  пирамиды. cosα  , где α ­  10