Решение вероятностных задач с помощью комбинаторики

Решение вероятностных задач с помощью комбинаторикиУчитель математики: Дюпина Е.А.

Если нужно представить комбинацию элементов, в которой порядок расположения элементов не важен, будем записывать эти элементы через запятую. Например: Три друга – А, Б и В – приобрели 2 билета на футбольный матч. Сколько существует различных вариантов посещения футбольного матча для 3 друзей?
Ответ: А,Б; А,В; Б,В; - 3 варианта

Если же порядок расположения элементов в комбинации важен, то отделять элементы друг от друга запятой не будем. Например: Три друга – А, Б и В – приобрели 2 билета на матч на 1-е и 2-е места первого ряда. Сколько у друзей есть вариантов занять эти два места на стадионе? Запишите их.
Ответ: 6 вариантов – АБ; БА; АВ; ВА; БВ; ВБ
АБ и БА – разные пары

Рассмотрим задачу:
Брошены 2 монеты. Какова вероятность того, что появиться 1)два орла; 2)орел и решка?

Таблица вариантов

Из таблицы видно, что число возможных исходов в испытании n= 2*2=4
Событию 1 – появлению 2 орлов благоприятствует один исход (ОО), т.е. m=1, поэтому P(A)= m/n= ¼
Событию 2 – появлению орла и решки благоприятствуют 2 исхода (ОР и РО), т.е. m=2. Тогда P будет ровна m/n = 1/2

Подсчет вариантов с помощью графов

Графы – геометрические фигуры, состоящие из точек (их называют вершинами) и соединяющих их отрезков (их называют ребрами).

Рассмотрим задачу:
В ящике имеется 3 одинаковых по размеру кубика: 2 – черных (ч1 и ч2) и один белый (б). Вытаскивая кубики наугад один за другим, их ставят последовательно на стол. Какова вероятность того, что сначала будут вынуты 2 черных кубика, а последним – белый?

Исходы

ч1

ч2

б

б

ч2

ч2

б

ч1

б

б

ч1

ч1

ч2

ч2

ч1

ч1 ч2 б

Ч1 б ч2

Ч2 б ч1

Б ч1 ч2

Б ч2 ч1

Благоприятствующими будут являться 2 исхода: «ч1 ч2 б» и «ч2 ч1 б», поэтому вероятность события будет равна

2/6 = 1/3

n!

Рассмотрим задачу: Антон, Борис, Виктор и Петр купили 4 билета в театр на 1, 2, 3, 4 места первого ряда. Сколько существует различных способов, которыми мальчики могут занять места?

n!

По правилу произведения, число таких способов равно 4 * 3 * 2 * 1 = 24
Ответ: 24 способа
В этой задаче мы нашли число всевозможных перестановок из 4-х элементов. В комбинаторике число всевозможных перестановок из n элементов обозначают Pn.
Формула: Pn= 1 * 2 * 3 * … * (n – 1) * n.
Произведение первых n натуральных чисел в математике обозначают n!
n! = Pn= 1 * 2 * 3 * … * (n – 1) * n.
Принято считать, что 0! = 1 и 1! = 1

Задачи

Мама решила сварить компот из фруктов 2-х видов. Сколько разных (по сочетанию видов фруктов) вариантов компотов может сварить мама, если у нее имеется 7 видов фруктов?

Задачи

Чтобы попасть из города А в город В, нужно по дороге доехать до реки, а затем переправиться на другой ее берег. До реки можно доехать на мотоцикле, на автобусе, на автомобиле или дойти пешком. Через реку можно переправиться либо вплавь, либо переплыть на лодке, либо – на пароме. Сколько существует различных комбинаций маршрутов из города А в В? Какова вероятность того, что турист сначала доедет до реки на мотоцикле, а потом пересечет реку вплавь?

Задачи

Какова вероятность того, что сумма очков, выпавших на 2 брошенных костях, равна 5?

1

2