СК "Математика: от простого к сложному", "Окружность"

Окружнос Окружнос тьть

Содержание Содержание Определения • Определения Формула • Формула Дуга окружности • Дуга окружности Теоремы о диаметре • Теоремы о диаметре • ЗЗависимость между дугами и хордами ависимость между дугами и хордами Зависимость длин хорд от их расстояния • Зависимость длин хорд от их расстояния  от центра окружности  от центра окружности Свойства касательной к окружности • Свойства касательной к окружности Взаимное расположение двух окружност • Взаимное расположение двух окружност ейей Задачи • Задачи Домашнее задание • Домашнее задание

AmB Дуга окружности – это часть окружности. Дуга окружности AA Дуга AmB или  Центральный угол –  Центральный угол это угол, стороны  которого радиусы  окружности.               соответствует  центральному углу Если в данной окружности центральные углы  равны, то и соответствующие им дуги равны.  EnF  nn FF kk CC EOFEOF mm BB DD OO EE EOFEOF = = COD    COD   <<==>> EnF = CkD Если в данной окружности две дуги равны, то и  соответствующие им центральные углы равны.

Следствия: Следствия: 1.1. Диаметр, перпендикулярный к параллельным друг   Диаметр, перпендикулярный к параллельным друг      другу хордам, делит все их пополам. другу хордам, делит все их пополам.      Если чертеж перегнуть по диаметру MN, MN, то концы хорд  то концы хорд  Если чертеж перегнуть по диаметру  А(А'), В(В'), С(С'). .  совпадут: А(А'), В(В'), С(С') совпадут:  Поэтому диаметр окружности есть ось симметрии ее. Поэтому диаметр окружности есть ось симметрии ее. Диаметр делит окружность на две равные части — две Диаметр делит окружность на две равные части — две полуокружности. полуокружности. 2.2. Дуги, заключенные между параллельными хордами,  Дуги, заключенные между параллельными хордами,  равны между собой.  равны между собой.

• Теоремы  Теоремы (обратные).  (обратные).  • 1.1.  Если диаметр проходит через середину  Если диаметр проходит через середину  хорды, , то он ей перпендикулярен и то он ей перпендикулярен и  делит дугу  делит дугу  хорды                                      с теми же концами пополам.                                     с теми же концами пополам. • 2.2.  Если диаметр делит дугу пополам, то он  Если диаметр делит дугу пополам, то он  перпендикулярен хорде, стягивающей эту дугу,  перпендикулярен хорде, стягивающей эту дугу,  и делит ее пополам. и делит ее пополам. •   Домашнее задание: Домашнее задание: Докажите обратные теоремы. Докажите обратные теоремы.

Зависимость между дугами и хордами Зависимость между дугами и хордами • т 2 (обратная). Если в одной окружности  хорды равны, то и соответствующие им  дуги равны.  ОА=ОВ=ОС=ОD=r 1. ΔАОВ=ΔСОD, по ССС    AB=CD =>               =>                         , как им  AmВ= 11== 22,, СnD         соответствующие, ч.т.д. Дано: ω(О, r)   AB=CD Док­ть: Док­во: AmВ= СnD ОО 22 11 DD AA nn CC BB mm

Зависимость между дугами и хордами Зависимость между дугами и хордами • т 3. Если в одной окружности две дуги,  меньшие полуокружности, не равны, то  соответственно равными сторонами соответственно равными сторонами большей дуге соответствует большая хорда.  Треугольники с двумя  Треугольники с двумя  т. Если 2 стороны одного треугольника равны двум сторонам другого, а углы между ними не равны, то против большего из этих углов лежит большая  ОО сторона.  Дано: ω(О, r) AmВ> Док­ть: AB>CD Док­во: СnD CC    DD nn 22 11 BB AA AmВ> mm СnD т. (обратная)  Если 2 стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника, а  11>> 22,, третьи стороны не равны, то против большей  1.                               => стороны лежит больший угол.  2. В ΔАОВ и ΔCOD: OA=OB=OC=OD=r,      а                 по п.1, => AB>CD, по т. о треугольниках 11>> 2,2,             с 2­мя соответственно равными  сторонами, ч.т.д.

Зависимость между дугами и хордами Зависимость между дугами и хордами • т 4 (обратная). Если в одной окружности  две хорды не равны, то из двух дуг,  меньших полуокружности, большей  хорде соответствует большая дуга.  • Доказать т 4. методом  от противного самостоятельно. ОО 22 11 • Замечание. Доказанные теоремы 1­4 будут верны также для двух равных  окружностей. AA DD nn CC BB mm

Зависимость длин хорд от их  Зависимость длин хорд от их  расстояния от центра окружности расстояния от центра окружности Теорема 1 Теорема 1 Теорема 2 (обратная) Теорема 2 (обратная) Теорема 3 Теорема 3 Теорема 4 (обратная) Теорема 4 (обратная)

Зависимость длин хорд от их  Зависимость длин хорд от их  • расстояния от центра окружности расстояния от центра окружности т 1. Если в данной окружности хорды  равны, то они равноудалены от центра. DD Дано: ω(О, r) AB=CD CC ┴ OE AB, OF CD Док­ть: OE=OF Док­во: BB ┴ ОО FF EE AA   1. ΔAOB и ΔCOD – равнобедренные   2. ΔAOB=ΔCOD по ССС    OA=OB=OC=OD=r    AB=CD, по усл. => OE=OF, из п.1, ч.т.д.

Зависимость длин хорд от их  Зависимость длин хорд от их  расстояния от центра окружности расстояния от центра окружности • т 2 (обратная). Если в одной окружности  хорды равноудалены от центра, то они  равны между собой. DD ОО FF EE CC BB Дано: ω(О, r) OE=OF OE AB, OF CD ┴ ┴ Док­ть: AB=CD Док­во: AA 1. ΔAOE=ΔDOF по катету и гипотенузе     OA=OD=r     OE=OF, по усл. => AE=DF, или ½АВ=½CD => AB=CD, ч.т.д.

Зависимость длин хорд от их  Зависимость длин хорд от их  расстояния от центра окружности расстояния от центра окружности • т 3. Если в одной окружности хорды не  равны, то большая из них ближе к центру. Дано: ω(О, r)   AB>CВ Док­ть: OD DOBDOB== EOBEOB,, 1. AB>CB =>                          => ½        ½   2,2, т.е.                           поэтому OE DB=F   11>> ∩  OD 3. Т.к. OF – часть отрезка ОЕ, то OD