РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Цели: продолжить формирование умения решать текстовые задачи с помощью составления квадратных уравнений.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Найдите дискриминант квадратного уравнения и определите, сколько корней имеет уравнение:

а) х² + 8х – 3 = 0;                                  в) х² + 6х + 9 = 0;

б) 2х² – х + 10 = 0;                                г) 7х² + 2х + 5 = 0.

2. Решите уравнение:

а) х² = 1600;                   б) х² = 5;                    в) х² = ;

г) х² = 1,44;                     д) х² = 0;                    е) х² = .

III. Формирование умений и навыков.

1. № 570.

Р е ш е н и е

Пусть х – число обезьян в стае, тогда  обезьян спряталось в гроте. Зная, что на виду осталась одна обезьяна, составим уравнение:

 + 1 = х;

 + 9 + 1 – х = 0;

х² – 30х + 250 – 25х = 0;

х² – 55х + 250 = 0;

D = (–55)² – 4 · 1 · 250 = 3025 – 1000 = 2025; D > 0;    2 корня.

x₁ =  = 50;

x₂ =  = 5 – не удовлетворяет условию задачи, так как  – 3 в этом случае – отрицательное число.

О т в е т: 50 обезьян.

2. № 571.

Р е ш е н и е

– Пусть  х – количество  сторон  в  выпуклом  многоугольнике,  тогда
(х + 25) – количество  диагоналей  в  нём.  Зная,  что количество диагоналей (р) связано с количеством сторон (п) по формуле р = , составим уравнение:

х + 25 = ;

2х + 50 = х (х – 3);

2х + 50 = х² – 3х;

2х + 50 – х² + 3х = 0;

5х + 50 – х² = 0;

х² – 5х – 50 = 0;

D = (–5)² – 4 · 1 (–50) = 25 + 100 = 125;    D > 0;    2 корня.

x₁ =  = 10;

x₂ =  = –5.

Так как х выражает число сторон многоугольника, то это не может быть  отрицательное  число,  значит, х₂ = –5  не  удовлетворяет  условию задачи.

О т в е т: в десятиугольнике.

3. № 573.

При решении этой задачи используются элементы комбинаторики, поэтому следует разобрать её с учителем.

Р е ш е н и е

– Пусть х – количество участников турнира, тогда каждый участник играл с (х – 1) участником. Количество комбинаций равно х (х – 1). Но так как в комбинации участвует два человека, а партия одна, то число партий равно . Зная, что всего было сыграно 45 партий, составим уравнение:

 = 45;

х · (х – 1) = 90;

х² – х – 90 = 0;

D = (–1)² – 4 · 1 · (–90) = 1 + 360 = 361;   D > 0;    2 корня.

x₁ =  = 10;

x₂ =  = –9.

Так как х выражает количество участников турнира, то это не может быть  отрицательное  число,  значит,  х₂ = –9  не  удовлетворяет  условию задачи.

О т в е т: 10 участников.

4. № 575.

Р е ш е н и е

– Пусть х, (х + 1), (х + 2) – три последовательных целых числа. Зная, что сумма их квадратов равна 869, составим уравнение:

х² + (х + 1)² + (х + 2)² = 869;

х² + х² + 2х + 1 + х² + 4х + 4 – 869 = 0;

3х² + 6х – 864 = 0;

х² + 2х – 288 = 0;

D₁ = (–1)² – 1 · (–288) = 289;    D₁ > 0;    2 корня.

x₁ = –1 +  = –1 + 17 = 16;

x₂ = –1 –  = –1 – 17 = –18.

Оба корня удовлетворяют условию задачи, значит, это последовательные числа 16; 17; 18 или –18; –17; –16.

О т в е т: 16; 17; 18 или –18; –17; –16.

IV. Проверочная работа.

– Решите задачи:

В а р и а н т  1

1. Два последовательных чётных числа таковы, что квадрат большего из них в 9 раз больше меньшего числа. Найдите эти числа.

2. Одну сторону квадрата уменьшили на 2 см, а другую – на 1 см и получили прямоугольник с площадью 6 см². Найдите длину стороны квадрата. Изобразите квадрат и прямоугольник.

В а р и а н т  2

1. Два последовательных нечётных числа таковы, что квадрат большего из них в 9 раз больше меньшего числа. Найдите эти числа.

2. Одну сторону квадрата увеличили на 2 см, а другую – на 1 см и получили прямоугольник с площадью 12 см². Найдите длину стороны квадрата. Изобразите квадрат и прямоугольник.

П р и м е ч а н и е. В зависимости от уровня подготовки класса можно сократить содержание проверочной работы до одной задачи.

Р е ш е н и е

В а р и а н т  1

1. Пусть х и (х + 2) – два последовательных чётных числа. Зная, что квадрат большего из них в 9 раз больше меньшего числа, составим уравнение:

(х + 2)² = 9х;

х² + 4х + 4 – 9х = 0;

х² – 5х + 4 = 0;

D = (–5)² – 4 · 1 · 4 = 25 – 16 = 9;    D > 0;    2 корня.

x₁ =  = 4;

x₂ =  = 1.

Так как число – чётное, то х₂ = 1 – не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 4; 6.

2. Пусть х см – сторона квадрата, тогда (х – 2) см и (х – 1) см – стороны прямоугольника. Зная, что площадь полученного прямоугольника равна 6 см, составим уравнение:

(х – 2) (х – 1) = 6;

х² – х – 2х + 2 – 6 = 0;

х² – 3х – 4 = 0;

D = (–3)² – 4 · 1 · (–4) = 9 + 16 = 25;   D > 0;    2 корня.

x₁ =  = 4;

x₂ =  = –1.

Так  как  сторона  квадрата  выражается  положительным  числом,  то
х₂ = –1 – не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 4 см.

В а р и а н т  2

1. Пусть х и (х + 2) – два последовательных нечётных числа. Зная, что квадрат большего из них в 9 раз больше меньшего числа, составим уравнение:

(х + 2)² = 9х;

х² + 4х + 4 – 9х = 0;

х² – 5х + 4 = 0;

D = (–5)² – 4 · 1 · 4 = 25 – 16 = 9;    D > 0;    2 корня.

x₁ =  = 4;

x₂ =  = 1.

Так как число – нечётное, то х₁ = 4 – не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 1; 3.

2. Пусть х см – сторона квадрата, тогда (х + 2) см и (х + 1) см – стороны прямоугольника. Зная, что площадь полученного прямоугольника равна 12 см, составим уравнение:

(х + 2) (х + 1) = 12;

х² + х + 2х + 2 – 12 = 0;

х² + 3х – 10 = 0;

D = 3² – 4 · 1 · (–10) = 9 + 40 = 49;    D > 0;    2 корня.

x₁ =  = 2;

x₂ =  = –5.

Так  как  сторона  квадрата  выражается  положительным  числом,  то
х₂ = –5 – не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 2 см.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы   у ч а щ и м с я:

– Какие этапы выделяют при решении задачи алгебраическим методом?

– В чём состоит интерпретация полученного решения задачи?

– Когда полученное решение может противоречить условию задачи?

– Какие решения, полученные на сегодняшнем уроке, вы интерпретировали как противоречащие условию задачи?

Домашнее задание: № 569, № 572, № 574, № 578 (б).