Решение заданий "Текстовые задачи"

Для учителей математики не секрет, что решение текстовых задач вызывает у учащихся трудности, в каком бы возрасте они не находились. Трудности связаны элементарно с прочтения текста задачи, у  значительного процента школьников средней школы не сформировано умение читать и понимать текст одновременно. Понятно, что дефицит такого качества чтения делает весьма затруднительным выбор структурированной информации и поиск нужной стратегии при решении, сформулированной в  виде сюжетного смыслового текста учебной задачи.

Текстовые задачи являются традиционным разделом на экзамене по математике . Как правило, основная трудность при решении текстовой задачи состоит в переводе её условий на математический язык уравнений. Общего способа такого перевода не существует. Однако многие задачи ОГЭ, достаточно типичны. Можно разделить их на такие группы:

Задачи на движение

• по прямой (навстречу и вдогонку)
• по замкнутой трассе
• по воде
• на среднюю скорость
• протяженных тел

Задачи на производительность

• задачи на работу
• задачи на бассейны и трубы

Задачи на проценты, концентрацию, части и доли

• Задачи на проценты и доли
• Задачи на коцентрацию, смеси и сплавы

Арифметическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

Методы решения этих задач имеют много общего и одновременно некоторые специфические особенности

Весь процесс решения задач можно разбить на несколько этапов.

1-й этап: анализ условия;
2-й этап: схематическая запись;
3-й этап: поиск способа решения;
4-й этап: осуществление решения;

5-й этап: проверка решения;
6-й этап: исследование задачи;
7-й этап: формулировка ответа;
8-й этап: анализ решения.
Анализируя программу по математике  тему «Решение задач» можно увидеть  с  5 по 8 класс, однако времени на их решение отводиться по программе очень мало : например  7 класс : 3-4 часа в теме «Уравнения» и 3 часа в теме «Системы уравнений» . 8 класс -4 часа отводится на решение задач в теме «Квадратные уравнения». В 9 классе темы решения задач нет, ее учителя вносят в повторение курса алгебры , при подготовке к ОГЭ.  В 10-11 классах темы Решение задач нет, хотя текстовая задача  присутствует в ЕГЭ.

Рассмотрим более подробно каждый этап решения задачи.

1. Анализ задачи.  Назначение этапа — осмыслить си­туацию, отраженную в задаче; выделить условия и требования, назвать данные и искомые, выделить величины и зависимости между ними (явные и неявные). На этом этапе решения задачи можно использовать такие приемы:

а) представление той жизненной ситуации, которая описана в задаче;

б) постановка специальных вопросов и поиск ответов на них;

в) «переформулировка» задачи;

г) моделирование ситуации, описанной в задаче, с помощью реальных предметов, предметных или графических моделей и др.

Первый прием — представление той жизненной ситуации, ко­торая описана в задаче, — выполняется фактически при чтении или слушании задачи. Вместе с тем мысленное воспроизведение всех объектов задачи и связей между ними может проводиться и позже. Цель такого воспроизведения — выявление основных коли­чественных и качественных характеристик ситуации, представлен­ной в задаче.

Второй прием — постановка специальных вопросов и поиск ответов на них — включает следующий «стандартный» набор во­просов, ответы на которые позволяют детально разобраться в содержании задачи:

1.      О чем говорится в задаче?

2.      Что известно в задаче?

3.      Что требуется найти в задаче?

4.      Что в задаче неизвестно? и др.

Третий прием — переформулировка текста задачи — состоит в замене данного в задаче описания некоторой ситуации другим описанием, сохраняющим все отношения, связи, качественные характеристики, но более явно их выражающим. Вся лишняя, несущественная информация при этом отбрасывается, текст задачи преобразуется в форму, облегчающую поиск пути решения. В ходе переформулировки выделяются основные ситуации, о которых идет речь в задаче, при необходимости строится вспомогательная модель задачи: краткая запись условия, таблица, рисунок, чертеж, диаграмма и т.п.

Моделирование ситуации, описанной в задаче, с помощью реальных предметов, предметных моделей или графических моделей является еще одним, четвертым, приемом анализа задачи.

Вспомогательные модели являются действенным средством по­иска пути решения задачи и составления плана ее решения.

Рассмотрим задачи, которые вызывают трудности у учащихся:

Во-первых это задачи на проценты.

Тема «Решение задач на проценты» проходят в 5-6 классах , но назвать эту тему легкоусвояемой нельзя поэтому перед учителем математики стоит непростая задача: научить обучающихся общим подходам в решении задач на проценты. Этого можно достигнуть только при систематической работе с учениками над этой темой с 5-го по 11-й класс

Существует три основных вида задач на проценты:

1.    Найти число а, составляющее п процентов от числа Ь.
Решение: а =   п/100   * Ь

          

2.   Обратная задача: найти число Ь, если п процентов от него равно а.
Решение: Ь = а  : п/100

      3. Найти, сколько процентов составляет число а от числа Ь.

          Решение: п = а/Ь * 100.

Большинство учащихся с легкостью  скажут заученную фразу , что процент от числа находится умножением ,а число по величине его процента находится делением , но почему то встречаясь с задачами на проценты возникает ступор.

Типичные задачи ,в которых учащиеся испытывают затруднения, хотя уровень этих задач невысок, именно на эти  задачи необходимо обращать внимание учащихся ,обращаясь к ним вновь и вновь.

1.Мясо теряет при варке около 35% своего веса. Сколько нужно сырого мяса, чтобы получить 520 гр. вареного?

 Решение:

Пусть х гр. - масса сырого мяса 0.35х – теряет  при варке.

 По условию:

х-0,35х=520

х=520/0,65=800 (гр.)

 Ответ: нужно взять 800гр. сырого мяса.

2.Вкладчик положил в банк некоторую сумму денег под 30% годовых. Через год он получил прибыль в 7500 руб. Найдите величину вклада.

Решение:

30% - это 0,3;

7500:0,3=25 000 (руб.)

Ответ: 25 000 руб.

 

3.Сумма двух чисел равна 120. Найти эти числа, если 40% одного равны 60%

другого.

Решение:

Основная идея решения состоит в том, чтобы на основании условия задачи

составить уравнение.

Пусть х - одно число, тогда (120-х) - другое число. По условию задачи:

0,4х=0,6(120-х)

х=72

120-72=48

Ответ: 72 и 48.

4. После повышения цены на 30% книга стала стоить 52 руб. Сколько стоила книга до повышения цены?

Решение:

Первоначальная цена книги составляет 100%.

Поэтому52руб., т.е.     цена     после    подорожания,     составляет    

 100%+30%=130%     от первоначальной цены. Теперь можно решить задачу на нахождение величины по известному ее проценту.

 Рассуждать можно по-разному:

1)1%- это 52:130=0,4 руб., а 100% - это 0,4*100=40 руб.;

2)           10% - это 52:13=4 руб., а 100% - это 4*10=40 руб.;

3)           130% - это 1,3, поэтому 52 руб. составляют 1,3

первоначальной цены, а поэтому первоначальная цена равна 52:1,3=40 руб.

Более удобное рассуждение в этой задаче –это решать ее с помощью уравнения

Пусть х-цена книги до повышения, тогда 0,3х- на столько цена повысилась,

и стала  х+0,3х=1,3х ,что по условию 52руб.

уравнение:

1,3х=52

Х=40

 

 

5.Виноград содержит 90% влаги, а изюм — 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 20 килограммов изюма?

 Задачи о продуктах все одинаковы: то есть такая, где из винограда получается изюм, из абрикосов урюк, из хлеба сухари или из молока творог —  а на самом деле это задача на растворы. Виноград мы тоже можем условно изобразить как раствор. В нем есть вода и «сухое вещество». У «сухого вещества» сложный химический состав, а по его вкусу, цвету и запаху мы могли бы понять, что это именно виноград, а не картошка. Изюм получается, когда из винограда испаряется вода. При этом количество «сухого вещества» остается постоянным. В винограде содержалось  воды, значит, «сухого вещества» было . В изюме  воды и  «сухого вещества». Пусть из  кг винограда получилось  кг изюма.

Тогда

 от  от 

 уравнение:

Ответ: .

6.Имеется два сплава. Первый сплав содержит  никеля, второй —  никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой  кг, содержащий  никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Пусть масса первого сплава равна x, а масса второго равна y. В результате получили сплав массой .

Запишем простую систему уравнений:

Первое уравнение — масса получившегося сплава, второе — масса никеля.

Решая, получим, что .

Ответ: .

Однако задачи такого плана легче решаются нестандартными методами. Задачам подобного типа уделялось значительное внимание в старинных рукописях и «Арифметике» Леонтия Филипповича Магницкого. Данный способ позволяет получить правильный ответ за очень короткое время и с минимальными усилиями решение производится по правилам креста или квадрат Пирсона

 

Пусть требуется приготовить раствор определенной концентрации. В распоряжении имеется два раствора с более высокой и менее высокой концентрацией, чем нужно.

                   Если обозначить массу первого раствора через m ₁, а второго – через m ₂, то при смешивании общая масса смеси будет складываться из суммы этих масс.

                   Пусть массовая доля растворённого вещества в первом растворе –   ω ₁, во втором –  ω ₂, а в их смеси –  ω ₃. Тогда общая масса растворённого вещества в смеси будет складываться из масс растворённого  вещества в исходных растворах:

m ₁ ω ₁ + m ₂ ω ₂ = ω ₃(m ₁ + m ₂),

                                                               m ₁(ω ₁ –  ω ₃) = m ₂(ω ₃ –  ω ₂),

                                                        

                   Очевидно, что отношение массы первого раствора к массе

второго раствора есть отношение разности массовых долей растворённого

вещества в смеси и во втором растворе к разности соответствующих

величин в первом растворе и в смеси.

При решении задач на растворы с разными концентрациями чаще всего применяют диагональную схему правила смешения или квадрат Пирсона.

            При расчётах записывают одну над другой массовые доли растворённого вещества в исходных растворах, справа между ними – его массовую долю в растворе, который нужно приготовить, и вычитают по диагонали из большего меньшее значение.

            Разности их вычитаний показывают массовые доли для первого и второго растворов, необходимые для приготовления нужного раствора.

 

ω₁                      ω₃ — ω₂ 

             ω₃       

 ω₂                      ω₁  — ω₃ 

Например:

7.Имеется два сплава меди и олова. Один сплав содержит 72% меди, а другой 80% меди. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 800 г сплава, содержащего 75% меди?

 

72                      80-75=5

             75                                   800:( 5+3)=100г приходится на одну часть

                                                      

 80                      75-72=3

 

для получения 800 г 75%-ного сплава нужно взять: 72%-ного сплава 100·5 = 500 г,

а 80%-ного  100·3 = 300 г.

Ответ:500 г, 300 г.

8.Морская вода содержит 5% соли (по массе). Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составила 1,5%?

Ответ: 7 килограммов.

 

Задачи этого типа служат базовыми для успешного усвоения учащимися методов решения других, более сложных задач на проценты.

Еще один тип задач , который вызывает у учащихся трудности это задачи на нахождение среднего значения .

 Например задачи на среднюю скорость- это целый класс задач на движение, которые включены в экзамен по математике. Задачи простые, важно понять и запомнить формулу:

Если участков пути было два, тогда 

Если три, то соответственно:

и так далее.

9.Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 61 км/ч, а вторую половину времени – со скоростью 87 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Чтобы найти среднюю скорость нужно весь путь разделить на всё время движения.

В задаче сказано о двух участках пути, тогда среднюю скорость будем искать по формуле:

Пусть на весь путь автомобиль затратил t часов.

 За первую половину времени со скоростью 61 км/ч автомобиль прошёл 0,5∙t∙61 километров, а за вторую половину времени 0,5∙t∙87 километров, тогда:

Ответ: 74

10.Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 90 км/ч, вторую треть – со скоростью 60 км/ч, а последнюю – со скоростью 45 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Чтобы найти среднюю скорость нужно весь путь разделить на всё время движения. В задаче сказано о трёх участках пути. Будем использовать по формулу:

Обозначим весь пусть S. Тогда первую треть пути автомобиль ехал:

Вторую треть пути автомобиль ехал:

Последнюю треть пути автомобиль ехал:

Таким образом

Ответ: 60км/ч.

 

11.Первый час автомобиль ехал со скоростью 100 км/ч, следующие два  часа – со скоростью 90 км/ч, а затем два часа – со скоростью 80 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Чтобы найти среднюю скорость нужно весь путь разделить на всё время движения. В задаче сказано о трёх участках пути.

среднюю скорость будем искать по формуле:

Исходя из условия мы можем определить протяжённость каждого участка:

Первый участок пути составил 1∙100 = 100 километров.

Второй участок пути составил 2∙90 = 180 километров.

Третий участок пути составил 2∙80 = 160 километров.

Находим скорость:

Ответ: 88 км/ч

Единственная небольшая сложность в подобных задачах – это когда отрезки пути или время заданы неявно. в этом случае их необходимо найти используя основную формулу движения:

А затем полученные данные необходимо подставить в формулу средней скорости.

 

 

 Задачи с развернутым ответом.

 К решению этих задач приступают не многие учащиеся. Примерно 26 % учащихся справляются с заданием.

Решение задач – это сложная работа. Обучение решению текстовых задач - это специально организованное взаимодействие учителя и учащихся, целью которого является формирование у учащихся умения решать и понимать задачи.

В задачах на движение используются обычно формулы, выражающие законы равномерного движения: S=V·t , где S- пройденное расстояние, V- скорость равномерного движения, t - время движения.

При составлении уравнений в таких задачах часто бывает удобно прибегнуть к геометрической иллюстрации процесса движения: путь изображается в виде отрезка прямой, место встречи движущихся с разных сторон объектов точкой на отрезке и т.д.

Часто для усложнения задачи её условие формулируется в различных единицах измерения(метры, километры, часы, минуты и т.д.). В этом случае при выписывании уравнений необходимо пересчитывать все данные задачи в одинаковых единицах измерения.

Между величинами, описывающими равномерное движение и величинами, характеризующими процесс работы, имеется полная аналогия.

Рассмотрим еще  примеры решения задач из  Открытого банка заданий для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ по математике:

 

12. Маша спустилась по движущемуся вниз эскалатору за 36 секунд. По неподвижному эскалатору с той же скоростью относительного него она спустится за 1 минуту 3 секунды. За сколько секунд она спустится, стоя на ступеньках движущегося эскалатора?

Основная проблема данной задачи — неизвестно общее расстояние, т.е. длина эскалатора. В некотором смысле эта задача очень похожа на движение по воде: при спуске скорости эскалатора и человека складываются. Однако, в отличие от задач на движение, здесь недостаточно просто решить систему — требуется еще и понять, какую именно величину записывать в ответ.

Пусть х – скорость Маши ,а у- скорость эскалатора

	расстояние	скорость	время
Бежит по эскалатору у  не равно 0	1	х+у	1/(х+у)=36
Бежит по эскалатору У=0	1	х	1/х=63
Стоит на эскалаторе	1	у	1/у

Получаем систему уравнений

1/(х+у)=36

1/х=63

Решая эту систему находим у ,а затем 1/у

Ответ : 84сек.

Еще одна задача про эскалатор

 13.Вовочка сбежал вниз по движущемуся вниз эскалатору и насчитал 45 ступенек. Затем он пробежал вверх по тому же эскалатору с той же скоростью относительно эскалатора и насчитал 105 ступенек. Сколько ступенек насчитал бы Вовочка, спустившись по неподвижному эскалатору?

	расстояние	скорость	время
Бежит вниз по эскалатору у  не равно 0	1	х+у	1/(х+у)=45
Бежит  вверх по эскалатору у не равно 0	1	х-у	1/(х-у)=105
Стоя ,спускаясь вниз	1	х	1/у

В таких задачах 1 ступенька – 1 секунда движения , относительно эскалатора Вовочка движется с одной и той же скоростью, это значит ,куда бы он не двигался каждую ступеньку эскалатора он пробегает за одно и то же время ,чему равно это время это не важно, потому что итоговое расстояние ему нужно пробежать одно и то же.

Получаем систему

 1/(х+у)=45

1/(х-у)=105

Ответ: 63 ступеньки.

 Данная задача очень похожа на задачи про движение по воде. Здесь так же есть две скорости: скорость Вовочки и скорость движения самого эскалатора. Так же, как и в задачах про воду, при движении вниз скорости складываются, а вверх — вычитаются. И даже таблица заполняется примерно в такой же последовательности. Поэтому эскалатор, можно заменить на движение по воде — с точки зрения математики это одно и тоже, поэтому ответ получится одинаковым.

14.Поезд, дви­га­ясь рав­но­мер­но со ско­ро­стью 75 км/ч, про­ез­жа­ет мимо пе­ше­хо­да, иду­ще­го па­рал­лель­но путям со ско­ро­стью 3 км/ч нав­стре­чу по­ез­ду, за 30 се­кунд. Най­ди­те длину по­ез­да в мет­рах.

Первое на что надо обратить внимание учащихся , это то, что дано время  30 секунд, которые необходимо перевести в часы. Длина поезда это ни что иное, как расстояние ,которое считается по формуле ( V1+V2)*t

(75+3)*30/3600=0,65км=650 м

Ответ :650м

Если пешеход идет параллельно путям в том же направлении что и едет поезд , то в формуле будет разность скоростей.