РЕШЕНИЕ ДРОБНЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Решение дробных рациональных уравнений

Цели: продолжить формирование умения решать дробные рациональные уравнения по алгоритму.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Найдите подбором корни уравнения:

а) х² – 2х – 15 = 0;                                 г) х² – 29х + 100 = 0;

б) х² + 5х + 6 = 0;                                   д) х² – 6х + 8 = 0;

в) х² + 7х – 8 = 0;                                   е) х² + 15х + 36 = 0.

2. Решите уравнение:

а) = 0;                                      в) = 0;

б) = 0;                                      г) = 0.

III. Формирование умений и навыков.

Упражнения, решаемые на этом уроке, направлены на закрепление умения решать дробные уравнения по алгоритму, а также некоторые представляют собой задания повышенной трудности.

1. № 608 (б, г), № 609 (а, б).

Р е ш е н и е

№ 608.

б) ;              ОДЗ: х ≠ 3; х ≠ –4.

    17 – (х + 4) – х (х – 3);

    17 – х – 4 – х² + 3х = 0;

    –х² + 2х + 13 = 0.

D₁ = 1 + 13 = 14, D₁ > 0, 2 корня.

x₁ =  = 1 + ;     x₂ =  = 1 – .

г) .

    ;         ОДЗ:   x ≠ ;

                                                                                                    x ≠ –.

Общий знаменатель дробей x(3x – 1)²(3x + 1).

4x(3x – 1) + (3x – 1)(3x + 1) = 4x(3x + 1);

12х² – 4x + 9х² – 1 = 12х² + 4x;

9х² – 8х – 1 = 0.

a + b + c = 0, значит, x₁ = 1, x₂ = , то есть x₁ = 1, x₂ = .

О т в е т: б) 1 – ; 1 + ; г) ; 1.

На этом примере наглядно демонстрируем учащимся необходимость разложения знаменателей на множители для последующего «составления» общего знаменателя.

№ 609.

а) ;              ОДЗ: х ≠ –1; х ≠ 0; х ≠ 2.

21х(х – 2) = 16х(х + 1) – 6(х + 1)(х – 2);

21х² – 42х = 16х² + 16х – 6х² + 6х + 12;

21х² – 42х – 16х² – 16х + 6х² – 6х – 12 = 0;

11х² – 64х – 12 = 0;

D₁ = (32)² – 11 · (–12) = 1024 + 132 = 1156; D₁ > 0, 2 корня.

x₁ =  = 6;

x₂ = .

б) .

    ;     ОДЗ:   у ≠ 0; у ≠ 3;

                                                                                         у ≠ –3.

2(у + 3) – у(у + 3) – 5 = 0;

2у + 5 – у² – 3у – 5 = 0;

–у² – у = 0;

у² + у = 0;

у (у + 1) = 0;

у = 0     или         у = –1.

О т в е т: а) ; 6; б) –1.

2. .

     = 0;        ОДЗ: а ≠ –3.

7а – 6 – (а + 3) + а² – 3а + 9 = 0;

7а – 6 – а – 3 + а² – 3а + 9 = 0;

а² + 3а = 0;

а (а + 3) = 0;

а = 0     или         а = –3.

О т в е т: 0.

3.  = 0.

 = 0.

Общий знаменатель дробей х(х² – 1)(х² + 1).

Домножим обе части уравнения на общий знаменатель:

х² + 1 + х² – 1 – 2х = 0;

2х² – 2х = 0;

2х (х – 1) = 0;

х = 0     или         х = 1.

Если х = 0, то х(х² – 1)(х² + 1) = 0.

Если х = 1, то х(х² – 1)(х² + 1) = 0.

О т в е т: нет решений.

4. № 611 (б).

Р е ш е н и е

Графиком функции у =  является гипербола, расположенная в I и III координатных четвертях. Запишем координаты контрольных точек:

Графиком функции у = –х + 6 является прямая, проходящая через точки (0; 6), (6; 0).

О т в е т: х₁ ≈ 1,3; х₂ ≈ 4,7.

5. Сильным в учебе учащимся можно предложить для решения задания повышенной трудности.

№ 610 (а), № 612.

Р е ш е н и е

№ 610.

а) .

24(–9х² + 49) = 31(–7х² + 38),

–216х² + 1176 + 217х² – 1178 = 0,

х² = 2,

х = ±.

Оба корня удовлетворяют уравнению.

О т в е т: ±.

IV. Итоги урока.

В о п р о с ы   у ч а щ и м с я:

– Какие уравнения называются дробными рациональными?

– Каков алгоритм решения дробных уравнений?

– Как определить общий знаменатель дробей, входящих в уравнение?

– Каким способом можно исключить «посторонние» корни дробного рационального уравнения?

Домашнее задание: № 608 (а, в), № 609 (в), № 611 (а), № 695 (д, з).