Системы счисления
Система счисления – совокупность символов и правил для наимено- вания и обозначения чисел. Символы называются цифрами. Классифи- кация систем счисления в зависимости от способа определения числово- го эквивалента цифр приведена на рисунке.
Позиционные системы счисления
имеют более про- стые правила
выполнения арифметических операций,
что обусловило их повсемест- ное использование. При об- работке данных в ЭВМ в ос- новном используются двоич-
ная, восьмеричная, шестна-
дцатеричная и десятичная позиционные системы счис- ления.
Аппаратные средства ЭВМ рассчитаны на представление и обработку двоичных дан- ных. Объясняется это просто-
той реализации электронного устройства, имеющего два устойчивых со-
стояния. Одно из состояний принимается за 0, другое за 1. За простоту реализации приходится платить большим количеством цифр в записи числа. Двоичное число в среднем в 3,3 раза длиннее десятичного.
Восьмеричная и шестнадцатеричная системы широко используется для записи двоичных чисел в компактной форме. Такая форма применя- ется в технической документации для ЭВМ и в программах на машинно- ориентированных языках.
Для записи данных в программах на языках высокого уровня исполь- зуется, в основном, привычная для человека десятичная система счис- ления. Преобразование к двоичному виду выполняется при переводе программы на машинный язык.
В общем виде число в позиционной системе счисления записывается в виде полинома:
A=an-1Sn-1+…+a1S1+a0S0+a-1S-1+…+a-mS-m
Целая часть Дробная часть
( 1 )
где S – основание системы, ai – одна из цифр алфавита этой систе- мы счисления.
При сокращенной записи числа основание системы счисления подразу- мевается, а цифры целой и дробной части разделяются точкой:
A=an-1 an-2…a1a0 . a-1 a-2…a-m
Целая часть Дробная часть
Каждая цифра в записи числа называется разрядом. Для двоичных чисел вместо термина разряд часто используют термин бит. Каждый ле- вый разряд имеет вес в S раз больший, чем предыдущий. Крайний пра- вый разряд имеет наименьший вес и называется младшим разрядом. Крайний левый разряд имеет наибольший вес и называется старшим разрядом.
Пусть на запись числа отведено n+m разрядов, из них n на целую часть и m на дробную часть. Число рассматривается как число без зна- ка. Определим максимальное и минимальное число, которое может быть записано в этой разрядной сетке:
Максимальное число Amax = (Sn – 1) + (1 - S-
m)
n=3 m=2
максимальная целая часть
максимальная дробная часть
n=3 и m=2 максимальное число
Например, для десятичной системы
при
Amax = (103–1) + (1-10-2) = (1000-1) + (1–0.01) = 999 + 0.99 = 999.99
Для получения записи максимального числа необходимо занести во все разряды наибольшую цифру системы счисления.
Минимальное отличное от n=3 m=2
нуля число Amin=
Например,
минимальная целая часть
минимальная дробная часть
0 + S-m
для
десятичной системы при n=3 и
m=2 минимальное число
Amin = 10-2 = 0.01
Для получения записи минимального числа необходимо занести в млад- ший разряд единицу, а в остальные разряды нули.
Количество различных комбинаций цифр Nк определяет количество различных по значению чисел, которые могут быть записаны в заданных разрядах:
Nк = Sm+n
Для рассмотренного примера количество десятичных чисел Nк=105
При работе с технической документацией и анализе машинных про- грамм приходится выполнять преобразования чисел из одной системы счисления в другую. Общие правила преобразования будут рассмотрены ниже.
В таблице приведена запись первых 20-ти чисел в разных системах счисления:
![]() |
![]() |
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.