Системы счисления

Практическое занятие № 1

Системы счисления

Количество часов на выполнение: 2часа

Цель работы: приобретение навыков выполнения операций в различных системах счисления.

Задание: решить 4 задачи, применяя теоритический материал

Методика выполнения задания:

1)               Ознакомится с теоритическим материалом

2)               Решить задачи используя алгоритм решения задач

Теоретический материал:

Система счисления, или просто счисление, или нумерация,— набор конкретных знаков–цифр вместе с системой приемов записи, которая представляет числа этими цифрами.

Система счисления — это совокупность правил и приемов записи чисел с помощью набора цифровых знаков. Количество цифр, необходимых для записи числа в системе, называют основанием системы счисления. Основание системы записывается в справа числа в нижнем индексе:    .

Различают два типа систем счисления:

-              позиционные, когда значение каждой цифры числа определяется ее позицией в записи числа;

-              непозиционные, когда значение цифры в числе не зависит от ее места в записи числа.

Примером непозиционной системы счисления является римская: числа IX, IV, XV и т.д. Примером позиционной системы счисления является десятичная система, используемая повседневно.

Любое целое число в позиционной системе можно записать в форме многочлена:

,

где  — основание системы счисления;

— цифры числа, записанного в данной системе счисления;

n — количество разрядов числа.

Пример. Число  запишется в форме многочлена следующим образом:

Десятичная система счисления – в настоящее время наиболее известная и используемая. неправильное название удерживается и поныне.

Десятичная система использует десять цифр —– 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, а также символы “+” и “–” для обозначения знака числа и запятую или точку для разделения целой и дробной частей числа.

В вычислительных машинах используется двоичная система счисления, её основание — число 2. Для записи чисел в этой системе используют только две цифры — 0 и 1.

Таблица 1. Соответствие чисел, записанных в различных системах счисления

3)                  Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую

Перевод чисел из одной системы счисления в другую составляет важную часть машинной арифметики. Рассмотрим основные правила перевода.

1.     Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней двойки:

Таблица 2. Степени числа 2

Пример. Число  перевести в десятичную систему счисления.

2.     Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 8, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней восьмерки:

Таблица 3.4. Степени числа 8

Пример. Число перевести в десятичную систему счисления.

3.     Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 16, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней числа 16:

Таблица 3. Степени числа 16

Пример. Число перевести в десятичную систему счисления.

4.     Для перевода десятичного числа в двоичную систему его необходимо последовательно делить на 2 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 1. Число в двоичной системе записывается как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример. Число  перевести в двоичную систему счисления.

5.     Для перевода десятичного числа в восьмеричную систему его необходимо последовательно делить на 8 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 7. Число в восьмеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример. Число  перевести в восьмеричную систему счисления.

6.     Для перевода десятичного числа в шестнадцатеричную систему его необходимо последовательно делить на 16 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 15. Число в шестнадцатеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример. Число перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

7.     Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную, его нужно разбить на триады (тройки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую триаду нулями, и каждую триаду заменить соответствующей восьмеричной цифрой (табл. 3).

Пример. Число перевести в восьмеричную систему счисления.

8.     Чтобы перевести число из двоичной системы в шестнадцатеричную, его нужно разбить на тетрады (четверки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую тетраду нулями, и каждую тетраду заменить соответствующей восьмеричной цифрой (табл. 3).

Пример. Число перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

9.     Для перевода восьмеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой.

Пример. Число перевести в двоичную систему счисления.

10. Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной тетрадой.

Пример. Число перевести в двоичную систему счисления.

11. При переходе из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно, необходим промежуточный перевод чисел в двоичную систему.

Пример 1. Число перевести в восьмеричную систему счисления.

Пример 2. Число перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

4)                  Арифметические действия над целыми числами в 2-ой системе счисления :

4.1.  Сложение и вычитание в восьмеричной системе счисления.

При выполнении сложения и вычитания в 8-ой с/с необходимо соблюдать следующие правила:

1) в записи результатов сложения и вычитания могут быть использованы только цифры восьмеричного алфавита;

2) десяток восьмеричной системы счисления равен 8, т.е. переполнение разряда наступает, когда результат сложения больше или равен 8.

В этом случае для записи результата надо вычесть 8, записать остаток, а к старшему разряду прибавить единицу переполнения;

3)если при вычитании приходится занимать единицу в старшем разряде, эта единица переносится в младший разряд в виде восьми единиц.

Пример                

                            + 770₈              + 750₈

                               236₈                  236₈

                             1226₈                  512₈

4.2.                            Сложение и вычитание в шестнадцатеричной системе счисления.

При выполнении этих действий в 16–ой с/с необходимо соблюдать следующие правила:

1)при записи результатов сложения и вычитания надо использовать цифры шестнадцатеричного алфавита: цифры, обозначающие числа от 10 до 15 записываются латинскими буквами, поэтому, если результат является числом из этого промежутка, его надо записывать соответствующей латинской буквой;

2)десяток шестнадцатеричной системы счисления равен 16, т.е. переполнение разряда поступает, если результат сложения больше или равен 16, и в этом случае для записи результата надо вычесть 16, записать остаток, а к старшему разряду прибавить единицу переполнения;

3)если приходится занимать единицу в старшем разряде, эта единица переносится в младший разряд в виде шестнадцати единиц.

Примеры.         

                         +  В09₁₆          + В09₁₆

                            TFA₁₆             7FA₁₆

                           1A03₁₆             30F₁₆

Задание

1.                  Выполнить перевод чисел

а) из 10–ой с/с в 2–ую систему счисления: 165;  541;  600; 720; 43,15; 234,99.

б) из 2–ой в 10–ую систему счисления: 110101₂;  11011101₂;  110001011₂;  1001001,111₂

в) из 2–ой с/с в 8–ую ,16–ую с/с:

100101110₂; 100000111₂; 111001011₂; 1011001011₂; 110011001011₂; 10101,10101₂;   111,011₂

г) из 10–ой с/с в 8–ую, 16–ую с/с: 69;  73; 113; 203; 351; 641; 478,99;  555,555

д)  из 8–ой с/с в 10–ую с/с: 35₈ ; 65₈ ; 215₈ ; 327₈ ; 532₈ ; 751₈; 45,454₈

е) из 16–ой с/с в 10–ую с/с: D8₁₆ ; 1AE₁₆ ;  E57₁₆ ; 8E5₁₆ ;  FAD₁₆;   AFF,6A7₁₆

2.                  Выпишите целые десятичные числа, принадлежащие следующим чсловым промежуткам:

[10101₂; 110000₂];       [14₈; 20₈];       [18₁₆; 30₁₆]

3.                  Выполнить операции:

а) сложение в двоичной системе счисления

     + 10010011₂    + 1011101₂              + 10110011₂                    +10111001,1₂

          1011011₂      11101101₂                   1010101₂                  10001101,1₂

б) вычитание в 2–ой системе счисления

     –  100001000₂ – 110101110₂           – 11101110₂                -10111001,1₂

           10110011₂    10111111₂                   1011011₂                       10001101,1₂

в) умножение в 2–ой системе счисления

     ´ 100001₂          ´ 100101₂                  ´ 111101₂                        ´ 11001,01₂

        111111₂             111011₂                     111101₂                                     11,01₂

г) деление в 2–ой системе счисления

1)   111010001001₂ / 111101₂

2)   100011011100₂ / 110110₂

3)   10000001111₂ / 111111₂

д) сложение 8–ых чисел

+ 715₈   + 524₈ + 712₈    + 321₈   + 5731₈     + 6351₈

     73₈ 57₈          763₈          765₈       1376₈           737₈

е) вычитание 8–ых чисел

 – 137₈ – 436₈ – 705₈     – 538₈    – 7213₈                  

       72₈ 137₈         76₈            57₈         537₈                  

ж) сложение 16–ых чисел

     + А13₁₆ + F0B₁₆ + 2EA₁₆     + ABC₁₆        + A2B₁₆

         16F₁₆ 1DA₁₆        FCE₁₆           C7C₁₆             7F2₁₆

з) вычитание 16–ых чисел

– À17₁₆ – DFA₁₆ – FO5₁₆       – DE5₁₆ – D3C1₁₆

  1FС₁₆ 1AE₁₆   AD₁₆              AF₁₆         D1F₁₆

4.                  Вычислите выражение:

(1111101₂ + AF₁₆) / 36₈;   125₈ + 11101₂ ´ A2₁₆ / 1417₈

Скачано с www.znanio.ru