Секреты быстрого счета

Секреты быстрого умножения и деления. 1. Умножение и деление на 5, 50, 500 и т. д.   Умножение на 5, 50, 500 и т. д. заменяется умножением на 10, 100,1000 и т. д.  с последующим делением на 2 полученного произведения (или делением на 2  и умножением на 10, 100, 1000 и т. д.). (50 = 100: 2 и т.д.)             54*5=(54*10):2=540:2=270    (54*5 = (54:2)*10= 270). Чтобы  число разделить на 5,50, 500 и т. д., надо это число разделить  на  10,100,1000 и т. д. и умножить на 2. 10800 : 50 = 10800:100*2 =216 10800 : 50 = 10800*2:100 =216   2. Умножение и деление на  25, 250, 2500 и т. д.    Умножение на 25, 250, 2500 и т. д. заменяется умножением на 100,1000,10000  и т. д. и полученный результат разделить на 4. (25 = 100: 4) 542*25=(542*100):4=13550                    (248*25=248: 4*100 = 6200) (если число делится на 4, то выполнение умножения не занимает времени,  любой ученик может выполнить).          Чтобы выполнить деление числа на 25, 25,250,2500 и т. д. это число надо разделить  на 100,1000,10000 и т.д. и умножить на 4          31200: 25 = 31200:100*4 = 1248.   3.  Умножение и деление на  125, 1250, 12500 и т. д.    Умножение на 125, 1250 и т. д. заменяется умножением на 1000, 10000 и т. д.  и полученное произведение нужно делить на 8. (125 = 1000: 8) 72*125=72*1000:8=9000 Если число делится на 8, то сначала выполним деление на 8 , а потом  умножение на 1000,10000 и т. д. 48*125 = 48:8*1000 = 6000 Чтобы разделить число на 125, 1250 и т.д., надо это число разделить на 1000,  10000 и т. д. и умножить на 8. 7000: 125 = 7000:1000*8 = 56.   4. Умножение и деление на  75, 750 и т. д.   Чтобы число умножить на 75, 750и т. д. надо это число разделить на 4 и  умножить на 300, 3000 и т.д. (75 = 300: 4) 48* 75 = 48:4*300 = 3600 Чтобы число разделить на 75,750 и т. д. надо это число разделить на 300, 3000и т.д. и умножить на 4 7200: 75 = 7200: 300*4 = 96.   5.Умножение на 15, 150.   При умножении на 15, если число нечетное, умножают его на 10 и прибавляют половину полученного произведения: 23х15=23х(10+5)=230+115=345; если же число четное, то поступаем еще проще — к числу прибавляем его  половину и результат умножаем на 10: 18х15=(18+9)х10=27х10=270. При умножении числа на 150 пользуемся тем же приемом и умножаем  результат на 10, т.к.150=15х10:   24х150=((24+12)х10)х10=(36х10)х10=3600.  Точно так же быстро умножить двузначное число (особенно четное) на  двузначное, оканчивающиеся на 5: 24*35 = 24*(30 +5) = 24*30+24:2*10 = 720+120=840.   6. Перемножение двузначных чисел, меньших, чем 20.    К одному из чисел надо прибавить количество единиц другого, эту сумму  умножить на 10 и прибавить к ней произведение единиц данных чисел: 18х16=(18+6)х10+8х6= 240+48=288.      Описанным способом можно умножать двузначные числа, меньшие 20, а  также числа, в которых одинаковое количество десятков: 23х24 =  (23+4)х20+4х6=27х20+12=540+12=562. Объяснение: (10+a)*(10+b) = 100 + 10a + 10b + a*b = 10*(10+a+b) + a*b = 10*((10+a)+b) +  a*b .   7.Умножение двузначного числа на 101.   Пожалуй, самое простое правило: припишите ваше число к самому себе.  Умножение закончено.  Пример: 57 * 101 = 5757      57 ­­> 5757 Объяснение: (10a+b)*101 = 1010a + 101b = 1000a + 100b + 10a + b  Аналогично производят умножение трехзначных чисел на 1001,  четырехзначных ­ на 10001 и т.п.   8. Умножение числа на 11.Следует "раздвинуть" цифры числа, умножаемого на 11, и в образовавшийся  промежуток вписать сумму этих цифр, причем если эта сумма больше 9, то,  как при обычном сложении, следует единицу перенести в старший разряд. Пример: 34 * 11 = 374, так как 3 + 4 = 7, семерку помещаем между тройкой и  четверкой 68 * 11 = 748, так как 6 + 8 = 14, четверку помещаем между семеркой  (шестерка плюс перенесенная единица) и восьмеркой Объяснение: 10a+b ­ произвольное число, где a ­ число десятков, b ­ число единиц. Имеем: (10a+b)*11 = 10a*11 + b*11 = 110a + 11b = 100a + 10a + 10b + b = 100a +  10*(a+b) + b,  где мы имеем a сотен, a+b десятков и b единиц. т.е. результат  содержит a*(a+1) сотен, два десятка и пять единиц. 43625*11 Составляем произведение: 5 единиц, 5+2=7 десятки, 2+6=8 сотни, 6+3=9  тысячи, 3+4=7 десятки тысяч, 4 сотни тысяч. 43625*11=479875. Когда множимое заключается в пределах 1000 и 10000 (например, 7543), то  можно применить следующий способ умножения на 11.Сначала разбить  множимое 7543 на грани, по две цифры, затем найти произведение первой  грани (75) слева на 11, как указано в умножении двузначного числа на 11.  Полученное число (75*11=725) даст сотни произведения, так как умножали  сотни множимого. Потом надо умножить на 11 вторую грань (43), получим  единицы произведения: 43*11=473. Наконец, полученные произведения  сложим: 825 сот. +473=82739. Следовательно, 7543*11=82739. Рассмотрим ещё пример: 8324*11. 83`24; 83 сот. *11=913 сот. 24*11=264; 913 сот. +264=91564. Следовательно, 8324*11=91564.   9. Умножение на 22, 33, …, 99. Чтобы двузначное число умножить 22,33, …,99, надо этот множитель  представить в виде произведения однозначного числа на 11. Выполнить  умножение сначала на однозначное число, а потом на 11: 15 *33= 15*3*11=45*11=495.   10. Умножение двузначных чисел на 111.            Сначала возьмём множимым такое двузначное число, сумма цифр  которого меньше 10. Поясним на числовых примерах:45*111. Так как 111=100+10+1, то 45*111=45*(100+10+1). При умножении  двузначного числа, сумма цифр которого меньше 10, на 111, надо в середину  между цифрами вставить два раза сумму цифр (т.е. чисел, ими изображаемых) его десятков и единиц 4+5=9. 4500+450+45=4995. Следовательно,  45*111=4995. Когда сумма цифр двузначного множимого больше или равна  10, например 68*11, надо сложить цифры множимого (6+8) и в середину  между цифрами 6 и 8 вставить 2 раза единицы полученной суммы. Наконец, к  составленному числу 6448 прибавить 1100. Следовательно, 68*111=7548.   11. Умножение на 37.   При умножении числа на 37, если данное число кратно 3,его делят на 3 и  умножают на 111. 27*37=(27:3)*(37*3)=9*111=999 Если же данное число не кратно 3, то из произведения вычитают 37 или к  произведению прибавляют 37. 23*37=(24­1)*37=(24:3)*(37*3)­37=888­37=851.   12. Возведение в квадрат любого двузначного числа.   Если запомнить квадраты всех чисел от 1 до 25, то легко найти и квадрат  любого двузначного числа, превышающего 25. Для того чтобы найти квадрат любого двузначного числа, надо разность  между этим числом и 25 умножить на 100 и к получившемуся произведению  прибавить квадрат дополнения данного числа до 50 или квадрат избытка его  над 50­ю. Рассмотрим пример: 372=12*100+132=1200+169=1369 (М–25)*100+ (50­M) 2=100M­2500+2500–100M+M2=M2 .   13. Умножение чисел, близких к 100.     При увеличении (уменьшении) одного из множителей на несколько единиц  умножаем полученное целое число и прибавленные (отнятые) единицы на  другой множитель и  из первого произведения вычитаем второе произведение  (полученные произведения складываем) 98∙8=(100­2) ∙8=100∙8­2∙8=800­16=784. Данный прием представления одного из сомножителей в виде разности  позволяет легко умножать на 9, 99, 999. Для этого достаточно умножить число на 10 (100, 1000) и из полученного  целого числа вычесть число, которое умножали: 154х9=154х10­154=1540­154=1386. Но еще проще ознакомить детей с правилом — «чтобы умножить число на 9  (99, 999)достаточно вычесть из этого числа число его десятков (сотен, тысяч), увеличенное на единицу, и к полученной разности приписать дополнение его  цифры единиц до 10 (дополнение до 100 (1000) числа, образованного двумя  (тремя) последними цифрами этого числа): 154х9=(154­16)х10+(10­4)=138х10+6=1380+6=1386   14. Умножение двузначных чисел, у которых сумма единиц равна 10.   Пусть даны два двузначных числа, у которых сумма равна 10: М=10m + n,  K=10a + 10 – n. Составим их произведение. M * K= (10m+n) * (10a + 10 – n) =100am + 100m – 10mn + 10an + +10n – n2 =  m * (a + 1) * 100 + n * (10a + 10 – n) – 10mn = (10m) * * (10 * (a + 1)) + n * (K  – 10m). Рассмотрим несколько примеров: 17 * 23= 10 * 30 + 7 * 13= 300 + 91= 391; 33 * 67= 30 * 70 + 3 * 37= 2100 + 111= 2211.   15 . Умножение на число, записанное одними девятками.             Для того чтобы найти произведение числа написанного одними  девятками на число имеющее с ним одинаковое количество цифр надо от  множителя отнять единицу и к получившемуся числу приписать другое число  все цифры которого дополняют цифры указанного получившегося числа до 9. 8 * 9= 72; 46 * 99= 4554; 137 * 999= 136 863; 3562 * 9999= 35616438. Наличие такого способа усматривается из следующего приёма решения  приведённых примеров: 8 * 9= 8 * (10 – 1)= 80 – 8= 72,  46 * 99= 46 * (100 – 1)= 4600 – 54= 4554.   16. Возведение в квадрат числа, оканчивающееся на 5.   Число десятков умножаем на следующее число десятков и прибавляем 25. 15*15 = 225 = 10*20+ 25   ( или 1*2 и приписываем справа 25) 35*35 =30*40 +25= 1225               (3*4 и приписываем справа 25)   65*65 = 60*70+25=4225                (6*7 и приписываем справа 25)