Филиал бюджетного профессионального образовательного учреждения Чувашской Республики

 «Чебоксарский медицинский колледж»

Министерства здравоохранения Чувашской Республики в городе Канаш

Методическая разработка теоретического занятия

 Решение неравенств методом интервалов.

учебная дисциплина БД. 04 Математика

специальность 34.02.01Сестринское дело

 (базовая  подготовка)

Канаш, 2026

Аннотация

      Данная методическая разработка по теме «Решение неравенств методом интервалов» является уроком изучения нового материала. Метод интервалов – один из базовых методов решения неравенств (рациональных, показательных, логарифмических и иррациональных). Материал урока направлен на     изучение решения различных неравенств методом интервалов.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ. 3

1. методический блок. 4

1.1. Учебно-методическая карта. 4

Формы деятельности. 4

1.2. Технологическая карта. 8

2. Информационный блок. 10

2.1. План лекции. 10

2.2 Текст лекции. 11

2.3. Глоссарий. 18

3. Контролирующий блок

ВВЕДЕНИЕ

      Данная методическая разработка по теме «Решение неравенств методом интервалов» является уроком изучения нового материала. Материал урока направлен на изучение метода интервалов — метод решения сложных неравенств, основанный на разбиении числовой прямой на интервалы, на каждом из которых выражение сохраняет постоянный знак. Его используют для рациональных, дробно-рациональных и степенных выражений, где переменная содержится в множителях или знаменателях. 

          Структура урока: постановка цели и задач урока; повторение умений и навыков, являющихся опорой для восприятия новой темы; проведение проверочных упражнений (устная работа); решения неравенств методом интервалов. Упражнения на закрепление данного алгоритма; тренировочные упражнения по образу и подобию в виде самостоятельной работы; самоконтроль обучающихся.
          Создание проблемных ситуаций на уроках математики повышает интерес к предмету, вносит разнообразие и эмоциональную окраску в учебную работу, снимает утомление, развивает внимание, сообразительность.

1. МЕТОДИЧЕСКИЙ БЛОК

1.1. Учебно-методическая карта

1.2. Технологическая карта

2. Информационный блок

2.1. План лекции

1. Устная работа. Проверка домашнего задания. Фронтальный опрос.

       Для реализации целей урока нам потребуется некоторый теоретический материал.  

Давайте вспомним основные положения, необходимые для решения неравенств:

Вопросы:

Какие виды неравенств мы знаем::

1. Линейные ax + b > 0, (неравенство вида где a, b – некоторые числа, x - переменная )

2. Квадратные ax² +bx + c > 0, (неравенства вида где a, b, c – числа, x – переменная)

 3. Неравенства высших степеней (A(x) > 0, неравенства вида , A(x)- где многочлен степени выше 2)

4. Рациональные (неравенства вида , гдеА(х) и Р(х) многочлены.

На этой странице вы узнаете

• Как быстро определить верное обозначение точки на прямой?
• Как правильно чередовать знаки на числовой прямой?

         Решая уравнение, мы стремимся к тому, чтобы обе части были равны. Но существуют такие примеры, где мы заведомо знаем, что два выражения не могут быть равны между собой. Они называются неравенствами. 

Метод интервалов

         Неравенство — это алгебраическое выражение, в котором одна сторона имеет отличное от другой значение. В неравенствах обычно одна сторона больше другой.

Для записи неравенств используют знаки > , < , ≥ , ≤ . 

При этом “>” и “<” — это строгие знаки неравенства, а “≥” и “≤” — нестрогие знаки неравенства. 

Их отличие в том, что нестрогие знаки неравенства включают граничные точки в итоговый промежуток, а строгие — нет. 

           Рассмотрим пример неравенства (х — 10)(х + 21) > 0. 

           Его можно решить несколькими способами. Например, вспомним, что положительным будет произведение двух положительных или двух отрицательных множителей, тогда получается совокупность из двух систем. 

            Однако этот способ решения очень трудоемкий и требует много времени. А если множителей будет больше, например, три или четыре, то время на решение в разы увеличивается. 

           Небольшой секрет тайм-менеджмента: как сократить время при решении неравенств?  В таких случаях на помощь приходит метод интервалов.

            Метод интервалов — специальный алгоритм решения для сложных неравенств вида f(x) > 0. При этом знак неравенства может быть любым.

             Интервал — это промежуток на числовой прямой, ограниченный двумя различными числами.

         2.1 .Алгоритм решения неравенств методом интервалов

1 шаг. Перенести все части неравенства в одну сторону так, чтобы с другой остался только 0. 
2 шаг. Найти нули функции, для этого необходимо решить уравнение f(x) = 0. 
3 шаг. Начертить числовую прямую и отметить на ней все полученные корни. Таким образом, числовая прямая разобьется на интервалы. 
4 шаг. Определить знаки на каждом интервале. Для этого необходимо подставить любое удобное значение в f(x) и определить, какой знак будет иметь функция на данном интервале.

              Расставляя полученные корни на прямой, необходимо отмечать их точками. При этом от того, какая отмечена точка (выколотая или закрашенная), будет зависеть ответ. 

• Если в неравенстве стоит строгий знак неравенства, то все точки на прямой должны быть выколотыми. 

       Таким образом, граничные точки не будут включены в итоговый промежуток. Для записи таких точек используют круглые скобочки. Например, в промежуток (2;3) включаются все значения от 2 до 3, но не включаются граничные точки. 

• Если в неравенстве стоит нестрогий знак неравенства, то найденные корни должны быть отмечены закрашенными точками. 

         Это означает, что мы включаем их в итоговый промежуток. Для записи таких точек используют квадратные скобочки. Например, в промежуток [2;3] включаются все значения от 2 до 3, в том числе и граничные точки. 

• Если в неравенстве появляются ограничения и некоторые точки нельзя взять в ответ, то такие точки должны быть выколотыми на числовой прямой, при этом знак самого неравенства может быть как строгим, так и нестрогим. 

Например, если необходимо решить неравенство с дробью, то нули знаменателя на числовой прямой обязательно должны быть обозначены выколотыми точками.

         Стоит отметить, что непрерывная функция будет менять знак только в точках, в которых она равна 0.  Именно поэтому в методе интервалов мы ищем и отмечаем нули функции на прямой — только при переходе через них будет меняться знак функции. 

         При этом существует способ, с помощью которого можно быстро расставить знаки на прямой. Достаточно определить знак на одном из интервалов, а дальше чередовать знаки при переходе через каждую точку на прямой. 

Правила чередования знаков: 

• Если корень повторяется нечетное количество раз (то есть его степень нечетная), то знак при переходе на следующий интервал меняется.

• Если корень повторяется четное количество раз (его степень четная), то знак при переходе на следующий интервал не меняется. 

       Рассмотрим несколько примеров, чтобы на практике разобрать применение метода интервалов для решения неравенств.  

2.2 Решение квадратных неравенств методом интервалов:

Пример 1. Решить неравенство x² + 8x — 33 > 0. 

Шаг 1. Первым шагом необходимо найти нули функции, для этого приравниваем выражение слева к 0: x² + 8x — 33 = 0. 

Шаг 2. Находим корни уравнения, получаем х = 3 и х = -11. 

Шаг 3. Расставляем полученные корни на числовой прямой. Поскольку знак неравенства строгий, то точки должны быть выколотыми:

Шаг 4. Дальше необходимо определить знаки на каждом интервале. Для этого подставим х = -12 в x² + 8x — 33. Получаем: 

(-12)² + 8*(-12) — 33 = 144 — 96 — 33 = 15. 

Получается положительное число, следовательно, интервал от минус бесконечности до -11 положительный. Поскольку все корни в неравенстве повторяются нечетное количество раз (по одному разу), то знаки чередуются. 

В ответ необходимо записать промежутки с положительным знаком, следовательно, ответом будет х ∈ (-∞; -11) U (3; +∞). 

2.3 Решение дробно-квадратичного неравенства

Пример 2. Решить неравенство:≤0

1. Находим нули функции. 

Нули числителя: 2х² + 22х — 204 = 0. Решая уравнение, получаем х = 6 и х = -17. 

Нули знаменателя: (х — 3)(х + 5) = 0, следовательно, х = 3 и х = -5. 

2. Расставляем полученные корни на числовой прямой. Нули числителя будут обозначены закрашенными точками, поскольку знак неравенства нестрогий. А вот нули знаменателя — выколотыми, поскольку знаменатель не может равняться 0, следовательно, и нули знаменателя не должны входить в итоговый промежуток. 

3. Определяем знак на крайнем левом промежутке, подставляя х=-20 в дробь:

:=:=  :=  0,45

Следовательно, промежуток положительный. 

4. Поскольку каждый корень встречается один раз, то есть нечетное количество раз, то знаки будут чередоваться. 

В ответ необходимо включить отрицательные промежутки. Следовательно, ответом будет х ∈ [-17; -5) U (3; 6].

 2.3 Решение дробно-линейных неравенств:

         Мы рассмотрели метод интервалов на примере дробно-квадратичного рационального неравенства. Рекомендуется самостоятельно построить эскиз графика функции для данного примера.

Пример 1.

 Решить неравенство: 

Эквивалентными преобразованиями приведем неравенство к нужному виду.

Множество решений этого неравенства совпадает со множеством решений исходного неравенства

Неравенство такого вида мы уже умеем решать методом интервалов.

1. 

2. Область допустимых значений  

3. Нули функции 

4. Определяем интервалы знакопостоянства.

4 – выколотая точка, т.к. при  функция не существует, изобразим это на графике пунктирной линией.

5. Расставим знаки на промежутках. Самостоятельно можно проверить знаки методом пробной точки (Рис.2).

Теперь можно вернуться к неравенству и выбрать интервалы, удовлетворяющие заданным условиям.

Ответ: 

Мы привели исходное неравенство к дробно-линейному виду. Самостоятельно можно построить эскиз графика функции.

3.      Закрепление нового материала:

3.1.Решение примеров:

Пример 1. Решить неравенство:

1. Первым делом следует отметить, что знаменатели не могут быть равны 0, следовательно, х² ≠ 0 и х + 2 ≠ 0, отсюда получаем х ≠ 0 и х ≠ -2. 

2. Теперь перенесем все части неравенства влево: 

Приведем к общему знаменателю:

Для решения неравенства будет удобнее, если перед х² в числителе будет стоять положительный знак, для этого умножим неравенство на -1. 

При умножении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. 

Получаем:

Теперь найдем нули функции. 

Нули числителя: х² — х — 2 = 0. Тогда х = -1 и х = 2. 

Нули знаменателя: х = 0 и х = -2. 

2. Расставим корни на числовой прямой, при этом нули числителя будут обозначены закрашенными точками, а нули знаменателя — выколотыми. 

3. Определим знак на крайнем левом промежутке, подставив для этого х = -3 в дробь: 

Промежуток отрицательный. 

4. Дальше расставляем знаки, чередуя их. При этом следует заметить, что х = 0 — корень, повторяющийся четное количество раз (поскольку у х² четная степень). Следовательно, при переходе через эту точку знак функции меняться не будет. 

В ответ необходимо включить отрицательные промежутки, следовательно: х ∈ (-∞; -2) U [-1; 0) U (0; 2]. 

 Вместо  могут быть другие функции, например, дробно-линейные или дробно-квадратичные. Решение неравенств такого рода является нашей целью.

Пример 2. Решить неравенство 

Это же неравенство может быть представлено в виде  тогда нужно вначале разложить на множители числитель и знаменатель дроби.

1. Рассмотрим функцию 

2. Область определения: 

3. Найдем нули функции 

4. Выделим интервалы знакопостоянства.

5. Находим знак функции на каждом интервале.

Можно проверить знаки по методу пробной точки. Например, на промежутке   На остальных промежутках аналогично.(Рис.1)

Теперь возвращаемся к неравенству  

Ответ: 

Рассмотрим некоторые сопутствующие задачи.

Найти наименьшее решение неравенства.

Ответ: 

Найти число натуральных решений неравенства 

Ответ: 2.

Найти длину интервалов, составляющих множество решений неравенства.

Ответ:2.

Пример 3. Решить неравенство       

При решении данного неравенства может быть допущена грубая ошибка. Решать его методом умножения обеих частей на  категорически нельзя, будет потеряно множество решений!

Можно умножить обе части неравенства на положительное число, тогда знак неравенства останется прежним. Можно умножить на отрицательное число, тогда знак неравенства поменяется. Но умножать на  мы не можем, т.к. не знаем его знака.

Поэтому решаем неравенство методом эквивалентных преобразований.

1. Рассмотрим функцию 

2. Область определения 

3. Нули функции 

4. Определим интервалы знакопостоянства.

Точка 0 выколотая, в ней функция не существует, отметим это на графике пунктирной линией.

5. Расставим знаки на интервалах (Рис. 3).

Возвращаемся к неравенству. 

Ответ:

Мы рассмотрели решение неравенств методом интервалов. В качестве функции выступала дробь, в числителе и знаменателе либо линейная, либо квадратичная функция.

Вывод:

·         Метод интервалов позволяет упростить решение любого  неравенства, а также экономит время, которое ограничено на экзамене. 

·         Чтобы решить неравенство с помощью метода интервалов необходимо найти нули функции, расставить их на числовой прямой, а после определить знак каждого полученного интервала. 

·         Нули функции на прямой обозначаются точками, при этом закрашенные точки включают граничные значения в итоговый промежуток, а не закрашенные, напротив, исключают их из промежутка. 

·         Для определения знака на каждом интервале необходимо подставить любое значение из этого интервала в функцию. 

·         Для упрощения расстановки знаков можно пользоваться правилами чередования, определив знак только на одном интервале, а дальше менять знаки на каждом следующем. При этом если корень встречается в функции нечетное количество раз, то знак при переходе через эту точку на следующий интервал меняется, а если корень встречается четное количество раз, то знак на следующем интервале не меняется.

• Проверь себя

Задание 1. 
Какие знаки неравенства существуют?

1. Строгие
2. Нестрогие
3. Строгие и нестрогие 
4. Больше и меньше

Задание 2. 
Какой знак неравенства может встретиться в методе интервалов?

1. Только больше или меньше. 
2. Только “больше или равно” или “меньше или равно”. 
3. Только “больше” и “больше или равно” или только “меньше” и “меньше или равно”.
4. Любой. 

Задание 3. 
Какое утверждение верное?

1. Если в неравенстве строгий знак неравенства, то точки на числовой прямой закрашены.
2. Если в неравенстве строгий знак неравенства, то точки на числовой прямой выколоты.
3. Если в неравенстве нестрогий знак неравенства, то все точки на числовой прямой закрашены, даже если в неравенстве есть ограничения.
4. Если в неравенстве нестрогий знак неравенства, то все точки на числовой прямой выколоты. 

Задание 4. 
Какое утверждение верное? 

1. При переходе на числовой прямой на следующий интервал, знак на интервале всегда будет меняться.
2. Если корень встречается в неравенстве четное количество раз, то при переходе через него на следующий интервал знак не меняется.
3. Если корень встречается в неравенстве нечетное количество раз, то при переходе через него на следующий интервал знак не меняется.
4. Невозможно определить правильное чередование знаков на прямой, не подставляя значение из каждого интервала в функцию.

Задание 5. 
Если в неравенстве строгий знак неравенства, то какие скобочки могут встретиться в ответе? 

1. Круглые
2. Квадратные
3. И круглые, и квадратные
4. Ни один из перечисленных вариантов 

Ответы: 1. — 3 2. — 4 3. — 2 4. — 2 5. — 1 

2.Объяснение темы Системы показательных уравнений и неравенств.

2.1 Способы решения систем уравнений

        Для начала кратко вспомним, какие вообще существуют способы решения систем уравнений. Существуют четыре основных способа решения систем уравнений:

1)Способ подстановки: берется любое из данных уравнений и выражается y через x, затем y  подставляется в уравнение системы, откуда и находится переменная x. После этого мы легко можем вычислить переменную y.

2)Способ сложения: в данном способе необходимо умножать одно или оба уравнения на такие числа, чтобы при сложении вместе обоих одна из переменных «исчезла».

3)Графический способ: оба уравнения системы изображается на координатной плоскости и находится т  очка их пересечения.

4)Способ введения новых переменных: в этом способе мы делаем замену каких-либо выражений для упрощения системы, а потом применяем один из выше указанных способов.

2.2 Системы показательных уравнений и неравенств.

          Определение 1: Системы уравнений, состоящие из показательных уравнений, называются системой показательных уравнений.

          Решение систем показательных уравнений будем рассматривать на примерах.

Пример 1 Решить систему уравнений.

Решение.

Будем пользоваться первым способом для решения данной системы. Для начала выразим в первом уравнении y через x.

Подставим y во второе уравнение:

[-2-x=у]

Ответ: (-4,6).

Пример 2

Решить систему уравнений

Решение.

Данная система равносильна системе

       Применим четвертый метод решения уравнений. Пусть 2^x=u (u >0), а 3^y=v (v >0), получим:

Решим полученную систему методом сложения. Сложим уравнения:

Тогда из второго уравнения, получим, что возвращаясь к замене, получил новую систему показательных уравнений:

Получаем: Ответ: (0,1).

2.3 Системы показательных неравенств.

          Определение 2: Системы неравенств, состоящие из показательных уравнений, называются системой показательных неравенств.

Решение систем показательных неравенств будем рассматривать на примерах.

Пример 3

Решить систему неравенств

Решение:

Данная система неравенств равносильна системе

          Для решения первого неравенства вспомним следующую теорему равносильности показательных неравенств:

Теорема 1. Неравенство a^{f(x)} >a^{{\varphi (x)}} , где a >0,a ≠ 1 равносильна совокупности двух систем

Ответ: (-4,6).

Пример 2

Решить систему уравнений

Решение.

Данная система равносильна системе

Применим четвертый метод решения уравнений. Пусть 2^x=u  (u >0), а 3^y=v (v >0), получим:

Решим полученную систему методом сложения. Сложим уравнения:

Тогда из второго уравнения, получим, что возвращаясь к замене, получил новую систему показательных уравнений:

Ответ:(0,1).

3.1 Решение примеров устно.

           Пример №1. Решить неравенство: 

Вспоминаем свойства показательной функции: , значит,  Данное неравенство не имеет решений.

           Пример №2. Решить неравенство: 

По аналогии с предыдущим неравенством:  (а, значит, ) для всех  из области определения, то есть .

3.2 Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля.

Пример №1. Решите систему уравнений:

"Решаем" каждое из уравнений по отдельности, приводя к обычной линейной системе.

1)      

2)      

Получаем систему:

Ответ:

Пример №2. Решите систему уравнений:

1)      Перемножим оба уравнения:

2)      Поделим второе уравнение на первое:

Получаем систему:

Ответ: 

 Пример №3. Решите систему уравнений:

Замена: 

-

Обратная замена:

Ответ:

Пример №4.

Замена: 

Рассмотрим решение данной системы двумя способами:

1 способ:

Обратная замена:

2 способ:

Обратная замена:

Ответ: 

4.Решение упражнений (нечетные пункты) на закрепление темы (№240-242)

5.Домашнее задание № 240-242 (четные пункты). Подведение итогов.

2.3. Глоссарий

3. Контролирующий блок

Самостоятельная работа «Системы показательных уравнений и неравенств»

1 вариант

1.   Решить уравнение: а) ,     

                                         б) ,   

                                   в) -5=0.

2.   Решить неравенство:  .

3.   Решить систему уравнений: 1)

                                                 2)

                                                 3)

Самостоятельная работа «Системы показательных уравнений и неравенств»

2 вариант

1.   Решить уравнение: а) ,    

                                  б) ,  

                                  в) +9=0.

2.   Решить неравенство:  .

3.   Решить систему уравнений: 1)

                                                2)

                                                         3) 

Скачано с www.znanio.ru