РЕШЕНИЕ ЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Логические задачи - текстовые задачи, в которых требуется
распознать объекты или расположить их в определенном
порядке по имеющимся свойствам.
При этом часть утверждений условия задачи может быть
истинной или ложной.

Метод рассуждений;
Метод таблиц;
Использование средств алгебры логики.

Метод рассуждений используется для решения самых
простых логических задач и состоит в том, что мы
проводим рассуждения, используя последовательно все
условия задачи, и приходим к выводу, который и будет
являться ответом задачи.

Задача. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные
иностранные языки: китайский, японский и арабский.
На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один
ответил: "Вадим изучает китайский, Сергей не изучает
китайский, а Михаил не изучает арабский". Впоследствии
выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение
верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из
молодых людей?

Ответ: Сергей изучает китайский язык, Михаил — японский,
Вадим — арабский.

Мама, прибежавшая на звон разбившейся вазы, застала всех трех своих сыновей в совершенно невинных позах: Саша, Ваня и Коля делали вид, что происшедшее к ним не относится. Однако футбольный мяч среди осколков явно говорил об обратном.
- Кто это сделал? - спросила мама.
- Коля не бил по мячу, - сказал Саша.- Это сделал Ваня.
Ваня ответил: - Разбил Коля, Саша не играл в футбол дома.
- Так я и знала, что вы друг на дружку сваливать будете, - рассердилась мама.
- Ну, а ты что скажешь? - спросила она Колю.
- Не сердись, мамочка! Я знаю, что Ваня не мог этого сделать. А я сегодня еще не сделал уроки, - сказал Коля.
Оказалось, что один из мальчиков оба раза солгал, а двое в каждом из своих
заявлений говорили правду.
Кто разбил вазу?

Обозначим утверждения: А - разбил Саша; Б - разбил Ваня; В - разбил Коля.
 Решим методом рассуждения.
По условию двое из мальчиков в каждом заявлении говорят правду, т.е. правы одновременно.
Саша сказал: ¬В & Б
Ваня: В & ¬А
Коля: ¬Б
Саша и Ваня не могут быть одновременно правы, т.к. содержат противоречивые утверждения ¬В и В.
То же самое с Сашей и Колей.
Значит, одновременно правы Ваня и Коля. Т.е. утверждение В истинно.

Разбил Коля. А Саша сказал двойную ложь.

Язык алгебры логики позволяет решать логические
задачи путем построения таблиц истинности или путем
составления и упрощения логического выражения.

Схема решения задачи средствами алгебры логики:

1.  изучается условие задачи;
2.  вводится система обозначений для логических
высказываний;
3.  конструируется логическая формула, описывающая
логические связи между всеми высказываниями условия
задачи;
4.  определяются значения истинности этой логической
формулы;
5.  из полученных значений истинности формулы опред-ся
значения истинности введённых логических высказываний,
на основании которых делается заключение о решении.

Три школьника – Миша(М), Коля(К) и Серёжа(С)- оставшиеся в классе на перемене, были вызваны к директору по поводу разбитого в это время окна в кабинете. На вопрос директора о том, кто это сделал, мальчики ответил следующее:

Миша: «Я не бил окно, и Коля тоже».
Коля: «Миша не разбивал окно, это Сергей разбил его футбольным мячом!»
Сергей: «Я не делал этого, стекло разбил Миша».

Стало известно, что один из ребят сказал чистую правду, второй в одной части заявления согласился, а другое его высказывание истинно, а третий оба факта исказил. Зная это, директор смог докопаться до истины.
Кто разбил стекло в классе?

Решение с помощью таблиц истинности:

Обозначим буквами простые высказывания: М= «Окно разбил Миша, К= «Окно разбил Коля», С= «Окно разбил Сергей». Тогда высказывания мальчиков можно записать с помощью сложных логических выражений:

- высказывание Миши,

- высказывание Коли,

,

,

должна иметь значение «истина». Только

, или

, или только

. При этом: (

)&(

)&(

)=1/

- высказывание Миши,

- высказывание Коли,

-высказывание Сергея.

По условию задачи только один из мальчиков сказал чистую правду, т. е. только одна из конъюнкций истина.

Составим таблицу истинности:

РТ. № 89 Дело о вымогательстве В вымогательстве подозреваются Брагин, Кургин и лиходеев. Каждый их них дол следующие показания.Брагин: «Я не участвовал в вымогательстве. Это делал Лиходеев».Лиходеев: «Я не виноват, но и Кургин тут ни причём».Кургин: «Лиходеев не виновен. Вымогательство совершал Брагин».Следствием точно установлено, что вымогали двое, кроме того, подозреваемые путались в показаниях и каждый из них не дал полностью правдивых показаний. Кто же совершал вымогательства?

Пример:
Перед началом турнира болельщики высказали следующие предположения по поводу своих кумиров:
А. Макс победит, Билл – второй.
Б. Билл – третий, Ник – первый.
В. Макс – последний, а первый – Джон.
Когда соревнования закончились, оказалось, что каждый болельщик был прав только в одном из своих прогнозов. Какое место на турнире заняли Джон, Билл, Ник, Макс?

Билл - 2

Макс - 1

Билл - 3

Ник - 1

Макс - 4

Джон -1

Задача. Четыре студента Денис, Коля, Рустам и Соня по
итогам сессии стали лучшими, но пока неизвестно кто
на каком месте находится.
Сокурсники высказали предположения:
Первым будет Денис, вторым Коля;
Вторым будет Рустам, четвертой Соня;
Денис будет вторым, Соня – третьей.
Оказалось, что в каждом предположении одно
высказывание было ложным, другое истинным.
Как распределились места?
В ответе укажите буквы имен студентов.

Задание

Один из братьев поставил на скатерть кляксу.
- Кто запачкал скатерть? – спросила бабушка.
- Витя не ставил кляксу, - сказал Алёша, - это сделал Боря.
- Ну а ты что скажешь? – спросила бабушка Борю.
Это Витя поставил кляксу, - сказал Боря, - а Алёша
не пачкал скатерть.
- Я знаю, что Боря не мог этого сделать.– сказал Витя.

Оказалось, что два мальчика сказали правду, а один сказал
неправду. Кто поставил на скатерть кляксу?

Задание

Один из братьев поставил на скатерть кляксу.
- Кто запачкал скатерть? – спросила бабушка.
- Витя не ставил кляксу, - сказал Алёша, - это сделал Боря.
- Ну а ты что скажешь? – спросила бабушка Борю.
- Это Витя поставил кляксу, - сказал Боря, - а Алёша не пачкал скатерть.
- Так я и знала, что вы друг на друга сваливать будете, - рассердилась бабушка. – Ну а каков твой ответ? – спросила она Витю.
- Не сердись, бабуля! Я знаю, что Боря не мог этого сделать.– сказал Витя.
Оказалось, что два мальчика сказали правду, а один сказал неправду. Кто поставил на скатерть кляксу?
Решение: формализуем высказывания

Так как, справедливыми могут только одна пара высказываний,
то конечное логическое выражение будет иметь вид:

Ответ: Витя.