СК "Математика: от простого к сложному", "Окружность"

Окружнос Окружнос тьть

Содержание Содержание Определения • Определения Формула • Формула Дуга окружности • Дуга окружности Теоремы о диаметре • Теоремы о диаметре • ЗЗависимость между дугами и хордами ависимость между дугами и хордами Зависимость длин хорд от их расстояния • Зависимость длин хорд от их расстояния  от центра окружности  от центра окружности Свойства касательной к окружности • Свойства касательной к окружности Взаимное расположение двух окружност • Взаимное расположение двух окружност ейей Задачи • Задачи Домашнее задание • Домашнее задание

AmB Дуга окружности – это часть окружности. Дуга окружности AA Дуга AmB или  Центральный угол –  Центральный угол это угол, стороны  которого радиусы  окружности.               соответствует  центральному углу Если в данной окружности центральные углы  равны, то и соответствующие им дуги равны.  EnF  nn FF kk CC EOFEOF mm BB DD OO EE EOFEOF = = COD    COD   <<==>> EnF = CkD Если в данной окружности две дуги равны, то и  соответствующие им центральные углы равны.

Следствия: Следствия: 1.1. Диаметр, перпендикулярный к параллельным друг   Диаметр, перпендикулярный к параллельным друг      другу хордам, делит все их пополам. другу хордам, делит все их пополам.      Если чертеж перегнуть по диаметру MN, MN, то концы хорд  то концы хорд  Если чертеж перегнуть по диаметру  А(А'), В(В'), С(С'). .  совпадут: А(А'), В(В'), С(С') совпадут:  Поэтому диаметр окружности есть ось симметрии ее. Поэтому диаметр окружности есть ось симметрии ее. Диаметр делит окружность на две равные части — две Диаметр делит окружность на две равные части — две полуокружности. полуокружности. 2.2. Дуги, заключенные между параллельными хордами,  Дуги, заключенные между параллельными хордами,  равны между собой.  равны между собой.

• Теоремы  Теоремы (обратные).  (обратные).  • 1.1.  Если диаметр проходит через середину  Если диаметр проходит через середину  хорды, , то он ей перпендикулярен и то он ей перпендикулярен и  делит дугу  делит дугу  хорды                                      с теми же концами пополам.                                     с теми же концами пополам. • 2.2.  Если диаметр делит дугу пополам, то он  Если диаметр делит дугу пополам, то он  перпендикулярен хорде, стягивающей эту дугу,  перпендикулярен хорде, стягивающей эту дугу,  и делит ее пополам. и делит ее пополам. •   Домашнее задание: Домашнее задание: Докажите обратные теоремы. Докажите обратные теоремы.

Зависимость между дугами и хордами Зависимость между дугами и хордами • т 2 (обратная). Если в одной окружности  хорды равны, то и соответствующие им  дуги равны.  ОА=ОВ=ОС=ОD=r 1. ΔАОВ=ΔСОD, по ССС    AB=CD =>               =>                         , как им  AmВ= 11== 22,, СnD         соответствующие, ч.т.д. Дано: ω(О, r)   AB=CD Док­ть: Док­во: AmВ= СnD ОО 22 11 DD AA nn CC BB mm

Зависимость между дугами и хордами Зависимость между дугами и хордами • т 3. Если в одной окружности две дуги,  меньшие полуокружности, не равны, то  соответственно равными сторонами соответственно равными сторонами большей дуге соответствует большая хорда.  Треугольники с двумя  Треугольники с двумя  т. Если 2 стороны одного треугольника равны двум сторонам другого, а углы между ними не равны, то против большего из этих углов лежит большая  ОО сторона.  Дано: ω(О, r) AmВ> Док­ть: AB>CD Док­во: СnD CC    DD nn 22 11 BB AA AmВ> mm СnD т. (обратная)  Если 2 стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника, а  11>> 22,, третьи стороны не равны, то против большей  1.                               => стороны лежит больший угол.  2. В ΔАОВ и ΔCOD: OA=OB=OC=OD=r,      а                 по п.1, => AB>CD, по т. о треугольниках 11>> 2,2,             с 2­мя соответственно равными  сторонами, ч.т.д.

Зависимость между дугами и хордами Зависимость между дугами и хордами • т 4 (обратная). Если в одной окружности  две хорды не равны, то из двух дуг,  меньших полуокружности, большей  хорде соответствует большая дуга.  • Доказать т 4. методом  от противного самостоятельно. ОО 22 11 • Замечание. Доказанные теоремы 1­4 будут верны также для двух равных  окружностей. AA DD nn CC BB mm

Зависимость длин хорд от их  Зависимость длин хорд от их  расстояния от центра окружности расстояния от центра окружности Теорема 1 Теорема 1 Теорема 2 (обратная) Теорема 2 (обратная) Теорема 3 Теорема 3 Теорема 4 (обратная) Теорема 4 (обратная)

Зависимость длин хорд от их  Зависимость длин хорд от их  • расстояния от центра окружности расстояния от центра окружности т 1. Если в данной окружности хорды  равны, то они равноудалены от центра. DD Дано: ω(О, r) AB=CD CC ┴ OE AB, OF CD Док­ть: OE=OF Док­во: BB ┴ ОО FF EE AA   1. ΔAOB и ΔCOD – равнобедренные   2. ΔAOB=ΔCOD по ССС    OA=OB=OC=OD=r    AB=CD, по усл. => OE=OF, из п.1, ч.т.д.

Зависимость длин хорд от их  Зависимость длин хорд от их  расстояния от центра окружности расстояния от центра окружности • т 2 (обратная). Если в одной окружности  хорды равноудалены от центра, то они  равны между собой. DD ОО FF EE CC BB Дано: ω(О, r) OE=OF OE AB, OF CD ┴ ┴ Док­ть: AB=CD Док­во: AA 1. ΔAOE=ΔDOF по катету и гипотенузе     OA=OD=r     OE=OF, по усл. => AE=DF, или ½АВ=½CD => AB=CD, ч.т.д.

Зависимость длин хорд от их  Зависимость длин хорд от их  расстояния от центра окружности расстояния от центра окружности • т 3. Если в одной окружности хорды не  равны, то большая из них ближе к центру. Дано: ω(О, r)   AB>CВ Док­ть: OD DOBDOB== EOBEOB,, 1. AB>CB =>                          => ½        ½   2,2, т.е.                           поэтому OE DB=F   11>> ∩  OD 3. Т.к. OF – часть отрезка ОЕ, то OD

Зависимость длин хорд от их  Зависимость длин хорд от их  расстояния от центра окружности расстояния от центра окружности т 4 (обратная). Если в данной окружности  расстояния от центра до хорд не равны, то  та хорда больше, которая ближе к центру. • • Доказать т 4.  методом  от противного.   Следствие.    Диаметр есть наибольшая из хорд.

Свойства касательной к окружности Свойства касательной к окружности Теорема 1 Теорема 1 Теорема 2 (обратная) Теорема 2 (обратная) Задача Задача

• Свойства касательной к окружности Свойства касательной к окружности т 1. Касательная перпендикулярна к  радиусу, проведенному в точку касания. Дано: ω(O, r) ОО PP MM QQ NN MN – касательная     Р – точка касания Док­ть: ОР┴MN Док­во: 1. Все точки прямой MN, кроме точки Р,  лежат вне окружности,   Q Є MN:  OQ>OP 2. OP – наименьший из отрезков,  соединяющих т.О с точками прямой MN, т.е. ОР – перпендикуляр, ч.т.д.

Свойства касательной к окружности Свойства касательной к окружности  т 2 (обратная). Касательная перпендикулярна к  радиусу, проведенному в точку касания. Дано: ω(O, r), ОР=r Док­ть: MN – касательная Док­во: MM ОО NN QQ PP 1.  Пусть   Q Є MN 2. OP MN – касательная, ч.т.д.

Задача Задача MM ОО PP NN • Построить касательную  к данной окружности в  данной точке этой  окружности. • Решение: • 1. ОР=r • 2. т.Р:  MN OP┴ • 3. MN – касательная  искомая

Взаимное расположение  Взаимное расположение  двух окружностей двух окружностей • Пересекающиеся Пересекающиеся • Касающиеся Касающиеся • Непересекающиеся Непересекающиеся • Концентрические Концентрические

Взаимное расположение  Взаимное расположение  двух окружностей двух окружностей • Две окружности называются  пересекающимися, если они имеют 2 общие  точки. P • Прямая ОО1 называется линией центров окружностей. r О r1 О1 Q • Отрезок PQ – общая хорда этих окружностей. • Прямая ОО1 – ось симметрии для 2­х окружностей  одновременно, => точки P и Q симметричны  относительно оси ОО1 и PQ OO┴ 1 • Из ΔОРО1 имеем: ОО1<ОР+О1Р и ОО1>|ОР­О1Р| или ОО1|r­r1|

Взаимное расположение  Взаимное расположение  двух окружностей двух окружностей • Две окружности называются касающимися,  если они имеют одну общую точку. M • Возможны 2 случая: 1) внешнее касание ОО1=r+r1  • 2) внутреннее касание OO1=|r­r1|  • Касающиеся  окружности  имеют общую  касательную MN  в их общей точке Р. r1 О1 О r r О О1 r1 P N M P N

Взаимное расположение  Взаимное расположение  двух окружностей двух окружностей • Две окружности называются  непересекающимися, если они  не имеют  одну общих точек. • Возможны 2 случая: 1) ОО1=r+АА1+r1  => ОО1>r+r1  • 2) OA=OO1+O1A1+A1A   => OO1+A1A=OA­O1A1  =>OO1<|r­r1|  О r A О1 r1 A1 r A1 О1 r1 О A

Взаимное расположение  Взаимное расположение  двух окружностей двух окружностей • Две окружности называются концентрическими,  если они имеют общий центр. А1 r1 О(О1) A r • Если известны радиусы двух окружностей и  расстояние между  их центрами, то можно узнать их расположение,  не делая чертежа • Например, r=10 см, r1=6 см     ОО1=14 см; • ОО1|r­r1|, т.е. 14>10­6 • => окружности пересекаются.

Задачи Задачи • № № 1 – 4 1 – 4 • № № 5 – 8 5 – 8 • Ответы Ответы

Задачи Задачи АВС =120оо АВС =120 • 1.                      , АВ=ВС=6 см.  Через точки А, В, С провести окружность и  найти ее радиус. • 2. Угол между хордой и диаметром 30о. Хорда делит диаметр на отрезки 4 см и 12 см. Найти расстояние от центра  до хорды. 3. Из точки В на окружности проведены две  хорды АВ┴CD. Расстояние от центра до этих  хорд 3 см и 5 см. Найти длину АВ и ВС. 4. Две касательные перпендикулярны друг  другу. Хорда, соединяющая точки касания,  равна 4 см. Найти расстояние от центра до  хорды.

Задачи Задачи • 5. АВ и ВС – касательные; АВ+ВС=20 см,                        Найти длину хорды АС. • 6. Даны две параллельные прямые и их  АВС =60оо АВС =60 секущая. Провести окружность,  касающуюся всех трех прямых. • 7. Как расположены две окружности, если: • 1) r=16 см, r1=4 см, ОО1=20 см; • 2) r=22 см, r1=14 см, ОО1=8 см; • 3) r=10 см, r1=6 см, ОО1=24 см; • 8. Выразить в градусах, минутах и секундах  следующие части окружности:        ; 0,001.                        1 72

Задачи. Ответы: Задачи. Ответы: • 1.   6 см • 2.   2 см • 3.   10 см и 6 см • 4.   2 см • 5.   10 см • 6.   построение • 7.   1) внешнее касание 2) внутреннее касание 3) одна окружность вне другой • 8.  5о; 21′36″