Решение тригонометрических уравнений разложением на множители. (Профильный уровень).

  • docx
  • 03.01.2024
Публикация в СМИ для учителей

Публикация в СМИ для учителей

Бесплатное участие. Свидетельство СМИ сразу.
Мгновенные 10 документов в портфолио.

Иконка файла материала Реш.триг.ур.Разлож.на множ.проф..docx

Тригонометрические уравнения из материалов ЕГЭ профильного уровня.

Часть 2.

Разложение на множители.

Справочный материал.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. а)   уравнение Описание: 2 косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка = тангенс x.

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Описание:  левая квадратная скобка минус 2 Пи ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

Решение. а)  Преобразуем уравнение:

Описание: 2 синус x= дробь: числитель: синус x, знаменатель: косинус x конец дроби равносильно синус x левая круглая скобка 2 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус x конец дроби правая круглая скобка =0 равносильно
Описание:  равносильно система выражений косинус x не равно 0, совокупность выражений синус x=0, косинус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= Пи k,x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z . конец совокупности .

Описание: https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=40788&png=1

б)  Отберем корни на промежутке Описание:  левая квадратная скобка минус 2 Пи ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка с помощью тригонометрической окружности. Получаем Описание: x= минус 2 Пи , x= минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби и Описание: x= минус Пи .

 

Ответ: а) Описание:  левая фигурная скобка Пи k; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка , б) Описание:  минус 2 Пи ; минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби , минус Пи .

Критерии проверки:

Ответ: а) Описание:  левая фигурная скобка Пи k; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка , б) Описание:  минус 2 Пи ; минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби , минус Пи .

507886

а) Описание:  левая фигурная скобка Пи k; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка , б) Описание:  минус 2 Пи ; минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби , минус Пи .

Классификатор алгебры: Уравнения, рациональные относительно тригонометрических функций

Методы алгебры: Формулы приведения

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

2.     а)  Решите уравнение Описание:  синус 2x плюс корень из 3 синус x=0.

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Описание:  левая квадратная скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

Решение. Описание: https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=31625&png=1а)  Запишем уравнение в виде

Описание: 2 синус x косинус х плюс корень из 3 синус x =0 равносильно
Описание:  равносильно синус x умножить на левая круглая скобка 2 косинус x плюс корень из 3 правая круглая скобка =0 равносильно

Описание: \ левая квадратная скобка равносильно совокупность выражений  новая строка синус x=0,  новая строка косинус x= минус дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби  конец совокупности . равносильно
Описание:  равносильно совокупность выражений  новая строка x= Пи k,  новая строка x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k,  новая строка x= минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k,  конец совокупности .k принадлежит Z .\ правая квадратная скобка

б)  С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Описание:  левая квадратная скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка . Получим числа: Описание:  дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;3 Пи ; дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .

Ответ: а) Описание:  левая фигурная скобка Пи k, дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ; б) Описание:  дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; 3 Пи ; дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .

Критерии проверки:

Ответ: а) Описание:  левая фигурная скобка Пи k, дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ; б) Описание:  дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; 3 Пи ; дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .

500111

а) Описание:  левая фигурная скобка Пи k, дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ; б) Описание:  дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; 3 Пи ; дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Формулы двойного угла

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

3.      а)  Решите уравнение Описание:  синус 2x плюс корень из 2 синус x = 2 косинус x плюс корень из 2 .

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Описание:  левая квадратная скобка Пи ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

Решение. Описание: https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=51441&png=1а)  Используем формулу синуса двойного угла, выносим за скобки:

Описание:  синус 2x плюс корень из 2 синус x = 2 косинус x плюс корень из 2 равносильно
Описание:  равносильно 2 синус x косинус x плюс корень из 2 синус x = 2 косинус x плюс корень из 2 равносильно

 

Описание:  равносильно синус x левая круглая скобка 2 косинус x плюс корень из 2 правая круглая скобка = 2 косинус x плюс корень из 2 равносильно
Описание:  равносильно левая круглая скобка синус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 косинус x плюс корень из 2 правая круглая скобка = 0 равносильно

 

Описание:  равносильно совокупность выражений синус x = 1, косинус x = минус дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно
Описание:  равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x= минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z . конец совокупности .

б)  Изображая корни на единичной окружности, находим, что отрезку Описание:  левая квадратная скобка Пи ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка принадлежат корни Описание:  дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби и Описание:  дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .

 

Ответ:а) Описание:  левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ; б) Описание:  дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .

Критерии проверки:

Ответ: а) Описание:  левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ; б) Описание:  дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .

509501

а) Описание:  левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ; б) Описание:  дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .

Источник: ЕГЭ по математике — 2015. Досрочная волна, Запад.

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Формулы двойного угла

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

4. а)  Решите уравнение Описание:  косинус в квадрате x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус 2x плюс косинус x= синус x.

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку Описание:  левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;2 Пи правая квадратная скобка .

Решение. Описание: https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=31603&png=1а)  Перенесём все члены в левую часть, преобразуем и разложим левую часть на множители:

Описание:  косинус в квадрате x минус синус x косинус x плюс косинус x минус синус x=0 равносильно
Описание:  равносильно косинус x левая круглая скобка косинус x плюс 1 правая круглая скобка минус синус x левая круглая скобка косинус x плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно

Описание:  равносильно левая круглая скобка косинус x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка косинус x минус синус x правая круглая скобка =0.

1 случай. Если Описание:  косинус x= минус 1,то Описание: x= Пи плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .

2 случай. Если Описание:  косинус x не равно минус 1,то Описание:  косинус x минус синус x =0.При Описание:  косинус x = 0решений нет. Разделим обе части уравнения на Описание:  косинус x.Получаем Описание: 1 минус тангенс x =0 равносильно тангенс x=1.

Тогда Описание: x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z .

б)  Отрезку Описание:  левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;2 Пи правая квадратная скобка принадлежат корни Описание:  Пи и Описание:  дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .

 Ответ: а) Описание:  левая фигурная скобка Пи плюс 2 Пи k, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ; б) Описание:  Пи и Описание:  дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .

5. а)  Решите уравнение Описание: 2 синус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка умножить на косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка = корень из 3 косинус левая круглая скобка 2 Пи минус x правая круглая скобка .

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Описание:  левая квадратная скобка минус 2 Пи ; минус Пи правая квадратная скобка .

Решение. а)  Преобразуем уравнение:

Описание: 2 синус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка умножить на косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка = корень из 3 косинус левая круглая скобка 2 Пи минус x правая круглая скобка равносильно
Описание:  равносильно минус 2 косинус x умножить на левая круглая скобка минус синус x правая круглая скобка = корень из 3 косинус x равносильно
Описание:  равносильно косинус x умножить на левая круглая скобка 2 синус x минус корень из 3 правая круглая скобка =0 равносильно

Описание: https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=41331&png=1

Описание:  равносильно совокупность выражений  новая строка косинус x=0;  новая строка синус x= дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби  конец совокупности . равносильно совокупность выражений  новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k,k принадлежит Z ;  новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z ;  новая строка x= дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи m,m принадлежит Z .  конец совокупности .

 

б)  С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Описание:  левая квадратная скобка минус 2 Пи ; минус Пи правая квадратная скобка .Получим числа Описание:  минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби , Описание:  минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби , Описание:  минус дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .

 Ответ: а) ) Описание:  левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k,k принадлежит Z ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z ; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи m,m принадлежит Z правая фигурная скобка ; б) Описание:  минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби , минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби , минус дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .

6. а)  Решите уравнение Описание:  минус корень из 2 синус левая круглая скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка умножить на синус x= косинус x.

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Описание:  левая квадратная скобка дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,6 Пи правая квадратная скобка .

Решение. а)  В силу нечетности и периодичности синуса имеем:

Описание:  минус корень из 2 синус левая круглая скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка = корень из 2 синус левая круглая скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка =
Описание: = корень из 2 синус левая круглая скобка 2 Пи плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка = корень из 2 синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка = корень из 2 косинус x.

Далее имОписание:  корень из 2 косинус x умножить на синус x = косинус x равносильно косинус x левая круглая скобка корень из 2 умножить на синус x минус 1 правая круглая скобка =0 равносильно еем:


Описание:  равносильно совокупность выражений косинус x =0, синус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности k принадлежит Z . .

Описание: https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=32547&png=1

 

б)  При помощи числовой прямой или тригонометрической окружности (см. рис.) для каждой из задающих решения серий отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку Описание:  левая квадратная скобка 4,5 Пи ;6 Пи правая квадратная скобка .

Находим три решения: Описание:  дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; 6 Пи минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .

 Ответ: а)  Описание:  левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ; б)  Описание:  дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .

7. а)  Решите уравнение Описание:  косинус 2x=1 минус косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка .

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку Описание:  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби , минус Пи правая круглая скобка .

Решение. а)  Так как Описание:  косинус 2x=1 минус 2 синус в квадрате xи Описание:  косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка = синус x, имеем:

Описание: 1 минус 2 синус в квадрате x=1 минус синус x равносильно 2 синус в квадрате x минус синус x = 0 равносильно
Описание:  равносильно синус x левая круглая скобка синус x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =0.

Описание: https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=31630&png=1

Корни уравнения: Описание: x= Пи k, x= левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени k дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k,k принадлежит Z .

б)  Корни уравнения Описание:  синус x=0изображаются точками A и B, а корни уравнения Описание:  синус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби   — точками C и D, промежуток Описание:  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби , минус Пи правая круглая скобка изображается жирной дугой (см. рис.). В указанном промежутке содержатся три корня уравнения: Описание:  минус 2 Пи ,Описание:  минус 2 Пи плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби = минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби и Описание:  минус Пи минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби = минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .

 

Ответ:а) Описание:  левая фигурная скобка Пи k, левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени k дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ; б) Описание:  минус 2 Пи ; минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .

Критерии проверки:

Ответ: а) Описание:  левая фигурная скобка Пи k, левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени k дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ; б) Описание:  минус 2 Пи ; минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .

500815

а) Описание:  левая фигурная скобка Пи k, левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени k дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ; б) Описание:  минус 2 Пи ; минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .

Источник: Демонстрационная версия ЕГЭ—2013 по математике.

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Формулы двойного угла, Формулы приведения

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

8.   а)  Решите уравнение Описание: 2 синус левая круглая скобка Пи плюс x правая круглая скобка умножить на синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка = синус x.

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Описание:  левая квадратная скобка 3 Пи ; дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

Решение. Описание: https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=49263&png=1а)  Преобразуем уравнение : Описание:  минус 2 синус x умножить на косинус x= синус x равносильно синус x левая круглая скобка 1 плюс 2 косинус x правая круглая скобка =0.Получаем Описание:  синус x=0или Описание:  косинус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,откуда Описание: x= Пи n, x= дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k или Описание: x= минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n, где Описание: n, k, m принадлежит Z .

б)  На отрезке Описание:  левая квадратная скобка 3 Пи ; дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка корни отберем с помощью единичной окружности. Получаем Описание: x=3 Пи , x= дробь: числитель: 10 Пи , знаменатель: 3 конец дроби и Описание: x=4 Пи .

Ответ: а) Описание:  Пи n, дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи m, n, k, m принадлежит Z б) Описание: 3 Пи , дробь: числитель: 10 Пи , знаменатель: 3 конец дроби , 4 Пи .

9. а)  Решите уравнение Описание: 2 косинус в кубе x минус косинус в квадрате x плюс 2 косинус x минус 1 = 0.

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Описание:  левая квадратная скобка 2 Пи ;~ дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

Решение. Описание: https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=111572&png=1Решим уравнение:

Описание: 2 косинус в кубе x минус косинус в квадрате x плюс 2 косинус x минус 1 = 0 равносильно
Описание:  равносильно косинус в квадрате x левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно

 

Описание:  равносильно левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка косинус в квадрате x плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно
Описание:  равносильно совокупность выражений 2 косинус x минус 1=0, косинус в квадрате x плюс 1=0 конец совокупности . равносильно

 

Описание:  равносильно 2 косинус x минус 1 =0 равносильно косинус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно
Описание:  равносильно совокупность выражений x= минус дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i3 плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i3 плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .

б)  Укажем корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Описание:  левая квадратная скобка 2 Пи ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка . Получим точку Описание:  дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .

 

Ответ: а) Описание:  левая фигурная скобка минус дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i3 плюс 2 Пи k, дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i3 плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;б) Описание:  дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .

10. а)  Решите уравнение Описание: 2x косинус x минус 8 косинус x плюс x минус 4=0.

 б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Описание:  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи правая квадратная скобка .

Решение. а)  Имеем:

Описание: 2x косинус x минус 8 косинус x плюс x минус 4=0 равносильно 2 косинус x левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка плюс x минус 4=0 равносильно

 

Описание:  равносильно левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 косинус x плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно
Описание:  равносильно совокупность выражений косинус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,x минус 4=0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=\pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z ,x=4. конец совокупности .

б)  Описание: https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=32613&png=1 При помощи числовой оси отберем корни, принадлежащие отрезку Описание:  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи правая квадратная скобка ,получим число Описание:  дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .

 Ответ: а) Описание:  левая фигурная скобка 4 правая фигурная скобка \cup левая фигурная скобка дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;б) Описание:  дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .

11. а)  Решите уравнение Описание:  синус 8 Пи x плюс 1= косинус 4 Пи x плюс корень из 2 косинус левая круглая скобка 4 Пи x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка .

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Описание:  левая квадратная скобка 2 минус корень из 7; корень из 7 минус 2 правая квадратная скобка .

Решение. а)  Преобразуем уравнение:

Описание: 2 синус 4 Пи x косинус 4 Пи x плюс 1=
Описание: = косинус 4 Пи x плюс корень из 2 левая круглая скобка косинус 4 Пи x косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс синус 4 Пи x синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка

Описание: 2 синус 4 Пи x косинус 4 Пи x плюс 1 минус 2 косинус 4 Пи x минус синус 4 Пи x=0

Описание: 2 косинус 4 Пи x левая круглая скобка синус 4 Пи x минус 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка синус 4 Пи x минус 1 правая круглая скобка =0

Описание:  левая круглая скобка 2 косинус 4 Пи x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка синус 4 Пи x минус 1 правая круглая скобка =0Описание:  равносильно совокупность выражений 2 косинус 4 Пи x=1 синус 4 Пи x=1 конец совокупности равносильно совокупность выражений 4 Пи x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n, n принадлежит Z 4 Пи x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z конец совокупности равносильно
Описание:  равносильно совокупность выражений x=\pm дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: n, знаменатель: 2 конец дроби , n принадлежит Z ,x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: k, знаменатель: 2 конец дроби , k принадлежит Z . конец совокупности

б)  Ограничим каждое полученное решение из пункта «а» и решим эти неравенства:

1)  

Описание: 2 минус корень из 7 меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: n, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно корень из 7 минус 2

Описание:  дробь: числитель: 23, знаменатель: 12 конец дроби минус корень из 7 меньше или равно дробь: числитель: n, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно корень из 7 минус дробь: числитель: 25, знаменатель: 12 конец дроби

 

Описание:  дробь: числитель: 23, знаменатель: 6 конец дроби минус 2 корень из 7\leqslantn меньше или равно 2 корень из 7 минус дробь: числитель: 25, знаменатель: 6 конец дроби \Rightarrow n= минус 1,0,1\Rightarrow x= дробь: числитель: минус 5, знаменатель: 12 конец дроби , дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби , дробь: числитель: 7, знаменатель: 12 конец дроби

2)

Описание: 2 минус корень из 7\leqslant минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: n, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно корень из 7 минус 2

Описание:  дробь: числитель: 25, знаменатель: 12 конец дроби минус корень из 7 меньше или равно дробь: числитель: n, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно корень из 7 минус дробь: числитель: 23, знаменатель: 12 конец дроби

Описание:  дробь: числитель: 25, знаменатель: 6 конец дроби минус 2 корень из 7\leqslantn меньше или равно 2 корень из 7 минус дробь: числитель: 23, знаменатель: 6 конец дроби \Rightarrow
Описание: \Rightarrow n= минус 1,0,1\Rightarrow x= минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 12 конец дроби , минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби , дробь: числитель: 5, знаменатель: 12 конец дроби

3)

Описание: 2 минус корень из 7 меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: k, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно корень из 7 минус 2

Описание: 1.875 минус корень из 7 меньше или равно дробь: числитель: k, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно корень из 7 минус 2.125

Описание: 3.75 минус 2 корень из 7\leqslantk меньше или равно 2 корень из 7 минус 4.25\Rightarrow k= минус 1,0,1\Rightarrow x= минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби , дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби , дробь: числитель: 5, знаменатель: 8 конец дроби

Ответ: а) Описание:  левая фигурная скобка x=\pm дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: n, знаменатель: 2 конец дроби , x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: k, знаменатель: 2 конец дроби :n принадлежит Z ,k принадлежит Z правая фигурная скобка , б) Описание: \pm дробь: числитель: 5, знаменатель: 12 конец дроби , \pm дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби ,\pm дробь: числитель: 7, знаменатель: 12 конец дроби , минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби , дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби , дробь: числитель: 5, знаменатель: 8 конец дроби .

12. а)  Решите уравнение Описание:  косинус 2x минус синус в кубе x умножить на косинус x плюс 1 = синус в квадрате x плюс синус x умножить на косинус в кубе x

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку Описание:  левая круглая скобка минус арктангенс 2; Пи правая круглая скобка .

Решение. Описание: https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=69240&png=1а)  Решим уравнение:

Описание:  косинус 2x минус синус в кубе x умножить на косинус x плюс 1 = синус в квадрате x плюс синус x умножить на косинус в кубе x равносильно

Описание:  равносильно косинус в квадрате x минус синус в квадрате x минус синус в кубе x умножить на косинус x плюс синус в квадрате x плюс косинус в квадрате x = синус в квадрате x плюс синус x умножить на косинус в кубе x равносильно

Описание:  равносильно 2 косинус в квадрате x минус синус в квадрате x минус синус x умножить на косинус x левая круглая скобка синус в квадрате x плюс косинус в квадрате x правая круглая скобка = 0 равносильно

Описание:  равносильно синус в квадрате x плюс синус x умножить на косинус x минус 2 косинус в квадрате x = 0 равносильно
Описание:  равносильно тангенс в квадрате x плюс тангенс x минус 2 = 0 равносильно

Описание:  равносильно совокупность выражений тангенс x = минус 2, тангенс x = 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = минус арктангенс 2 плюс Пи k ,x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .

б)  Отберём корни при помощи тригонометрической окружности. Заданному условию удовлетворяют корни Описание:  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби и Описание:  Пи минус арктангенс 2.

Ответ: а) Описание:  левая фигурная скобка минус арктангенс 2 плюс Пи k ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ; б) Описание:  левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; Пи минус арктангенс 2 правая фигурная скобка .

13. а)  Решите уравнение Описание:  синус дробь: числитель: 7x, знаменатель: 2 конец дроби синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс косинус дробь: числитель: 7x, знаменатель: 2 конец дроби косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = косинус в квадрате 3x.

б)  Найдите все его корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Описание:  левая квадратная скобка Пи ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

Решение. а)  Запишем исходное уравнение в виде:

Описание:  синус дробь: числитель: 7x, знаменатель: 2 конец дроби синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс косинус дробь: числитель: 7x, знаменатель: 2 конец дроби косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = косинус в квадрате 3x равносильно

Описание:  равносильно косинус левая круглая скобка дробь: числитель: 7x, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = косинус в квадрате 3x равносильно
Описание:  равносильно косинус в квадрате 3x минус косинус 3x=0 равносильно косинус 3x левая круглая скобка косинус 3x минус 1 правая круглая скобка =0.

Описание: https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=79597&png=1

Следовательно, Описание:  косинус 3x=0или Описание:  косинус 3x=1,а значит, Описание: x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби k или Описание: x= дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби k, Описание: k принадлежит Z .

б)  Корни, принадлежащие промежутку Описание:  левая квадратная скобка Пи ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка , отберём с помощью

единичной окружности. Получаем: Описание:  дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .

 

Ответ: а) Описание:  левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби k; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ; б) Описание:  дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .

Критерии проверки:

Ответ: а) Описание:  левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби k; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ; б) Описание:  дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .

560137

а) Описание:  левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби k; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ; б) Описание:  дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .

Классификатор алгебры: Сравнение чисел, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители, Тригонометрические формулы суммы или разности аргументов

Методы алгебры: Тригонометрические формулы суммы и разности аргументов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

14.    а)  Решите уравнение Описание:  тангенс x левая круглая скобка \ctg x минус косинус x правая круглая скобка =2 синус в квадрате x.б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Описание:  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус Пи правая квадратная скобка .

Решение. Описание: https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=81110&png=1а)  Запишем исходное уравнение в виде:

Описание:  тангенс x левая круглая скобка \ctg x минус косинус x правая круглая скобка =2 синус в квадрате x равносильно
Описание:  равносильно система выражений 2 синус в квадрате x плюс синус x минус 1=0, косинус x не равно 0 конец системы . равносильно
Описание:  равносильно система выражений совокупность выражений синус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x= минус 1, конец системы . косинус x не равно 0. конец совокупности .

Корни уравнения Описание:  синус x= минус 1не удовлетворяют условию Описание:  косинус x не равно 0.Тогда получаем:

Описание:  синус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .

б)  Отберём корни, принадлежащие промежутку Описание:  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус Пи правая квадратная скобка , с помощью единичной окружности. Получаем Описание:  минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби , Описание:  минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .

 

Ответ: а) Описание:  левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ; б) Описание:  минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби , Описание:  минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .

 

 

 

 

 

 

 

Решить самостоятельно.

1. а)  Решите уравнение Описание:  косинус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2x правая круглая скобка = косинус x. б)  Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку Описание:  левая квадратная скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;4 Пи правая квадратная скобка . 2. а)  Решите уравнение Описание: 2 синус в квадрате левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка = корень из 3 косинус x. б)  Найдите все корни этого уравнения, при  надлежащие промежутку Описание:  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби , минус 2 Пи правая квадратная скобка .

3. а)  Решите уравнение Описание: 4 синус в кубе x =3 косинус левая круглая скобка x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .   б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Описание:  левая квадратная скобка дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби , дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

4. а)  Решите уравнение Описание:  косинус 2x минус корень из 2 косинус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка минус 1=0.   б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Описание:  левая квадратная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;3 Пи правая квадратная скобка .

5. а)  Решите уравнение Описание:  косинус в квадрате левая круглая скобка Пи минус x правая круглая скобка минус синус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =0.

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Описание:  левая квадратная скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 4 Пи правая квадратная скобка .

6. а)  Решите уравнение Описание:  синус 2x минус 2 корень из 3 косинус в квадрате x минус 4 синус x плюс 4 корень из 3 косинус x=0.б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку Описание:  левая квадратная скобка Пи ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

7. а)  Решите уравнение: Описание:  синус x плюс 2 синус левая круглая скобка 2x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка = корень из 3 синус 2x плюс 1  б)  Определите, какие из его корней принадлежат отрезку Описание:  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус 2 Пи правая квадратная скобка .

8. а)  Решите уравнение Описание:  косинус в квадрате левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби минус x правая круглая скобка = косинус в квадрате левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс x правая круглая скобка .  б)  Найдите все его корни, принадлежащие отрезку Описание:  левая квадратная скобка 3 Пи ; дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

9. а)  Решите уравнение Описание: 2 косинус в квадрате левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка = корень из 3 синус x.     б)  Найдите все его корни, принадлежащие отрезку Описание:  левая квадратная скобка минус 3 Пи ; минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

10. а   )  Решите уравнение Описание:  левая круглая скобка 1 минус косинус 2 x правая круглая скобка синус 2 x= корень из 3 синус в квадрате x.

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку Описание:  левая квадратная скобка минус Пи ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка .

 

Ответы.

1. а) Описание:  левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ; б) Описание:  дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Описание:  дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; Описание:  дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .   

2. а) Описание:  левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ; б) Описание:  минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .   

3. а) Описание:  левая фигурная скобка Пи k, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k, дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ; б) Описание:  дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; 4 Пи ; дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .   

4. а) Описание:  левая фигурная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ; б) Описание: 2 Пи ,3 Пи , дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .

5. а) Описание:  левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, Пи плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка . б) Описание:  дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Описание: 3 Пи ;Описание:  дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .   

6. а) Описание:  левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ; б) Описание:  дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .    

7. а) Описание:  левая фигурная скобка Пи k, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ; б) Описание:  минус дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; минус 3 Пи ; минус 2 Пи .  

8. а) Описание:  левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 2 конец дроби :n принадлежит Z правая фигурная скобка ; б) Описание: 3 Пи , дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби , 4 Пи , дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .    

9. а) Описание:  левая фигурная скобка Пи n; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n:n принадлежит Z правая фигурная скобка ; б) Описание:  минус 3 Пи , минус 2 Пи , минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .    

10. а) Описание:  левая фигурная скобка Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;б) Описание:  минус Пи ,Описание:  минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби , Описание:  минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби , 0, Описание:  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби , Описание:  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

Скачано с www.znanio.ru