Системы счисления

Системы счисления

Система счисления – совокупность символов и правил для наимено- вания и обозначения чисел. Символы называются цифрами. Классифи- кация систем счисления в зависимости от способа определения числово- го эквивалента цифр приведена на рисунке.

Позиционные системы счисления имеют более про- стые правила выполнения арифметических операций, что обусловило их повсемест- ное использование. При об- работке данных в ЭВМ в ос- новном используются двоич- ная, восьмеричная, шестна- дцатеричная и десятичная позиционные системы счис- ления.

Аппаратные средства ЭВМ рассчитаны на представление и обработку двоичных дан- ных. Объясняется это просто-

той реализации электронного устройства, имеющего два устойчивых со-

стояния. Одно из состояний принимается за 0, другое за 1. За простоту реализации приходится платить большим количеством цифр в записи числа. Двоичное число в среднем в 3,3 раза длиннее десятичного.

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы широко используется для записи двоичных чисел в компактной форме. Такая форма применя- ется в технической документации для ЭВМ и в программах на машинно- ориентированных языках.

Для записи данных в программах на языках высокого уровня исполь- зуется, в основном, привычная для человека десятичная система счис- ления. Преобразование к двоичному виду выполняется при переводе программы на машинный язык.

В общем виде число в позиционной системе счисления записывается в виде полинома:

A=a_n-1S^n-1+…+a₁S¹+a₀S⁰+a_-1S^-1+…+a_-mS^-m

Целая часть                   Дробная часть

( 1 )

где S – основание системы, a_i – одна из цифр алфавита этой систе- мы счисления.

При сокращенной записи числа основание системы счисления подразу- мевается, а цифры целой и дробной части разделяются точкой:

A=an-1 an-2…a1a0 . a-1 a-2…a-m

Целая часть    Дробная часть

Каждая цифра в записи числа называется разрядом. Для двоичных чисел вместо термина разряд часто используют термин бит. Каждый ле- вый разряд имеет вес в S раз больший, чем предыдущий. Крайний пра- вый разряд имеет наименьший вес и называется младшим разрядом. Крайний левый разряд имеет наибольший вес и называется старшим разрядом.

Пусть на запись числа отведено n+m разрядов, из них n на целую часть и m на дробную часть. Число рассматривается как число без зна- ка. Определим максимальное и минимальное число, которое может быть записано в этой разрядной сетке:

Максимальное число Amax = (Sⁿ – 1) + (1 - S^-

m)

n=3                             m=2

максимальная целая часть

максимальная дробная часть

n=3 и m=2 максимальное число

Например, для десятичной системы при

Amax = (10³–1) + (1-10^-2) = (1000-1) + (1–0.01) = 999 + 0.99 = 999.99

Для получения записи максимального числа необходимо занести во все разряды наибольшую цифру системы счисления.

Минимальное                                                 отличное    от     n=3                             m=2

нуля число Amin=

Например,

минимальная целая часть

минимальная дробная часть

0 + S^-m

для десятичной системы при n=3 и

m=2 минимальное число

Amin = 10^-2 = 0.01

Для получения записи минимального числа необходимо занести в млад- ший разряд единицу, а в остальные разряды нули.

Количество различных комбинаций цифр Nк определяет количество различных по значению чисел, которые могут быть записаны в заданных разрядах:

Nк = S^m+n

Для рассмотренного примера количество десятичных чисел Nк=10⁵

При работе с технической документацией и анализе машинных про- грамм приходится выполнять преобразования чисел из одной системы счисления в другую. Общие правила преобразования будут рассмотрены ниже.

В таблице приведена запись первых 20-ти чисел в разных системах счисления: