В старину решали деды

(Старинные задачи)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 КЛАСС

Уравнения

1. «Кому пасти овец?» (задача из старинной русской руко­писи XVII века).

У пятерых крестьян - Ивана, Петра, Якова, Михея и Гаври­лы - было 10 овец. Не могли они найти пастуха и решили пасти по очереди: по столько дней, сколько овец у каждого.

Известно, что у Ивана овец было вдвое меньше, чем у Петра, у Якова в два раза меньше, чем у Ивана, Михей имеет овец вдвое больше, чем Яков, а Гавриил - вчетверо меньше, чем Пётр. Смекни-ка, по скольку дней следует пасти овец каждому?

2. Старинная задача.

Летела стая гусей, а навстречу ей - один гусь. Говорит гусь: «Здравствуйте 100 гусей!». А вожак стаи в ответ: «Нас не 100 гусей. Вот было бы нас столько, сколько теперь, да ещё столько, да ещё полстолько, да четверть столько, да ещё ты, гусь, вот то­гда нас было бы 100 ». Сколько в стае гусей?

3. Старинная русская задача.

Вопросил некто некоего учителя: «Сколько имеешь учени­ков у себя, так как хочу отдать тебе сына в училище». Учитель ответил: «Если ко мне придёт учеников столько же, сколько имею, и полстолько, и четвёртая часть, и твой сын, тогда будет у меня 100 учеников». Сколько было у учителя учеников?

4. Задача из « Курса чистой математики» Войтяховского (1811 г.).

Задумайте какое-нибудь число, умножьте его на 2, прибавьте к произведению 30, полученное число разделите на 2, от резуль­тата отнимите задуманное число, и тогда в ответе получится 15. Объясните, почему при любом заданном числе ответ всегда ра­вен 15?

5. Задача из «Курса чистой математики» Войтяховского (1811 г.).

Бутылка с пробкой стоят 12 копеек. Бутылка стоит на 10 ко­пеек дороже, чем пробка. Сколько стоит бутылка и сколько пробка?

6. Древнекитайская задача.

Некто подошёл к клетке, в которой сидели фазаны и кроли­ки. Сначала он сосчитал головы: их оказалось 15, затем он сосчитал ноги, их было 42. Сколько кроликов и сколько фазанов было в клетке?

 

 

       7. Из учебника Эйлера «Основания алгебры» (1707-1773 гг.).

Отец, у которого было трое сыновей, оставил им 1600 крон. Старший сын получил на 200 крон больше среднего, а средний -на 100 крон больше младшего. Сколько получил каждый из сы­новей?

Задачи, решаемые с конца

1. «Мальчики и яблоки» (из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого).

Трое мальчиков имеют по некоторому количеству яблок. Первый из мальчиков даёт двум другим столько яблок, сколько каждый из них имеет. Затем второй мальчик дает двум другим столько яблок, сколько каждый из них имеет; в свою очередь, и третий даёт каждому из двух столько яблок, сколько есть у каждого в этот момент. После этого у каждого оказывается по 8 яблок. Сколько яблок было вначале у каждого мальчика?

2. Старая легенда гласит, что чешская королева Либуша
обещала выйти замуж за того из трёх добивавшихся её руки ры­
царей, кто первый решит задачу: «Сколько слив помещается
в корзине, из которой половину всего содержимого и одну сливу
она отдаст первому, половину оставшегося и ещё одну сливу -
второму и, наконец, третьему - половину оставшихся и ещё три
сливы, после чего корзина опустела?».

3. Задача из «Курса чистой математики» Войтяховского (1811 г.).

Разносчик продал первому покупателю половину имевшихся у него апельсинов и ещё пол-апельсина, второму покупателю -половину оставшихся апельсинов и ещё пол-апельсина; таким же образом продал он апельсины и остальным покупателям. Когда же подошёл седьмой покупатель, то у разносчика уже ниче­го не осталось. Сколько апельсинов было у разносчика и сколь­ко взял каждый из покупателей?

4.          Из старинных рукописей.

В трёх кучках лежит 24 камешка. Если из первой кучки пе­реложить во вторую столько, сколько находится во второй, а затем из второй в третью столько, сколько находится в треть­ей, наконец, из третьей в первую столько, сколько в первой ос­талось, то во всех кучках будет поровну. Сколько камешков в каждой кучке?

 

 

 

 

 

6 КЛАСС

Признаки делимости

1.  «Аи да старушка!» (из старинных рукописей).

Старуха принесла на рынок кошелку яиц. Не успела разло­жить их, как богатый купец ненароком зацепил кошелку, и все яйца разбились. Прибежал городовой, ухватил купца и приказал возместить убытки. А тот спрашивает:

-  Сколько было всего яиц?

-Не знаю, не считала, - отвечает старушка. - Зато дома я все яйца раскладывала на кучки. Сначала разложила на две кучки, и осталось одно яйцо. Потом на три. Опять одно оста­лось. Тогда разложила на четыре, на пять, на шесть, на семь ку­чек, но каждый раз оставалось одно яйцо. В последний раз на восемь разложила. И что же! Опять лишнее яйцо. Я рассерди­лась и больше не считала...

-   Ясно, - сказал купец и протянул деньги.

-   Правильно, - подтвердил городовой, и все разошлись доб­ром.

А ты сможешь высчитать, сколько было яиц в кошелке?

2.   В легенде рассказывается, что когда один из помощников
Магомета - Мудрец Хозрат Али садился на коня, подошедший
человек спросил его:

-  Какое число делится на 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9 без остатка?
Мудрец ответил:

- Умножь число дней в неделе на число дней в нужном ме­сяце и на число месяцев в году (считая, что в месяце 30 дней).

Проверь, прав ли Хозрат Али?

3.  «Сколько яиц в лукошке?» (из старинных рукописей).

Пришёл крестьянин на базар и принёс лукошко яиц. Торгов­цы его спрашивают: «Много ли у тебя в том лукошке яиц?» Крестьянин молвил им так: «Я всего не помню на перечень, сколько в том лукошке яиц. Только помню: перекладывал я те яйца в лукошко по 2 яйца, и одно лишнее осталось на земле, и я клал в лукошко по 3 яйца, то одно же яйцо осталось, и я клал в лукошко по 4 яйца, то одно же яйцо осталось, и я клал в лу­кошко по 5 яиц, то одно же яйцо осталось, и я клал в лукошко по 6 яиц, то одно же яйцо осталось, и я клал в лукошко по 7 яиц, то ни одного не осталось. Сочтите мне, сколько в том лукошке яиц было?»

 

 

 

4.  «За какое время окупятся куры?» (из «Арифметики» Магницкого, 1703 г.).

Один человек купил 3 курицы и заплатил за них 46 копеек. Первая курица несла по 3 яйца через 4 дня, вторая - по 2 яйца через 3 дня, а третья - по 1 яйцу через 2 дня. Продавал он яйца по 5 штук за полкопейки. За какое время окупятся куры?

5. «Угадайте число!» (из старинных рукописей).

Угадайте число, которое при делении на 2 даёт в остатке 1, от деления на 3 даёт в остатке 2, от деления на 4 даёт в остатке 3, от деления на 5 даёт в остатке 4, при делении на 6 даёт в ос­татке 5, а на 7 - делится без остатка.

Задачи на движение

1.  Старинная русская задача.

Роскошно липа расцветала.

Под ней червяк завёлся малый.

Да вверх пополз во всю он мочь –

Четыре локтя делал в ночь.

Но днём сослепу полз обратно

Он на два локтя аккуратно.

Трудился наш червяк отважный,

И вот итог работы важной,

Награда девяти ночей:

Он на верхушке липы сей. –

Теперь, мой друг, поведай ты,

Какой та липа высоты.

2.  Задача из «Курса чистой математики» Войтяховского (1811 г.).

Собака усмотрела в 150 саженях зайца, который пробегает в 2 минуты по 500 саженей, а собака в 5 минут 1300 саженей. Спрашивается, в какое время собака догонит зайца?

3. Задача из «Курса чистой математики» Войтяховского (1811 г.).

Собака гонится за лошадью. Собака делает 6 скачков, когда лошадь делает только 5, и в 4 скачка собака пробегает то же рас­стояние, что лошадь пробегает в 7 скачков. Лошадь успела про­скакать 5,5 км, когда ей вдогонку побежала собака. Какое рас­стояние успеет ещё пробежать лошадь, пока её догонит собака?

Задачи из старинных рукописей и из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого

1.  «Два воина».

Один воин вышел из города и проходил по 12 верст в день, а другой воин вышел одновременно с ним и шёл так: в первый день - 1 версту, во второй - 2, в третий - 3, в четвёртый - 4, так прибавлял каждый день по версте, пока не настиг первого. Через сколько же дней второй воин настиг первого?

2. «Из Москвы в Вологду».

Послан человек из Москвы в Вологду, и велено ему в хож­дении своём совершать каждый день по 40 вёрст. На следующий день вслед ему послан второй человек, и приказано ему делать в день по 45 вёрст. На какой день второй человек догонит пер­вого?

3.  «Когда они встретятся?».

Идёт один человек в другой город и проходит в день по 40 вёрст, а другой человек идёт из другого города ему навстречу и проходит в день по 30 вёрст. Расстояние между городами 700 вёрст. Через сколько дней путники встретятся?

4.  Два человека поидоша (пошли) с единого места окрест (кругом) града, и един от них идяше по 4 версты на час, а другой

по 3 версты; окрест же того града 15 вёрст, и ведательно есть:

в колико часов паки (опять) сошлися и коликожды кийждо обо­шёл тот град?

Пропорции

1.  Из «Арифметики» Магницкого (1703 г.).

Некий человек нанял работника на год, обещав дати ему 12 рублей и кафтан. Но тот по случаю, работав 7 месяцев, восхоте отъити и прошаше достойные платы с кафтаном; он же да-де ему по достоинству расчёт 5 рублей и кафтан, и ведательно есть: коликия цены оный кафтан бяше?

2. Из «Арифметики» Магницкого (1703 г.).

Некто согласился работать с условием получить в конце года одежду и 10 флоринов. Но по истечении 7 месяцев прекратил работу и при расчете получил одежду и 2 флорина. Во сколько ценилась одежда?

3.  Старинная задача среднеазиатского учёного Бируни.

Если 10 дирхемов (денежная единица) приносят доход 5 дирхемов за 2 месяца, то какой доход принесут 8 дирхемов за 3 месяца?

 

Сложение обыкновенных дробей

1.  Из рукописи XVII века.

Лев съел овцу одним часом, волк съел овцу в 2 часа, а пёс съел овцу в три часа. Ино хочешь ведати: все три - лев, волк и пёс - овцу съели вместе вдруг, и сколько бы они скоро ту овцу съели, сочти ми.

2.  Из арифметики Магницкого (1703 г.).

Един человек выпьет кадь питья в 14 дней, а со женою вы­пьет тоежу кадь в 10 дней, ведательно есть: в колико дней жена его способна выпить тоежо кадь?

3.  «Воз сена».

Лошадь съедает воз сена за месяц, коза - за 2 месяца, овца -за 3. За какое время лошадь, коза и овца вместе съедят такой же воз сена?

4.  «Постройка дома».

Четыре плотника хотят строить дом. Первый плотник один может построить дом за год, второй плотник может построить дом за 2 года, третий - за три года, а четвёртый - за 4 года. Од­нако строили дом четыре плотника вместе. За какое время они выстроили дом?

5.  Старинная задача (Китай, II век).

Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней, а дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетают одновременно. Через сколько дней они встретятся?

6.  Ананий из Ширака (Армения, VII век).

В городе Афинах был водоём, в который проведены 3 трубы. Одна из труб может наполнить водоём за 1 час, другая, более тонкая, - за 2 часа, третья, ещё более тонкая, - за 3 часа. За ка­кую часть часа все три трубы вместе наполнят водоём?

7.  Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона.

Трое рабочих могут выполнить некоторую работу, при этом А может выполнить её один раз за три недели, В - три раза за 8 недель, С - 5 раз за 12 недель. За какое время они смогут вы­полнить эту работу все вместе? (В неделе 6 рабочих дней по 12 часов.)

8.  Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона.

Лев может съесть овцу за 2 часа, волк - за 3 часа, а собака -за 6 часов. За какое время они вместе съели бы овцу?

 

 

9.  За единицу длины в Древнем Египте принимали «цар­ский локоть», равный 13/25 м и «локоть простолюдина» -9/20 м. Фараоны и жрецы брали дань в «царских локтях», а про­стому народу продавали в «локтях простолюдинов». Предполо­жим, что купец должен отдать дань материей 75 «царских лок­тей», а продать ему посчастливилось 80 «простолюдиновых
локтей» материи. Сравни количество проданной материи с ко­личеством материи, отданной в дань.

Нахождение числа по его части.

Нахождение части от числа

1.  «Сколько лет Демохару?» (задача сформулирована древ­негреческим философом Метродором еще в IV веке до н. э.).

Демохар четверть своей жизни был мальчиком, одну пятую -юношей, треть - мужчиной и 13 лет прожил стариком. Сколько лет он прожил?

2.  Задача Древней Греции.

-    Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посе­щают твою школу и слушают твои беседы?

-    Вот сколько, - ответил философ, - половина моих учени­ков изучают математику, четвертая - природу, седьмая частьпроводит время в молчаливом размышлении, остальную частьсоставляют 3 девы.

3.  Из курса математики французского автора Ж. Озанама (XVII в.).

Трое хотят купить дом за 24000 ливров. Они условились, что первый даст половину, второй - одну треть, а третий - ос­тавшуюся часть. Сколько даст каждый?

4.  Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого (1703 г.).

Некто пришёл в ряд, купил игрушек для малых ребят. За первую игрушку заплатил одну пятую всех своих денег, за дру­гую - три седьмых остатка от первой игрушки, за третью запла­тил три пятых остатка от второй игрушки, а по приезде в дом на­шёл остальные - 1 рубль 92 копейки. Спрашивается, сколько в кошельке денег было и сколько за каждую игрушку он заплатил?

5.  «Сколько лет жил Диофант?».

На памятнике древнегреческому математику Диофанту на­чертано: «Прохожий! Под этим камнем покоится прах Диофан­та, умершего в старости. Шестую часть его жизни заняло детст­во, двенадцатую - отрочество, седьмую - юность. Затем протек­ла половина его жизни, после чего он женился. Через пять лет у него родился сын, а когда сыну минуло четыре года, Диофант скончался». Сколько же лет прожил Диофант?

 

 

 

6.  Из   «Курса   чистой   математики»   Войтяховского(1811 г.).

Капитан на вопрос, сколько имеет в своей команде людей, ответствовал, что две пятых его команды в карауле, две седьмых в - работе, одна четвёртая - в лазарете и 27 человек налицо. Сколько человек в его команде?

 

7.  «Далеко ли до деревни?» (из «Арифметики» Л. Ф. Маг­ницкого).

Прохожий, догнавший второго, спросил: «Далеко ли до де­ревни, что у нас впереди?». Ответ был таков: «Расстояние от той деревни, от которой ты идешь, равно третьей части всего рас­стояния между деревнями, а если ещё пройдёшь две версты, то­гда будешь ровно посередине между деревнями». Сколько вёрст осталось еще идти первому прохожему?

8.  Задача Бхаскары (индусский математик XII в.).

Есть кадамба Цветок, на один лепесток

Пчёлок пятая часть опустилась.

Рядом тут же росла вся в цвету симендга;

И на ней третья часть поместилась.

Разность их ты найди, трижды их ты сложи,

На кутай посади.

Лишь одна не нашла себе места нигде,

Все летала то взад, то вперёд, и везде

Ароматом цветов наслаждалась.

Назови теперь мне, подсчитав всё в уме,

Сколько пчёлок всего здесь собралось?

9.  «Покупка сукна» (задача из старинных рукописей).

Некто купил три четверти аршина сукна и заплатил за них 3 алтына. Сколько надо заплатить за 100 аршин такого же сукна?

10.  Старинная задача.

-   Хроноса вестник, скажи, какая часть дня миновала?

-   Дважды две трети того, что прошло, остаётся.

(Хромое - бог времени в греческой мифологии. В Древней Греции день содержал двенадцать часов.)

      11.  Из старого задачника.

Два господина держат пари: чья лошадь перегонит, тот за каждую версту получает 200 рублей. Лошадь одного в полто­ры минуты бежала три четверти версты, а другого - в две с тре­тью минуты - одну три четверти версты, и бежали они 8 минут. Кто из них выиграл пари и сколько?

12. Из старого задачника.

Когда Гераклом Герион

Был в страшной схватке сокрушён,

То победителю в награду

 Быков отличных было стадо;

Быков на луг отправил он

И погрузился в крепкий сон.

Но сын Вулкана Какус смелый

К быкам, как вор, подполз умело

И сделал все", что он хотел:

Он отобрать себе успел

Одну шестнадцатую стада;

Теперь добычу спрятать надо.

В пещеру стадо он загнал,

Куда свет дня не проникал,

И вход туда прикрыл надёжно:

Найти быков здесь невозможно!

Когда Геракл пришёл на луг,

Он насчитал 120 штук.

И не осталось в нём сомненья,

Что состоялось похищенье.

В нём сердце закипело злобой,

Быков он ищет, смотрит в оба.

И вдруг как бы из-под земли

Услышал, что ревут они.

К пещере бросился он в гневе,

Все разметал он в этом хлеве

И Какуса убил в мгновенье,

Быков добыл из заточенья;

И стадо он угнал скорей, -

Всё получил царь Эвристей.

Теперь скажи мне, вычислитель,

Скольких быков злой похититель

Из стада увести сумел

И сколько всех быков имел

Геракл, могучий и отважный, -

Всё это знать нам очень важно!

 

 

     13. «Сколько останется воды?» (из книг, изданных в ХУШ веке).

Из ведра, содержащего 5 литров воды, отливают один литр, а затем в ведро вливают один литр сока. Перемешав всё это, из ведра отливают один литр смеси, затем в ведро опять влива­ют один литр сока. Опять перемешивают, отливают один литр смеси и вливают 1 литр сока. Сколько в ведре останется после этого воды?

Уравнения

1.  Из «Арифметики» Магницкого (1703 г.).

Некто муж благоговеин вниде в сиротопитательницу мило­стыню дати убогим; дав же каждому их по 3 пенязя, и усмотре яко недостанет денег на 3 человека. Аще же бы дал им по 2 пе­нязя, и тогда бы осталось денег на четыре человека; и ведательно есть: колико бяше убогих в сиротопитательнице оной, також-де и денег колико у того мужа было?

2.  «Сколь он стар?» (старинная задача XVIII века).

Некто, будучи вопрошён, сколь он стар, ответствовал: « Ко­гда я проживу ещё половину, да треть, да четверть моих лет, то­гда мне будет 100 лет». Сколь он стар?

3.  Задача, которую предложил маленькому Александру
Пушкину великий полководец А. В. Суворов, гостивший в доме
Ганнибалов (деда А. С. Пушкина).

Летела стая гусей, а навстречу им гусь.

-   Здравствуйте, сто гусей! - говорит он им.

-   Нас не 100 гусей, - отвечают они ему. - Вот если бы нас
было столько, сколько есть, да ещё раз столько, да полстолько,
да четверть, да ты с нами, тогда было бы сто.

Сколько гусей было в стае?

Мальчик долго размышлял над задачей, и только когда ка­рета с гостем почти скрылась, он крикнул вдогонку, называя ответ.

4.  «Почём фрак и жилет?» (задача из «Курса чистой математики» Войтяховского (1786 г.).

Войтяховский Ефим Дмитриевич (умер около 1812 года) -штык-юнкер и благородного юношества партикулярный учитель -издал большой «Курс математики в 4-х томах».

У проезжего госконца оценили богатство: модный жилет с поношенным фраком в три алтына без полушки, но фрак

в полтретья (2) дороже жилета. Спрашивается каждой вещи цена.

 

5.  Из книги «Об индийском счете» аль Хорезми.

Если от числа отнять его треть и его четверть, то получится восемь. Найти число.

6.  «Руководство алгебры и собрание алгебраических за­дач». А. Ф. Малинин (1834-1888) - видный ученый, педагог,директор Московского учительского института.

Купец рассчитывал, что если он станет продавать сукно

по 3 руб. за аршин, то получит убытку 18 руб. 50 коп.; если же он продаст по 4 руб. за аршин, то будет иметь прибыль 37 руб. Сколько аршин у него было?

6.  «Руководство алгебры и собрание алгебраических за­дач»» А. Ф. Малинин, К. П. Буренин.

Для перевозки 25 зеркал нанят извозчик с условием запла­тить ему по 1 руб. за доставку каждого зеркала в целости и вычесть по 5 руб. за каждое зеркало, разбитое им. При расчете он получил 18 руб. Сколько зеркал доставлено им в целости?

7.  Из трактата «Математика в девяти книгах».

Сообща покупают вещь. Если каждый человек внесет по 8, то избыток 3. Если каждый человек внесет по 7, то недостаток 4. Спрашивается количество людей и стоимость вещи.

8.  Древнеегипетская задача.

Количество и его четвертая часть дают вместе 15. Найти ко­личество.

9.   «Хозяин и работник» (из «Арифметики» Л. Ф. Маг­ницкого).

Хозяин нанял работника с таким условием: за каждый день, проработанный им, он будет платить ему по 20 копеек, а за каж­дый нерабочий день - вычитать по 30 копеек. По прошествии 60 дней работник ничего не заработал. Сколько было рабочих дней?

10.  Из рассказа А. П. Чехова «Репетитор».

Купец купил 138 аршин черного и синего сукна на 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если си­нее стоило 5 руб. за аршин, а чёрное - 3 руб.

11. Из «Всеобщей арифметики» Ньютона.

Некто желает распределить между бедными деньги. Если бы у него было на восемь динариев больше, то он мог дать каждому по три, но он раздает лишь по два и у него остаётся три. Сколько было бедных?

12. «Покупка масла» (из «Арифметики» Л. Ф. Магниц­кого).

Некий человек покупал масло. Когда он давал деньги за 8 бочек масла, то у него осталось 20 алтын. Когда же стал да­вать за 9 бочек, то не хватило денег полтора рубля с гривною. Сколько денег было у этого человека?

13. Задача Древней Греции.

-   Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посе­щает твою школу и слушает твои беседы?

-   Вот сколько, - ответил философ, - половина изучает мате­матику, четверть - музыку, седьмая часть пребывает в молча­нии, кроме того, есть ещё три женщины.

14. Старинная русская задача.

Вопросил некто некоего учителя: «Сколько имеешь учени­ков у себя, так как хочу отдать тебе сына в училище». Учитель ответил: «Если ко мне придет учеников ещё столько же, сколько имею, и полстолько, и четвёртая часть, и твой сын, тогда у меня будет учеников 100».

Сколько было у учителя учеников?

15. Из «Московского папируса» (ХУШ-ХУП вв. до н. э.).

а)

б)

в) 2х + х = 9

16. Из «Арифметики» Диофанта.

а)

б)

17.  Из папируса «Ахмеса» («Московский папирус» ХУШ- ХУП вв. до н.э.).

а) х + 1\5х = 21;

б) (х + 2\5х)-1\3(х + 2\3х) = 10;

в) х + 1\2х + 1\4х = 10;

г) х + 2\3х + 1\2х + 1\7х = 37;

д) Зх + 1\3х +1\3•1\3х + 1\9х = 1.

18. Задача ал-Каши (родился около 1436-1437 г.).

Плата работнику за месяц, то есть за тридцать дней, - десять динаров и платье. Он работал 3 дня и заработал платье. Какова стоимость платья?

19. Задача великого французского математика XVIII ве­ка Э. Безу.

По контракту работнику причитается по 48 франков за каж­дый отработанный день, а за каждый неотработанный день с не­го взыскивается 12 франков. Через 30 дней работник узнал, что ему ничего не причитается. Сколько дней работал работник в течение этих 30 дней?

20. Древнегреческая задача о статуе Минервы.

(Минерва - в греческой мифологии богиня мудрости, покро­вительница наук, искусств и ремесел.)

Я - изваяние из злата. Поэты то злато

В дар принесли: Харизий принёс половину всей жертвы,

Феспия часть восьмую дала; десятую - Солон.

Часть двадцатая - жертва певца Фемисона, а девять

Всё завершивших талантов - обет, Аристоником данный.

Сколько же злата поэты все вместе в дар принесли?

(Талант - самая большая денежная единица в Древней Греции.)

21. Задача о музах. Историческая справка.

По представлению древних греков, науками и искусствами ведали мифические женские существа - музы: Евтерпа - богиня-покровительница музыки, Клио - истории, Талия - комедии, Мельпомена - трагедии, Терпсихора - танцев и хорового пения, Эрато - поэзии, Урания - астрономии, Каллиопа - эпоса и крас­норечия. Местопребыванием муз и Аполлона служила гора Ге­ликон. В поэтической задаче о музах бог любви Эрот жалуется богине красоты и любви Киприде на муз:

Видя, что плачет Эрот, Киприда его вопрошает:

-   Что тебя так огорчило, ответствуй немедля!

-   Яблок я нёс с Геликона немало, - Эрот отвечает, -
Музы, отколь ни возьмись, напали на сладкую ношу.
Частью двенадцатой вмиг овладела Евтерпа, а Клио
Пятую долю взяла. Талия - долю восьмую.

С частью двенадцатой ушла Мельпомена. Четверть взяла Терпсихора. С частью седьмою Эрато от меня убежала. Тридцать плодов утащила Полимпия. Сотня и 20 Взяты Уранией; триста плодов унесла Каллиопа. Возвращаюсь домой почти что с пустыми руками. Только полсотни плодов мне оставили музы на долю. Сколько плодов нёс Эрот до встречи с музами?

7 КЛАСС

Системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными

1.  Из «Арифметики» Магницкого (1703 г.).

Два человека, хотяще вещь некую купити, из них первый глаголет другому: даждь ми 2/3 твоих денег их же имаши, и аз (я) един за ону вещь заплачу цену, а другой первому глаголет:

даждь ты мне денег твоих  их же у себя ныне имаши, и азедин за ту вещь цену заплачу. Цена же вещи тоя 38 рублёв, и ведательно есть: колино у которого в то время денег было?

2.  Из теоретической и практической арифметики, соб­ранной Дмитрием Аничковым (1793 г.).

Молодой осёл и ослица несли наполненные вином мехи. Ослица, несучи мех, для престарелых своих лет столько уста­ла, что более уже идти не могла; видя сие, молодой осёл ска­зал ей: «Что ты так скоро устала, несучи меньший мех против моего: ибо естьли из своего меха одно ведро перелью в твой мех, то у нас будет поровну, но я сделать того не хочу; ты из своего меха перелей одно ведро в мой, то у меня будет вдвое больше твоего». Спрашивается, по сколько ведер вина несли осел и ослица?

3.  Из руководства Ефима Войтяховского «Курс чистой математики» (1811 г.).

Некто продает двух коней с седлами, из коих цена одному седлу 120 руб., а другому - 25 руб. Первый конь с хорошим сед­лом втрое дороже другого с дешевым седлом; а другой конь с хорошим седлом вдвое дешевле первого коня с дешевым сед­лом. Спрашивается цена каждого коня.

4. Из руководства Ефима Войтяховского «Курс чистой математики» (1811 г.).

Две торговки разговаривали о числе яиц; первая сказала дру­гой: «Если ты мне дашь 13 яиц, то у меня будет вдвое больше твоего», а другая сказала первой: «Когда ты мне дашь 12 яиц, то у меня будет втрое больше твоего». Спрашивается, сколько у которой яиц было.

5.  Старинная китайская задача.

В одном дворе находились кролики и куры. Всего было 35 голов и 94 ноги. Сколько было кур, а сколько кроликов?

 

6.  Задача Леонардо Пизанского (1180-1240 г.) по про­звищу Фибоначчи из «Книги абака».

Один человек говорит другому: «Дай мне 7 динариев, и я буду в 5 раз богаче тебя». А другой говорит: «Дай мне 5 динари­ев, и я буду в 7 раз богаче тебя». Сколько у каждого?

7.  Из «Арифметики» Диофанта.

1.  

2.  

3.  

Формулы сокращённого умножения

1. Задача Авиценны (980-1037 г. - среднеазиатский фи­лософ-естествоиспытатель, врач, математик, поэт).

Если число, будучи разделено на девять, даёт в остатке один или восемь, то квадрат этого числа, делённый на девять, даёт в остатке один.

2.  Из старинного руководства (1200 г.).

Две башни в равнине находятся на расстоянии шестидесяти локтей одна от другой. Высота одной из них - пятьдесят локтей, высота другой - сорок локтей. Между башнями находится коло­дец, одинаково удалённый от вершин обеих башен. Спрашива­ется, как далеко находится колодец от основания каждой башни.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8 КЛАСС

Квадратные уравнения

1.  Индусская задача из Бхасхары (1114 г.).

Квадрат пятой части обезьян, уменьшенной на три, спрятал­ся в гроте; одна обезьяна, влезшая на дерево, была видна. Сколько было обезьян?

2.  Индусская задача из Бхасхары (1114 г.).

Цветок лотоса возвышался над поверхностью пруда на че­тыре фунта, под напором ветра он скрылся под водой на рас­стоянии 16 футов от того места, где он раньше поднимался над водой. Какой глубины был пруд?

3.  Индусская задача из Бхасхары (1114 г.).

На две партии разбившись,

Забавлялись обезьяны.

Часть восьмая их в квадрате

В роще весело резвилась;

Криком радостным двенадцать

Воздух свежий оглашали.

Вместе сколько, ты мне скажешь,

Обезьян там было в роще?

      4.Задача Безу (XVIII в.).

Некто купил лошадь и спустя некоторое время продал её за 24 пистоля. При этом он потерял столько процентов своих денег, сколько стоила ему лошадь. За какую сумму денег была куплена лошадь первоначально?

5.  Задача Маклорена (XVIII в.).

Несколько человек обедали вместе и по счёту должны упла­тить 175 шиллингов. Так как у двоих из них денег не оказалось, каждому из оставшихся пришлось уплатить на 10 шиллингов больше. Сколько человек обедало?

6.  Эту задачу предложили в 1834 г. Ване Петрову в Кост­ромской гимназии, учителя которой решили проверить слух
о необыкновенных способностях Вани. Ему предложили 12 за­дач, на решение которых у него ушло 1 ч 17 мин, причем значи­тельная часть времени была использована для чтения и повторе­ния задач, так как он не только не умел читать, но и писать. Ва­ня решал каждую задачу единственно силою соображения и памяти. Эту задачу Ваня решал подбором, удерживая в памяти все числа. Московский профессор Д. М. Перевощиков никак не ожидал, что мальчик решит задачу, которую мы бы решали способом составления квадратного уравнения:

За 500 рублей куплено несколько пудов сахара. Если бы иа те же деньги купили на 5 пудов больше, то каждый пуд обо­шёлся бы на 5 руб. дешевле. Сколько куплено сахару?

7.  Из «Науки о числах в трёх частях» Николая Шюке (XV в.).

1)3х²+12 = 30х;    2) 144 + х² = З6х.

Теорема Пифагора

1.  Из «Арифметики» Магницкого (1703 г.).

Случися некоему человеку к стене лестницу прибрати, стены

же тоя высота 117 стоп. И обрете лестницу долготою 125 стоп. И ведати хощет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать.

2.  Из старинного руководства (1200 г.).

Две башни в равнине находятся на расстоянии 60 локтей од­на от другой. Высота одной из них - 50 локтей, высота другой -40 локтей. Между башнями находится колодец, одинаково уда­ленный от вершин обеих башен. Спрашивается, как далеко на­ходится колодец от основания каждой башни.

3.  Индусская задача из Бхасхары (1114 г.).

Цветок лотоса возвышался над поверхностью пруда на 4 фу­та, под напором ветра он скрылся под водой на расстоянии 16 футов от того места, где он раньше поднимался над водой. Какой глубины был пруд?

4.  Индусская задача из Бхасхары (1114 г.).

На самом берегу ручья растет тополь. Порыв ветра сломил его на высоте трех единиц от земли, и он упал перпендикулярно к направлению ручья, ширина которого равна четырем едини­цам длины; при падении дерево уперлось в край противополож­ного берега. Как высок был тополь?

5.  Старинная индийская задача.

Над озером тихим с полфута над водой

Высился лотоса цвет.

Он рос одиноко, и ветер волной

Нагнул его в сторону, - и уж нет

Цветка над водой.

Его нашла рыбака рука

В двух футах от места, где рос.

Сколь озера здесь вода глубока? -

Тебе предложу я вопрос...

6.  Задача древнекитайского ученого Цзинь Киу-чау
(1250 лет до н.э.).

В центре квадратного пруда, имеющего 10 футов в длину и ширину, растет тростник, возвышающийся на 1 фут над по­верхностью воды. Если его пригнуть к берегу, к середине пруда, то он достигнет своей верхушкой берега. Какова глубина пруда?

7.  Задача древнекитайского ученого Цзинь Киу-чау
(1250 лет до н.э.).

Бамбуковый ствол в 9 футов высотой переломлен бурей так, что если верхнюю часть его нагнуть к земле, то верхушка кос­нется земли на расстоянии 3 футов от основания ствола. На ка­кой высоте переломлен ствол?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9 КЛАСС

Арифметическая прогрессия

1.  Из руководства по математике «Задачи для изощре­ния ума юношей», Алкуин (около 735-804 гг.).

Лестница имеет 100 ступеней. На первой ступени сидит один голубь, на второй - два, на третьей - три, так на всех ступенях до сотой. Сколько всего голубей?

2.  Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого (1703 г.).
Купец имел 14 чарок серебряных, причем веса чарок растут по арифметической прогрессии с разностью 4. Последняя чарка весит 59 латов. Определить, сколько весят все чарки.

Геометрическая прогрессия

1.  Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого (1703 г.).

Некий человек продае коня за 156 рублев; раскаялся Зке, ку­пец нача отдавати продавцу, глаголя: «Яко несть мне лепо взяти сицевого коня, недостойного такие высокие цены. Продавец предложи ину куплю, глаголя: «Аще те мнится велика цена сему коню быти, убо купи гвоздие, их же сей конь имать в подковах своих ног, коня же возьми за тою куплею в дар себе. А гвозди во всякой подкове по шести, и за един гвоздь даждь ми полуш­ку, за другой же - две полушки, а за третий - копейку, и тако все гвозди купи». Купец же, видя столь малую цену и коня хотя в дар себе взяти, обещал таку цену платити, чая не больше 10 рублев за гвоздие дати. И ведательно есть: колико купец - он проторговался?

Задача эта содержится в рукописях XVII века. Она анало­гична задаче об изобретателе игры в шахматы, который согла­сился за скромное вознаграждение - именно, чтобы ему на пер­вую клетку положили 1 зерно, на 2-ю - 2, на 3-ю - 4 и так далее, удваивая число зёрен каждый раз. Оказывается, для выполнения этой задачи потребовался бы обильный урожай с поля, превос­ходящего величиною всю сушу земного шара в 28 раз.

В знаменитой «Божественной комедии» Данте (1265-1321 гг.) читаем:

Заискрилась всех тех кругов краса,

И был пожар-в тех искрах необъятным,

Число же искр обильней в сотни раз,

Чем клеток счет двойной в доске шахматной.

«Счёт двойной» означает нарастание чисел при помощи уд­воения предыдущего числа, то есть мы имеем тут упоминание о той же старой задаче.

 

2. Старинная русская задача.

Шли семь старцев,

У каждого старца по семи костылей;

На каждом костыле по семи сучков;

На каждом сучке по семи кошелей;

В каждом кошеле по семи пирогов;

В каждом пироге по семи воробьев.

Сколько всех?

3.    Аналогичная задача в египетском папирусе Ахмеса.

Каждый из 7 человек имеет 7 кошек. Каждая кошка съедает по 7 мышек, каждая мышка за одно лето может уничтожить 7 ячменных колосков, а из зерен одного колоска может вырасти 7 горстей ячменного зерна. Сколько горстей зерна ежегодно спасается благодаря кошкам?

В старинной русской задаче вместо «горстей» зерна встреча­ется «мера» зерна («мера» - старая русская мера объёма, равная 26,74 литра).

4.    По сообщению одной газеты 1914 г., у судьи в г. Ново­черкасске разбиралось дело о продаже стада в 20 овец по усло­вию - уплатить за первую овцу 1 копейку, за вторую - 2 копей­ки, за третью - 4 копейки и так далее. Очевидно, покупатель со­блазнился надеждою дешево купить стадо - и просчитался. Подсчитайте, какую сумму он должен был уплатить.

Оказывается, Магницкий не без основания снабдил решение этой задачи предупреждением:

Хотяй туне притяжати,

От кого что принимати,

Да зрит то себе опасно...

5.    Из старинных русских рукописей ХУ-ХУШ вв.

Некий человек хотел шахматную доску яблоками насыпать так: на первое положить одно яблоко, на второе - два, на третье - 4, на четвертое - 8, на пятое - 16 и впредь на все 64 места - вдвое. Ино много ли на котором месте порозень и что всех яблок чис­лом будет? А как ему те яблоки продавать по 2000 за рубль и колино за все яблоки денег будет?

 

 

Занимательные задачи

1. «Девичья хитрость».

Золотошвея, взяв 20 девушек в учение, разместила их в 8 ком­натах своего дома так, как показано на рисунке.

 

По вечерам золотошвея обходила дом и проверяла, чтобы в комнатах на каждой стороне было по 7 девушек. Однажды к девушкам в гости приехали 4 подружки и, заговорившись, ос­тались у них ночевать, причем все 24 девушки разместились так, что вечером золотошвея насчитала в комнатах на каждой сторо­не дома опять по 7 девушек. На следующий день 4 девушки по­шли провожать своих четырех подруг и дома не ночевали. Ос­тавшиеся 16 девушек разместились так, что опять вечером золо­тошвея насчитала в комнатах с каждой стороны дома по 7 деву­шек. Как размещались девушки по комнатам в двух последую­щих случаях?

2.     «Как разделить орехи?» (задача из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого).

Говорит дед внукам: «Вот вам 130 орехов. Разделите их на 2 части так, чтобы меньшая часть, увеличенная в 4 раза, рав­нялась бы большей части, уменьшенной в 3 раза». Как же разде­лить орехи?

3.    Старинная задача.

Скупой богач раздобыл 9 одинаковых монет, но, зная, что одна из них фальшивая и легче других, мучился до самой смерти, однако так и не додумался, как отличить, какая именно. Тем не менее даже самый начинающий мудрец, подумав, дол­жен найти способ всего двумя взвешиваниями на весах без гирь определить фальшивую монету.

4.    Задача Л. Н. Толстого.

Некто пришел в магазин и купил шляпу, стоящую 10 руб., и дал хозяину денежный билет в 25 руб. У хозяина не было сда­чи, и он разменял у соседа и отдал 15 руб. Когда покупатель ушел, пришел сосед и сказал, что 25-рублевый билет оказался фальшивым, и потребовал 25 руб. обратно. Спрашивается, сколько рублей убытка понес при этой операции хозяин.

5.    Старинная задача.

У одного старика спросили, сколько ему лет. Он сказал, что ему сто лет и несколько месяцев, но дней рождения у него было всего 25. Как это могло быть?

6.    Замысловатый ответ.

Принес крестьянин на рынок продавать яйца. Подходит к нему торговец и спрашивает: «Сколько стоит десяток яиц?» Крестьянин ответил замысловато: «Двадцать пять яиц без по­лушки стоят пять полушек без пяти яиц». Сосчитайте, по какой цене продавал крестьянин десяток яиц.

7.    Из руководства по математике «Задачи для изощре­ния ума юношей», Алкуин (около 735-804 гг.).

Два торговца купили за 100 сольди стадо свиней, платили по 2 сольди за 5 свиней. Потом стадо разделили на 2 равные части и стали продавать по той же цене, однако заработали больше, чем заплатили сами. Как это можно сделать?

8. Из старинных рукописей.

Один человек купил 112 баранов старых и молодых, запла­тив за них 49 рублей и 20 алтын. За старого барана он платил по 15 алтын и по 4 полушки, а за молодого барана по 10 алтын. Сколько каких баранов было куплено?

9.    Задача о волке, козе и капусте.

Эту знаменитую задачу ирландский учёный монах Алкуин (735-804 гг.) поместил в своём сочинении «Задачи для оттачи­вания ума юношей».

Через реку надо перевезти троих: волка, козу и кочан капус­ты; на лодке, кроме перевозчика, может поместиться только один из трёх. Как перевезти их, чтобы коза не могла съесть ка­пусту, а волк не мог съесть козу?

10. Из сборников занимательных задач конца XVIII века.
Имеется 21 бочонок: 7 полных, 7 полупустых и 7 пустых.

Нужно поделить бочонки между тремя ларями так, чтобы каж­дому продавцу досталось одинаковое число бочонков и вина, причём переливать вино нельзя. Как это сделать? (Ларь - продавец.)

11.  Эта задача была предложена Ване Петрову в 1834 г.

в Костромской гимназии, где решили проверить слухи о необыкновенных способностях неграмотного деревенского маль­чика: «Сколькими способами можно уплатить 78 рублей, имея билеты трехрублевого и пятирублевого достоинства?»

12. Задача из «Азбуки» Л.Н.Толстого (1828-1910 гг.), великого русского

писателя, педагога, почетного члена Петер­бургской академии наук.

Пятеро братьев разделили между собой после отца наследст­во поровну. В наследстве было три дома. Три дома нельзя было делить, их взяли старшие три брата. Каждый из старших запла­тил по 800 рублей меньшим. Меньшие разделили эти деньги между собой, и тогда у всех пяти братьев стало поровну. Много ли стоили дома?

 

 

13. Из сборника занимательных задач конца XVIII века.

Ребята пилят бревна на метровые куски. Отпиливание одно­го такого куска занимает одну минуту. За сколько минут они распилят бревно длиной 5 метров?

     14. Два отца и два сына поймали трех зайцев, а каждому
досталось по одному зайцу. Спрашивается, как это могло слу­
читься?

15.  «Косари на лугу» (из старинных сборников задач).

Было два луга: один в 6 десятин, другой в 3. На большой луг пришла партия косарей и косила его полдня. После обеда партия разделилась пополам: одна половина осталась на большом лугу и к вечеру докосила его, а другая пошла на малый луг и косила его, но к вечеру не кончила. На другой день на малый луг при­шел один человек. Он косил целый день и к вечеру кончил. Сколько человек было во всей партии косарей?

16. А и В играют 30 камешками. Каждый из них поочередно
должен брать до 6 камешков. Выигрывает тот, кто возьмет по­
следний камешек. А начинает. Как он должен играть, чтобы вы­
играть наверняка?

17.   Пуассон - великий французский математик, жив­
ший в XIX веке (1781-1840 гг). Родители готовили его к работе
цирюльника (парикмахера). И только гений и непреодолимое
желание решать задачи сделали Пуассона великим. Одну из за­
дач предложил талантливому мальчику его друг, и юный Пуас­
сон моментально с ней справился: «В сосуде было 12 пинт
(1 пинта примерно равна 568 см³) оливкового масла. Это масло
надо поровну продать двум покупателям. Но в лавке оказалось
только две мерные кружки: 8 пинт и 5 пинт. Как, пользуясь ими,
разделить масло поровну, то есть 6 пинт и еще 6 пинт?».

18. Старинная восточная задача.

2 верблюда и 8 баранов стоят 18 таньга. 5 верблюдов и 2 ба­рана стоят 27 таньга. Сколько стоит отдельно верблюд и баран?

19. Эта задача приписывается великому английскому мате­матику Исааку Ньютону (1642-1727) и встречается в двух ста­рых (1821 и 1852 годов) английских сборниках в переводе:

Мне нужна ваша помощь,

Чтобы посадить девять деревьев

В десять рядов так, чтобы в каждом ряду было три.

Скажи, - как, и я ничего больше у тебя не спрошу.

 

 

 

20.   «Рыцари и оруженосцы» (из занимательных задач конца XVIII века).

Три рыцаря, каждый в сопровождении оруженосца, съеха­лись на берегу реки и хотят переправиться на другой берег. Есть лодка, которая может вместить только двух человек. Могут ли рыцари переправиться на другой берег при условии, что, ока­завшись отдельно от своего рыцаря, ни один оруженосец не на­ходился бы при этом в обществе двух рыцарей?

21. «Четыре купца».

Четверо купцов имеют некоторую сумму. Известно, что, сложившись без первого, они соберут 90 рублей; сложив­шись без второго - 85 рублей; сложившись без третьего -80 рублей; сложившись без четвертого - 75 рублей. Сколько у кого денег?