РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ ВИДА

Решение неравенств вида 0 · х > b или 0 · х < b,
где b – некоторое число

Цели: рассмотреть решение неравенств, которые либо не имеют решений, либо их решением является любое число; продолжить формировать умения решать неравенства с одной переменной, а также задачи, сводящиеся к решению таких неравенств.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверочная работа.

В а р и а н т  1

1. Решите неравенство:

а)  – x > 3;                            б)  – 2x > .

2. При каких значениях b двучлен 2b + 11 принимает положительные значения?

В а р и а н т  2

1. Решите неравенство:

а)  – x > 2;                            б)  – 3x > .

2. При каких значениях а двучлен 12 – а принимает положительные значения?

О т в е т:

III. Устная работа.

1. Решить неравенство:

а) 2х + 1 > 5;                   б) –3х + 9 ≤ 0;                      в)  < 0;

г)  ≥ 0;                    д)  ≤ 0;                      е)  < 0.

2. Какие  из  чисел  0;  7;  –4;  6;    являются  решением  неравенства
3х – 12 ≥ 6?

IV. Объяснение нового материала.

1. С о з д а н и е   п р о б л е м н о й   с и т у а ц и и.

На  предыдущих  уроках  мы решали неравенства вида ах > b (ax < b), где а ≠ 0. Алгоритм решения был прост: мы преобразовывали неравенства к такому виду, а затем делили обе части неравенства на коэффициент а (с учетом знака) и получали числовой промежуток в качестве решения. Пробуем применить этот алгоритм к следующему упражнению:

2(х + 8) – 5х < 4 – 3х;

2х + 16 – 5х < 4 – 3х;

2х – 5х + 3х < –16 + 4;

0 · х < –12.

Наш алгоритм «не работает» – на нуль делить нельзя. Замечаем, что неравенство будет иметь решение, если при подстановке какого-то числа вместо х мы получим верное неравенство. Но в данном случае при любом значении х неравенство обращается в числовое 0 < –12, которое является неверным, значит, исходное неравенство не имеет решений.

2. Решить самостоятельно упражнение:

5(х + 11) – 9х < 65 – 4х;

5х + 55 – 9х < 65 – 4х;

5х – 9х + 4х < 65 – 55;

0 · х < 10.

Замечаем, что при любом значении х неравенство обращается в верное числовое неравенство 0 < 10, значит, решением является любое число.

3. Делаем общий  в ы в о д: неравенства вида 0 · х > b (0 · x < b), а значит,  и  неравенства,  равносильные  данным,  либо  не  имеют  решений,  либо их решением является любое число (множество решений либо , либо (–∞; +∞)).

V. Формирование умений и навыков.

Упражнения, решаемые на этом уроке, можно разбить на 3  г р у п п ы:

1) Решение  неравенств,  сводящихся  к  неравенствам  вида  0 · х > b
(0 · x < b).

2) Решение задач, сводящихся к решению неравенств с одной переменной.

3) Решение заданий повышенной трудности.

1. № 857 (а, б).

Р е ш е н и е

а) 31(2х + 1) – 12х > 50х;

    62х + 31 – 12х > 50х;

    62х – 12х – 50х > –31;

    0 · х > –31;

при любом значении х имеем верное неравенство 0 > –31, значит, х – любое число.

б) х + 4 – ;

    3х + 12 – х < 2х;

    3х – х – 2х < –12;

    0 · х < –12;

при любом значении х имеем неверное неравенство 0 < –12, значит, неравенство не имеет решений.

О т в е т: а) х – любое число; б) нет решений.

№ 858.

Р е ш е н и е

у > 0, если 2х + 13 > 0;    2х > –13;    х > –6,5;

у < 0, если 2х + 13 < 0;    2х < –13;    х < –6,5.

О т в е т: (–6,5; +∞); (–∞; –6,5).

№ 859 (а, в, д).

Р е ш е н и е

а) При 2х – 4 ≥ 0;    2х ≥ 4;    х ≥ 2.

в) При  ≥ 0;    1 + 3a ≥ 0;    3a ≥ –1;    a ≥ .

д) При –3(1 – 5х) ≥ 0;    1 – 5х ≤ 0;    –5х ≤ –1;    х ≥ (–1) : (–5);    х ≥ 0,2.

О т в е т: а) при х ≥ 2; в) при a ≥ ; д) при х ≥ 0,2.

2. № 861 (а).

Р е ш е н и е

1,6 – (3 – 2у) < 5;

1,6 – 3 + 2у < 5;

Наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству, равно 3.

О т в е т: 3.

№ 862 (а).

Р е ш е н и е

(2 – 2п) – (5п – 27) > 0;

2 – 2п – 5п + 27 > 0;

Данному неравенству удовлетворяют натуральные числа 1, 2, 3, 4.

О т в е т: 1; 2; 3; 4.

3. № 865.

Р е ш е н и е

Пусть х см – длина другой стороны прямоугольника, тогда его периметр равен 2 · (х + 6) см; периметр квадрата равен 4 · 4 см, то есть 16 см. Зная, что периметр прямоугольника меньше периметра квадрата, составим неравенство:

2(х + 6) < 16;

2х + 12 < 16;

2х < 4;

х < 2.

О т в е т: меньше 2 см.

4. Сильным в учебе учащимся можно предложить для решения задания повышенной трудности.

№ 860 (а), № 863, № 869.

Р е ш е н и е

№ 860 (а).

В область определения функции y =  входят значения х, для которых 7 – 14х ≥ 0 и х + 8 ≠ 0.

7 – 14х ≥ 0;                                 х + 8 ≠ 0;

О т в е т: (–∞; –8) (–8; 0,5].

П р и м е ч а н и е.  На этом примере учащиеся видят, что если в решении в полученном числовом промежутке есть «выколотая» точка, то ответ мы записываем в виде объединения числовых промежутков.

№ 863.

(а + 5)х² + 4х – 20 = 0 – квадратное уравнение

D₁ = 4 – (а + 5) · (–20) = 4 + 20а + 100 = 20а + 104.

Уравнение не имеет корней, если D₁ < 0, то есть:

20а + 104 < 0;

20а < –104;

а < (–104) : 20;

а < –5,2.

О т в е т: при а < –5,2.

П р и м е ч а н и е.  Необходимо сообщить учащимся, что данное уравнение представляет собой уравнение с параметром а и переменной х.

№ 869.

Р е ш е н и е

А н а л и з

Пусть х км – расстояние,  на  которое  могут  отъехать  туристы,  тогда по течению они плыли со скоростью 18 + 2, то есть 20 км/ч, и против течения – со скоростью 18 – 2, то есть 16 км/ч, и на путь по течению они затратили  ч, а против течения  ч. Зная, что туристы должны вернуться к стоянке не позднее, чем через 3 часа, составим неравенство:

 +  ≤ 3;

4х + 5х ≤ 240;

9х ≤ 240;

х ≤ 26.

О т в е т: не более 26 км.

VI. Итоги урока.

В о п р о с ы   у ч а щ и м с я:

– Сколько решений может иметь неравенство с одной переменной?

– В каком случае неравенство не имеет решений? Приведите примеры.

– В каком случае решением неравенства является любое число? Приведите примеры.

Домашнее задание: № 857 (в, г), № 859 (б, г, е), № 861 (б), № 862 (б), № 866, № 867*.

Скачано с www.znanio.ru