Системы счисления

Системы счисления

Система счисления – способ наименования и изображения чисел с помощью символов, имеющих определенные количественные значения. В зависимости от способа изображения чисел системы делятся на позиционные и непозиционные.

В непозиционной системе счисления для записи числа используется бесконечное множество символов, и символы не меняют своего количественного значения при изменении их расположения в числе. В качестве примера непозиционной системы счисления можно привести римскую систему счисления. В этой системе для отображения числа один используется символ I, для чисел два и три - последовательности симво­лов II, III. Число пять отображается символом V, а числа четыре и шесть — комбинациями символов IV и VI соответственно. Для числа десять  вводится новый символ X, числа сто — С т.д. Существенными недостатками непозиционных систем счисления является бесконечное число символов для записи чисел при их реализации и сложность правил арифметических действий.

В позиционной системе счисления для записи чисел используются ограниченный набор символов, называемых цифрами, и количественное значение каждой цифры зависит от местоположения (позиции) в записи числа. Например, числа 256  и 625 не равны между собой, хотя и составлены из одинаковых цифр. В числе 256 имеется две сотни, пять десятков и шесть единиц

256=2*100+5*10+6.

Позиционная система счисления определяется ее основанием, т.е. количеством цифр, используемых для изображения числа. В десятичной позиционной системе счисления для записи любого числа используется десять цифр (основание системы 10).

В позиционной системе счисления каждое число может быть представлено в виде полинома по степеням основания:

256=2*10²+5*10¹+ 6*10⁰.

Двоичная система счисления также является позиционной с основанием 2. Таким  образом, любое число в двоичной системе счисления, согласно правилу, можно представить в следующем виде:

110₂=1*2²+1*2¹+0*2⁰.

Для перевода десятичного числа в двоичную (или другую) систему счисления можно применить способ деления на основание той системы счисления, в которую переводится число. В качестве примера переведем число 6 в двоичную систему:

6:2=3, остаток 0,

поэтому можно записать

6=3∙2¹+0∙2⁰.

Делим полученное частное (3) на основание:

3:2=1, остаток 1,  3=1∙2¹+1∙2⁰.

Тогда

6₍₁₀₎=(1∙2¹+1∙2⁰)∙2¹+0∙2⁰=1∙2²+1∙2¹+0∙2⁰=110₍₂₎.

Согласно рассмотренному правилу, число в двоичной системе счисления  может быть получено в результате записи частного и остатков от последовательного деления в порядке, обратном получению.

На основании вышесказанного можно записать несложную таблицу перевода (табл. 2.1).

Таким образом, любое число можно представить в двоичном виде, т.е. с помощью двух цифр 0 и 1.

Таблица 2.1

Перевод десятичных чисел в двоичные

При переводе двоичного числа в десятичное суммируются веса тех разрядов числа, где присутствует 1:

1110₂ = 2³ +2² +2¹ = 14₁₀.

Помимо  двоич­ной системой счисления, в информатике нашли широкое применение восьмерич­ная и шестнадцатеричная системы счисления. Актуальность их использования связана с тем, что запись числа в двоичной системе счисления пример­но в 3,3 раза длиннее записи этого же числа в десятичной системе счисления, что весьма неудобно для использования человеком. Длина записи чисел в восьмеричной системе короче в три раза, а в шестнадцатеричной  - в че­тыре раза по сравнению с двоичной, а длины чисел в восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления отличаются не сильно. Перевод чисел из двоичной си­стемы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную и обратно существенно проще, нежели чем перевод из двоичной в десятичную и обратно.

В восьмеричной системе счисления используются первые восемь цифр десятичной (01234567). В шестнадцатеричной системе используются шестнадцать цифр, из них первые 10 совпадают с цифрами десятичной системы счисления, а  шесть оставшихся отображаются с помощью больших латинских букв (0123456789АВСDЕF).