Решение нестандартных уравнений в школьном курсе математики

          Математическое образование в системе основного общего образования занимает одно из ведущих мест. Это определяется, практической значимостью математики, ее возможностями в развитии и формировании мышления человека, ее вкладом в создание представлений о научных методах познания действительности. Изменение приоритетных направлений развития современной системы образования ставит перед школой задачу формирования творчески мыслящих людей, обладающих нестандартным взглядом на проблемы, владеющих навыками исследовательской работы.

          Решение задач - важная часть математического образования. Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического развития учащихся, глубины усвоения учебного материала.    На уроках математики современной школы характерна репродуктивная деятельность учащихся. Школьники, как правило, решают типовые задачи. Привыкая к выполнению стандартных типовых заданий, имеющих единственное решение, которое заранее предопределено на основе некоторого алгоритма, учащиеся привыкают к однотипным действиям, начинают мыслить по стандарту, практически мало действуют самостоятельно, что не позволяет эффективно развивать собственный интеллектуальный потенциал, прежде всего логическое мышление. Ведь творчество – это умение отказаться от стереотипов мышления, для того чтобы создать что-то новое.

          Часто учащиеся сталкиваются с задачами, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих точный алгоритм их решения, такие задачи называются нестандартными.[2] Как же решать такие задачи?

        Получив задачу необходимо определить к какому классу она относится. Далее необходимо найти план решения. Не нужно представлять себе, что план решения - это точный перечень всех действий, это лишь идея, замысел.

        Попробуем определить вид нестандартной задачи. Выделим три вида таких задач по характеру требования:

1.     Задачи на нахождение искомого

2.     Задачи на доказательство или объяснение

3.     Задачи на преобразование или построение

       Это очень важный шаг, так как для большинства видов задач  в школьном курсе математики  изучают методы решения. Таким образом, принадлежность задачи к данному виду  дает готовый план её решения.

        Если задача осталась не решенной, то необходимо рассмотреть способы приведения данной задачи к ранее решенным. Это значит что мы путем преобразования или переформулирования, а может и с помощью разбиения на стандартные подзадачи, сведем решение данной (незнакомой) задачи к задаче, алгоритм решения которой уже известен.[1]  

      В математике нет каких либо общих правил решения нестандартных задач. Но в школьном курсе математики на многих примерах можно показать способы их решения.

Рассмотрим пример.

Умножим левую часть уравнения на выражение

получим:

заметим, что при этом действии корень

не будет являться корнем исходного уравнения.

Получившееся уравнение является симметрическим уравнением четвертой степени.

Так как

не является корнем исходного уравнения, можно разделить левую часть получившегося уравнения на

и перегруппировать члены:

Относительно

это уравнение решается как квадратное:

Так как изначально при умножении появился корень

не являющийся корнем исходного уравнения, окончательно получаем ответ:

       Большинство учащихся общеобразовательных школ либо вовсе не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкие выкладки. Одной из причин этого является отсутствие системы нестандартных задач в школьных учебниках.

       Применение нестандартных задач в обучении школьников математике реализуется в разной форме как на уроке: индивидуальные задания, так и во внеклассной работе: кружки, викторины, конкурсы, олимпиады. Но основной организационной формой является урок, где все учащиеся принимают участие в решении нестандартных задач.

        При решении нестандартных задач акцент делается не на запоминание фактов, а на умение критически и творчески думать. Школьники сами могут постигать смысл узнаваемого с помощью умения размышлять, задавать вопросы по существу, улавливать взаимосвязи, выявлять модели, принимать правильные решения, понимать и ценить разнообразие алгоритмов решения.   Решение задачи крайне сложный процесс, при описании которого невозможно исчерпать все многообразие его сторон. Дать учащимся правила, позволяющие решить любую нестандартную задачу, невозможно, ибо нестандартные задачи в какой-то степени неповторимы, а универсального метода, позволяющего решить любую задачу, к сожалению, нет. Даже строгое выполнение всех указаний и следование советам учителя не сможет творческий процесс отыскания решений нестандартных задач уложить в определенные схемы.

     Нестандартные задачи служат переходным мостом от классной работы к внеклассной, являются хорошим материалом для выявления наиболее способных к математике учащихся, для дополнительных заданий, как в школе, так и дома.

      Последовательное осуществление органической связи между повседневной учебной работой на уроках и внеклассной работой с помощью  нестандартных задач позволит учителю добиться больших успехов в развитии математических способностей отдельных учащихся и всего класса в целом.

ЛИТЕРАТУРА

1.     Пойя Ж. Как решать задачу. М.: «Либроком» -208с.

2.     Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи. М.: «Просвещение»,1989.-191с.