Системы счисления
Оценка 4.8

Системы счисления

Оценка 4.8
docx
18.11.2021
Системы счисления
Л2-002036.docx

Системы счисления

Система счисления – совокупность символов и правил для наимено- вания и обозначения чисел. Символы называются цифрами. Классифи- кация систем счисления в зависимости от способа определения числово- го эквивалента цифр приведена на рисунке.

Числовое значение цифры опреде- ляется ее позицией в числе
  двоичная: 0, 1
  восьмеричная: 0,…,7-
  десятичная: 0,…,9
  шестнадцатеричная: 0,…,9,A,…,F A2=1011	A8= 270
A10=541	A16=1DC
Числовое значение цифры не зависит от ее позиции в числе Римская
I – 1
V – 5
X – 10
IV – 4
XII – 12
Позиционные системы счисления имеют более про- стые правила выполнения арифметических операций, что обусловило их повсемест- ное использование. При об- работке данных в ЭВМ в ос- новном используются двоич- ная, восьмеричная, шестна- дцатеричная и десятичная позиционные системы счис- ления.

Аппаратные средства ЭВМ рассчитаны на представление и обработку двоичных дан- ных. Объясняется это просто-

той реализации электронного устройства, имеющего два устойчивых со-

стояния. Одно из состояний принимается за 0, другое за 1. За простоту реализации приходится платить большим количеством цифр в записи числа. Двоичное число в среднем в 3,3 раза длиннее десятичного.

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы широко используется для записи двоичных чисел в компактной форме. Такая форма применя- ется в технической документации для ЭВМ и в программах на машинно- ориентированных языках.

Для записи данных в программах на языках высокого уровня исполь- зуется, в основном, привычная для человека десятичная система счис- ления. Преобразование к двоичному виду выполняется при переводе программы на машинный язык.

В общем виде число в позиционной системе счисления записывается в виде полинома:


A=an-1Sn-1+…+a1S1+a0S0+a-1S-1+…+a-mS-m

 

 

Целая часть                   Дробная часть


( 1 )


где S – основание системы, ai – одна из цифр алфавита этой систе- мы счисления.

При сокращенной записи числа основание системы счисления подразу- мевается, а цифры целой и дробной части разделяются точкой:

A=an-1 an-2…a1a0 . a-1 a-2…a-m

 

Целая часть    Дробная часть

Каждая цифра в записи числа называется разрядом. Для двоичных чисел вместо термина разряд часто используют термин бит. Каждый ле- вый разряд имеет вес в S раз больший, чем предыдущий. Крайний пра- вый разряд имеет наименьший вес и называется младшим разрядом. Крайний левый разряд имеет наибольший вес и называется старшим разрядом.

Пусть на запись числа отведено n+m разрядов, из них n на целую часть и m на дробную часть. Число рассматривается как число без зна- ка. Определим максимальное и минимальное число, которое может быть записано в этой разрядной сетке:

 

 


Максимальное число Amax = (Sn 1) + (1 - S-

m)


n=3                             m=2


 

максимальная целая часть

максимальная дробная часть

 

n=3 и m=2 максимальное число


 

9	9	9	.	9	9

Например, для десятичной системы при


Amax = (103–1) + (1-10-2) = (1000-1) + (1–0.01) = 999 + 0.99 = 999.99

Для получения записи максимального числа необходимо занести во все разряды наибольшую цифру системы счисления.

 

Минимальное                                                 отличное    от     n=3                             m=2


нуля число Amin=

 

 

Например,


минимальная целая часть

 

 

 

минимальная дробная часть


0 + S-m

0	0	0	.	0	1

для десятичной системы при n=3 и


m=2 минимальное число


Amin = 10-2 = 0.01


Для получения записи минимального числа необходимо занести в млад- ший разряд единицу, а в остальные разряды нули.

Количество различных комбинаций цифр Nк определяет количество различных по значению чисел, которые могут быть записаны в заданных разрядах:

= Sm+n

Для рассмотренного примера количество десятичных чисел Nк=105

При работе с технической документацией и анализе машинных про- грамм приходится выполнять преобразования чисел из одной системы счисления в другую. Общие правила преобразования будут рассмотрены ниже.


В таблице приведена запись первых 20-ти чисел в разных системах счисления:

A10	A2	A8	A16
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9

A10	A2	A8	A16
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10
17	10001	21	11
18	10010	22	12
19	10011	23	13


 

Системы счисления Система счисления – совокупность символов и правил для наимено- вания и обозначения чисел

Системы счисления Система счисления – совокупность символов и правил для наимено- вания и обозначения чисел

A=a n-1 S n-1 +…+a 1 S 1 +a 0 S 0 +a -1

A=a n-1 S n-1 +…+a 1 S 1 +a 0 S 0 +a -1

Общие правила преобразования будут рассмотрены ниже

Общие правила преобразования будут рассмотрены ниже

В таблице приведена запись первых 20-ти чисел в разных системах счисления:

В таблице приведена запись первых 20-ти чисел в разных системах счисления:
Скачать файл