Решение рациональных уравнений и неравенств

Решение рациональных уравнений

I. Основные определения

Уравнение – равенство с переменной .

Корень уравнения – значение переменной, обращающее уравнение в верное равенство.

Решить уравнение –найти множество всех его корней или доказать, что их нет.

ОДЗ уравнения f(x)=g(x) – множество всех значений x, при которых одновременно имеет смысл выражение f(x)=g(x)

Два уравнения называются равносильными, если они имеют одно и то же множество корней

II. Условия сохранения равносильности

Равносильность уравнений сохраняется, если:

К обеим частям уравнения прибавить выражение p(x), определённое всюду в ОДЗ исходного уравнения.

Перенести слагаемое из одной части в другую.

Обе части уравнения умножить или разделить на одно и тоже выражение p(x), определённое всюду в ОДЗ исходного уравнения и нигде в ОДЗ не обращающееся в 0.

Возвести обе части в нечётную степень.

Возвести в чётную степень уравнение, обе части которого имеют одинаковый знак или равны 0

1

2

3

4

5

III. Виды и методы решений алгебраических уравнений

Линейным уравнением называется уравнение вида
ах=b

Пример №1

1

2

III. Виды и методы решений алгебраических уравнений

Квадратным уравнением называется уравнение вида
ах2 +bх+с = 0

Пример №2

Пример №3

Рациональные уравнения степени 3 и выше

а) Замена переменной

или

III. Виды и методы решений алгебраических уравнений

Рациональные уравнения степени 3 и выше

б) Разложение на множители

III. Виды и методы решений алгебраических уравнений

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом не теряют смысла.

или

1. Найти ОДЗ

2. Преобразовать так, чтобы в правой части был нуль

3. Решить получившиеся целое уравнение

4. Сравнить корни с ОДЗ

Дробно – рациональные уравнения

III. Виды и методы решений алгебраических уравнений

Алгоритм

- не удовлетворяет ОДЗ

Пример №4

Пример №5

Решение рациональных неравенств

Алгоритм решения неравенств методом интервалов

Найти область определения функции f(x);

Найти нули функции f(x);

На числовую прямую нанести область определения и нули функции. Нули функции разбивают ее область определения на промежутки, в каждом из которых функция непрерывна и сохраняет постоянный знак;

Найти знаки функции в полученных промежутках, вычислив значение функции в какой-либо одной точке из каждого промежутка;

Записать ответ.

Обобщая ваши наблюдения, делаем выводы:

–

Решим неравенство

Находим корни многочлена и определяем их кратность:
х =1 (четная кратность), корни 3, -1, 0, 5, -2 (нечетная кратность).

1

Метод «лепестков» наглядно показывает, что правило перемены знаков применимо и при наличии корня четной кратности, а так же сводит возможность пропустить интервал к минимуму.

Решите неравенство

1 вариант:

2 вариант:

Сделайте выводы о смене знака на интервалах, в зависимости от степени кратности корня.

Решить неравенство: