РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ1

Решение задач с помощью
дробных рациональных уравнений

Цели: формировать умение решать текстовые задачи с помощью дробных рациональных уравнений.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

– Найдите:

а) 50 % от 42;                            е) 20 % от 55;

б) 1 % от 300;                            ж) 50 % от 31;

в) 2 % от 200;                            з) 3 % от 90;

г) 10 % от 35;                             и) 10 % от 7;

д) 25 % от 280;              к) 25 % от 84.

III. Проверочная работа.

В а р и а н т  1

Числитель обыкновенной дроби на 4 меньше её знаменателя. Если к числителю этой дроби прибавить 19, а к знаменателю 28, то она увеличится на . Найдите эту дробь.

В а р и а н т  2

Знаменатель несократимой обыкновенной дроби на 4 больше её числителя. Если числитель этой дроби увеличить на 2, а знаменатель – на 21, то дробь уменьшится на . Найдите эту дробь.

IV. Формирование умений и навыков.

На этом уроке следует разнообразить содержание текстовых задач. Следует прорешать задачи на движение, на работу, на концентрацию. Учащимся необходимо продемонстрировать важность этапа анализа условия задачи, удобство и универсальность таблиц и схем для записи связи исходных и требуемых величин.

1. № 622.

Р е ш е н и е

А н а л и з:

По условию  меньше  на 0,4 га.

Пусть х ц/га – урожайность пшеницы в хозяйстве в прошлом году, тогда (х + 2) ц/га – урожайность пшеницы в этом году. В прошлом году под пшеницу занято  га, в этом  га. Зная, что в этом году эта площадь была меньше на 0,4 га, составим уравнение:

 = 0,4;                   ОДЗ: х ≠ 0, х ≠ –2.

192(х + 2) – 192х = 0,4х(х + 2);

384 – 0,4х² – 0,8х = 0;

х² + 2х – 960 = 0;

D₁ = 1 + 960 = 961, D₁ > 0, 2 корня.

x₁ = –1 +  = –1 + 31 = 30;

x₂ = –1 –  = –1 – 31 = –32 – не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 30 ц/га.

2. № 625.

Р е ш е н и е

А н а л и з:

В действительности  больше  на 10 шиллингов.

Пусть х человек обедало, тогда (х – 2) человек оплачивали поровну весь обед.  шиллингов заплатил бы один человек, если бы деньги были у всех едоков, а  шиллингов заплатил каждый человек с деньгами в действительности. Зная, что каждому пришлось уплатить на 10 шиллингов больше, составим уравнение:

 = 10;                                ОДЗ: х ≠ 0, х ≠ 2.

175х – 175(х – 2) = 10х(х – 2);

350 – 10х² + 20х = 0;

х² – 2х – 35 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, х₁ = 7, х₂ = –5 – не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 7 человек.

3. № 630.

Перед решением задачи необходимо вспомнить, что такое концентрация вещества в растворе (сплаве, слитке, смеси и т. п.).

                                                     , где k – концентрация вещества в процентах, т₁ – масса вещества, т – общая масса.

Также необходимо вспомнить, что для содержащегося вещества мы можем указывать как его относительное содержание в растворе (в процентах или в долях), так и абсолютное содержание (в граммах, тоннах, литрах и т. п.). Как правило, в текстовых задачах на концентрацию мы составляем уравнение по зависимости между абсолютным и относительным количеством вещества.

Р е ш е н и е

А н а л и з:

По условию  ∙  100 % меньше  ∙  100 % на 1 %.

Пусть х г – первоначальная масса раствора, тогда (х + 100) г – масса нового раствора. Концентрация соли первоначально составляла  ∙  100 % , затем  стала  ∙  100 %.  Зная,  что  концентрация  соли  снизилась  на 1 %, составим уравнение:

 ∙  100 –  ∙  100 = 1;                     ОДЗ: х ≠ 0, х ≠ –100.

30(х + 100) – 30х = 0,01х(х + 100);

3000 = 0,01х² + х;

0,01х² + х – 3000 = 0;

D = 1 + 4 · 0,01 · 3000 = 121, D > 0, 2 корня.

х₁ =  = 500;

х₂ =  = –600 – не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 500 г.

4. № 627, № 629. В классе только проанализировать условие и составить уравнение. Уравнения дорешать дома.

Перед решением задач нужно вынести на доску табличку:

Р е ш е н и е

№ 627.

А н а л и з:

По условию  больше  на 1 час.

Пусть х км/ч – собственная скорость лодки, тогда (х – 2) км/ч – скорость лодки при движении против течения.  ч турист плыл на лодке против течения, а  ч – он плыл на лодке по озеру. Зная, что на путь по озеру он затратил на 1 час больше, составим уравнение:

 –  = 1;                        ОДЗ: х ≠ 0, х ≠ 2.

15(х – 2) – 6х = х(х – 2);

15х – 30 – 6х – х² + 2х = 0;

х² – 11х + 30 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, х₁ = 5, х₂ = 6. Оба корня удовлетворяют условию задачи.

О т в е т: 5 км/ч или 6 км/ч.

№ 629.

А н а л и з:

По условию t₁ + t₂ = 3 ч.

Пусть х км/ч – скорость течения реки, тогда против течения катер шёл со скоростью (20 – х) км/ч, а по течению – (20 + х) км/ч. Против течения он шел  ч, а по течению  ч. Зная, что на весь путь катер затратил 3 часа, составим уравнение:

 +  = 3;                         ОДЗ: х ≠ 20, х ≠ –20.

36(20 + х) + 22(20 – х) = 3(20 – х)(20 + х);

720 + 36х + 440 – 22х = 1200 – 3х²;

3х² + 14х – 40 = 0;

D₁ = 7² + 3 · 40 49 + 120 = 169, D₁ > 0, 2 корня.

х₁ =  = 2;

х₂ =  – не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 2 км/ч.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы   у ч а щ и м с я:

– Назовите основные этапы решения текстовой задачи алгебраическим методом.

– Какие способы схематичной записи условия задачи вы знаете?

– В чём особенности решения задач на концентрацию?

– В чём особенности решения задач на движение, если в тексте идёт речь о движении по реке?

Домашнее  задание:  № 626,  № 628,  № 627  (дорешать  уравнение),
№ 629 (дорешать уравнение).