РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ

Решение задач с помощью
неполных квадратных уравнений

Цели: продолжить формировать умения решать неполные квадратные уравнения различного вида; формировать умения решать задачи с использованием неполных квадратных уравнений.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

– Вычислите:

а) ;           б) 0,7 · 8;            в)  : 5;            г) ;

д) 6,3 : 7;            е) 1,2 · 6;            ж)  : 3;            з) 0,06 · 7.

III. Математический диктант.

В а р и а н т  1                [В а р и а н т  2]

1. Запишите квадратное уравнение, у которого первый коэффициент равен 3 [–5], второй коэффициент равен –5 [3]. Свободный член равен нулю.

2. Запишите приведённое квадратное уравнение, у которого второй коэффициент и свободный член равны –2 [–3].

3. Запишите неполное квадратное уравнение, у которого первый коэффициент равен –5 [–3], свободный член равен 7 [5], и решите его.

4. Запишите неполное квадратное уравнение, у которого первый коэффициент равен 3 [5], второй коэффициент равен 5 [7], и решите его.

IV. Формирование умений и навыков.

З а д а ч и, решаемые на этом уроке, можно разбить на две группы:

1) Уравнения, сводящиеся к неполным квадратным путём преобразований.

2) Текстовые задачи, решаемые алгебраическим методом с помощью неполных квадратных уравнений.

1-я  г р у п п а.

1)  = 2.

Р е ш е н и е

– Умножив обе части уравнения на 4, получим:

(х – 2)² + 2(х + 1)² = 8.

После преобразований имеем уравнение:

3х² – 2 = 0;

х² = ;

х =.

О т в е т: .

2. .

Р е ш е н и е

– Умножив обе части уравнения на 12, получим:

12х² + 12 – 4 (х² + 3) = 6 (х² + 2) – 3(х² + 4);

12х² + 12 – 4х² – 12 = 6х² + 12 – 3х² – 12;

5х² = 0;

х = 0.

О т в е т: 0.

3.  = (2 – х) (х + 5).

Р е ш е н и е

– Умножив обе части уравнения на 3, получим:

(х – 5)² – 6х + 5 = 3 (2 – х) (х + 5);

х² – 10х + 25 – 6х + 5 = 6х + 30 – 3х² – 15х;

4х² – 7х = 0;

х (4х – 7) = 0;

х = 0     или         4х – 7 = 0;

                              х = .

О т в е т: 0; .

2-я  г р у п п а.

Прежде чем перейти к решению задач, необходимо, чтобы учащиеся проговорили, какие этапы включает в себя решение любой задачи алгебраическим методом.

1. № 524.

Р е ш е н и е

– Последовательные целые числа отличаются на единицу (последующее больше предыдущего).

Пусть х – меньшее  целое  число,  тогда  (х + 1) – последующее  целое число (большее). Произведение этих чисел равно х (х + 1), что составляет х² + х. Зная, что произведение в 1,5 раза больше квадрата меньшего числа, составим уравнение:

х² + х = 1,5х²;

–0,5х² + х = 0;

х (–0,5х + 1) = 0;

х = 0     или         –0,5х + 1 = 0;

                              х = 2.

Очевидно, что х = 0 противоречит условию задачи (произведение чисел будет равно квадрату меньшего числа). Значит, эти числа 2 и 3.

О т в е т: 2; 3.

2. № 526.

Р е ш е н и е

Так как длина стороны квадрата выражается положительным числом, то х = –12 – не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 12 см.

3. № 527.

Р е ш е н и е

(16)² = (5t)² + (4t)²;

256 = 25t² + 16t²;

41t² = 256;

t² = ;

t = ±;

t ≈ ±2,5.

Так как время выражается положительным числом, то t ≈ –2,5 не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: ≈ 2,5 ч.

4. Для сильных в учебе учащихся можно предложить задачу повышенной сложности.

№ 530.

Согласно условию, отношение длины экрана к его ширине равно 4 : 3, это значит, что можно обозначить 4х и 3х длину и ширину экрана соответственно (в дюймах). Диагональ вычисляется по теореме Пифагора:

(25)² = (4х)² + (3х)²;

625 = 16х² + 9х²;

25х² = 625;

х² = 25;

х = ±5.

х = –5 – не удовлетворяет условию задачи. Длина экрана равна 4 · 5 = 20 дюймов, а ширина равна 3 · 5 = 15 дюймов. В сантиметрах эти величины составляют 20 · 2,54 = 50,8 и 15 · 2,54 = 38,1 соответственно.

О т в е т: 20; 15; 50,8; 38,1.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы   у ч а щ и м с я:

– Какое квадратное уравнение называется неполным?

– Какие существуют виды неполных квадратных уравнений и как они решаются?

– Какие этапы выделяются при решении задачи алгебраическим методом?

Домашнее задание: № 532 (б, г), № 525, № 528, № 529.