Решение задач с помощью квадратных уравнений

В этом материале рассматриваются решение задач с помощью квадратных уравнений, а также решение их с помощью таблицы. Обучающиеся повторяют тему: Решение квадратных уравнений (дискриминант). Есть задачи для самостоятельного решения. Такие задачи включены в экзамен ОГЭ по математике, что подготавливает обучающихся.

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Решение задач Решение задач с помощью квадратных уравнений с помощью квадратных уравнений

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Необходимость решать квадратные еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения вавилоняне умели решать еще около 2000 лет до н. э. правило решения этих уравнений, изложенное в Вавилонских текстах, совпадает по существу с современными, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила.

Решение задач с помощью квадратных уравнений

древнегреческий математик из Александрии Он собирал известные и придумывал новые задачи, а позднее объединил их в большом труде под названием «Арифметика». Из тринадцати книг, входивших в состав «Арифметики», только шесть пережили хаос Средних веков и стали источником вдохновения для математиков эпохи Возрождения. Остальные семь книг погибли в результате цепочки трагических событий, которые отбросили математику к временам древних вавилонян. В верхней строке записано уравнение Лист из Арифметики

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в”Книге об абаке”, написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и Германии, Франции и других странах Европы.

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Этот вывод и был сформулирован впервые Этот вывод и был сформулирован впервые Франсуа французским математиком Франсуа французским математиком Виетом, который все знают как Виетом Виета Виета теорема , который все знают как теорема В приведенном квадратном уравнении сумма корней уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение его корней равно свободному коэффициенту x1 + x2 = –p x1 • x2 = q

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Но общее правило решения квадратных уравнений, при всевозможных комбинациях коэффициентов b и c было сформулировано в Европе лишь в 1544 году немецким математиком М.Штифелем.

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Спортивная площадка площадью 1800кв.м имеет форму прямоугольника, длина которого на 5м больше ширины. Найдите размеры площадки.

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Х м х м ширина площадки, (х+5)м длина площадки, S=х(х+5). х(х+5)=1800, х2+5х1800=0, D=25+7200=7225>0, х=(5±85):2, х1=45 не удовлетворяет условию задачи, х2=40, х+5=45 Ответ: 40м и 45м

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Задача №2 Задача №2 Найти два последовательных натуральных числа, произведение которых равно 132. Пусть х и х+1 – неизвестные числа, тогда х(х+1)=132, х2 + х 132=0, D=1+528=529>0, х=(1±23):2, х1=12 не удовлетворяет условию задачи, х2=11, х+1=12. Ответ: 11 и 12. Справка. Натуральные числа: 1,2,3,4,5,6,7,…

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Задача №3 Задача №3 Найти два последовательных нечетных числа, если их произведение равно 195. Пусть х и х+2 – искомые числа, тогда х(х+2)=195, х2+2х195=0, D=1+195=196>0, х=1±14, х1=15не удовлетворяет условию задачи, х2=13, х+2=15. Ответ: 13и15. Справка. Нечетные числа: 1,3,5,7,9,11,..

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Задача №4 Периметр прямоугольника Задача №4 Периметр прямоугольника равен 10 м, площадь6 м22. Найти его стороны. . Найти его стороны. равен 10 м, площадь6 м Пусть а и b – стороны прямоугольника, тогда Р=2(а+b), 2(а+b)=10, а+b=5, а=5b; S=b(5b), 5bb2 =6, b2 5b+6=0, D=2524=1>0, b=(5±1):2, b1=3, b2=2; а1=2, а2 =3. Ответ: 2м и 3м.

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Задача5.Индусская задача Задача5.Индусская задача «На две партии разбившись Забавлялись обезьяны. Часть восьмая их в квадрате В роще весело резвилась Криком радостным двенадцать Воздух свежий оглашали... Вместе сколько ты мне скажешь, Обезьян там было в роще?»

Решение задач с помощью квадратных уравнений

решение решение Задача имеет два решения

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Задача №6 Задача №6 Определите стороны прямоугольного поля площадью 140 га, если одна его сторона на 400 м больше другой. Справка 1га=10000м²

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Х м решение решение хм – сторона поля; (х+400)м другая сторона. По условию площадь 1400000м2. Составим уравнение. х(х+400)=1400 000, х 2 + 400 х – 1400 000=0, D = 160000 + 5600 000 = 5760000 х1 =1000, х2 =1400. Ответ. 1000м, 1400м.

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Задача №6 Задача №6 Расстояние между городами скорый поезд, идущий со скоростью 90 км/ч, проходит на 1,5 ч быстрее товарного, который идет со скоростью 60 км/ч. Каково расстояние между городами?

Решение задач с помощью квадратных уравнений

решение решение х км/чрасстояние между городами; х/90 чвремя скорого поезда; х/60 чвремя товарного поезда; х/90 меньше х/60 на 1,5часа. Составим уравнение: х/60 х/90 = 3/2; 3х2х=270; х=270. Ответ. 270 км.

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Задача №7 Задача №7 Ученику и мастеру дано задание изготовить одинаковое количество деталей. Мастер, изготовляя 18 деталей в час, затратил на выполнение задания на 3 ч меньше, чем ученик, который изготавливал лишь 12 деталей в час. Сколько деталей было заказано?

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Решение. . Решение хвся работа; х/18 ч. время затраченное мастером; х/12 ч. время затраченное учеником; х/18 меньше х/12 на 3 часа. Составим уравнение: х/12 – х/18 = 3; 3х2х=108; х=108. Ответ.108 деталей.

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Задача №8 Задача №8 Автобусэкспресс отправился от вокзала в аэропорт, находящийся на расстоянии 60км от вокзала. Пассажир, опоздавший на 5 минут на автобус, решил добраться до аэропорта на такси. Скорость такси на 10км/ч больше скорости автобуса. С какой скорость ехал автобус, если он приехал в аэропорт одновременно с такси?

Решение задач с помощью квадратных уравнений

решение решение Скорость Скорость Время Время (км/ч) (км/ч) Автобус Автобус Х Х (ч)(ч) 60/Х 60/Х ПутьПуть (км) (км) 60 60 Такси Такси Х+10 Х+10 60/(Х+10 ) 60/(Х+10 ) 60 60

Решение задач с помощью квадратных уравнений

60/(х+10) меньше 60/х на1/12. Составим уравнение: 60/х 60/(х+10)=1/12; 720(х+10)720х=х(х+10); 720х+7200720х= х²+10х; х²+10х7200=0; D=28900; x1=90 не удовлетворяет условию задачи; х2= 80. Ответ. 80 км/час.

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Задача №9 Задача №9 Для вывоза песка из карьера в автопарке было заказано несколько одинаковых грузовых автомобилей. Руководство автопарка решило, что на каждую машину можно погрузить на одну тонну груза больше, чем рассчитывали, и поэтому прислало на 4 машины меньше. В итоге все 80 тонн песка были вывезены. Сколько машин было заказано в автопарке?

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Тоннаж Тоннаж машин машин (т) (т) Число Число МашинМашин (шт) (шт) Общий Общий груз груз (т)(т) Заказано Заказано 80/х80/х х х На самом На самом 80/(х4) 80/(х4) х4х4 деле деле 8080 8080

Решение задач с помощью квадратных уравнений

== 80/(х4) больше 80/х на 1 тонну. Составим уравнение: 80/(х4)80/х=1; 80х80х+320 = х²4х; х²4х320=0; D=1296; x 1=16 –не удовлетворяет условию задачи; х2 =20. Ответ. 20 машин.

Решение задач с помощью квадратных уравнений

1. Ученик решил прочитать книгу, содержащую 480 страниц, за несколько дней. Но каждый день он читал на 20 страниц больше, чем предполагал, и поэтому прочитал книгу на 4 дня раньше. За сколько дней была прочитана книга? 2.Теплоход прошёл 18 км по озеру и 40 км по течению реки за 2 ч. Найдите скорость теплохода при движении по озеру, если скорость течения реки равна 3 км/ч. 3.Расстояние между городами скорый поезд, идущий со скоростью 90 км/ч, проходит на 1,5 ч быстрее товарного, который идет со скоростью 60 км/ч. Каково расстояние между городами?

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Ответы: Ответы: 1. 480/(х4) – 480/х = 20; х = 8 2. 18/х + 40/(х+3) = 2, х = 27 3. 270км

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Решение задач. Решение задач. №1. х страниц предполагал читать ученик в день, 480/х дней предполагал ученик читать книгу, (х+20) страниц читал ученик в день, 480/(х+20) дней читал ученик книгу, 480/х 480/(х+20) =4, 480(х+20)480х=4х(х+20), 120(х+20)120х=х(х+20), 120х+2400120х=х2+20х, х2+20х2400=0, D1=100+2400=2500>0, х=10±50, х1=60 не удовлетворяет условию задачи, х2=40, х+20=60, 480:60=8(дней) читал ученик книгу. Ответ: 8 дней.

Решение задач с помощью квадратных уравнений

№2 х км/чскорость теплохода по озеру, 18/х ч шёл теплоход по озеру, (х+3)км/ч – скорость теплохода по течению реки, 40/ (х+3)ч шёл теплоход по реке, 18/х+ 40/ (х+3)=2, 18 (х+3)+40х=2х (х+3), 9(х+3)+20х=х(х+3), 9х+27+20х=х2+3х, х2 26х27=0, D1=169+27=196>0, х=13±14, х1=1 не удовлетворяет условию задачи, х2=27. Ответ: 27 км/ч

Решение задач с помощью квадратных уравнений

№№3.3. х км расстояние между городами; х/90 ч затратил скорый поезд на весь путь; х/60 ч затратил грузовой поезд на весь путь; х/60 > х/90 на 1,5; х/60х/90=1,5; умножим обе части уравнения на 180, получим 3х2х=270; х=270. Ответ: 270км

Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.

20.04.2019