СКОРОСТЬ СВЕТА. ДИСПЕРСИЯ СВЕТА. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

§ 6. СКОРОСТЬ СВЕТА. ДИСПЕРСИЯ СВЕТА. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 1. Скорость света в изотропной непоглощающей среде: c c  или  n  ε где с — скорость света в вакууме (с = 3*108 м*с­1);   — относи электрическая проницаемость среды; μ — относительная магнитная  проницаемость среды; п — показатель преломления вещества. 2. Фазовая скорость:  3. u    T Групповая скорость (скорость распространения энергии):     d d  (формула Рэлея).    2 тельная  В области нормальной дисперсии и < v в области аномальной дисперсии и > v но всегда и <с. 4. Эффект Доплера v B 2 0  v 0   1 m  1  )c теля и    υ ;  — относительная скорость  наблюда v где v0 — частота колебаний источника; v — частота, воспринимаемая   наблюдателем;    c источника колебаний.  v 0(1 При малых  5. Зависимость показателя преломления от длины волны в области  нормальной дисперсии выражается формулой Коши:   n A  где А, В, С, ... — постоянные величины, определяемые для каждого  вещества опытным путем; λо — длина волны в вакууме. Обычно в  формуле Коши ограничиваются двумя первыми членами. 6. Электронная   теория   дисперсии   дает   зависимость   показа ur теля преломления от частоты колебаний вектора  E n где ε0 — электрическая постоянная; N — концентрация электронов; т  N    2 0   1  … C 4  0  2 e m  1 2 0 2 : ω и е — соответственно заряд и масса электрона; ω0 — собственная  частота колебаний электронов среды;  излучения. При ω  Область  частот ω  7. Масса частицы с нулевой массой покоя (фотона): cm   ≈ ωо формула неприменима (область поглощения).  → ωо — область аномальной дисперсии.  — частота колеба ний  E 2 E c где Е = hv (h — постоянная Планка; h = 6,62*10­34 Дж*с).  Импульс этой частицы p  8. Закон сложения скоростей в специальной теории относительности: u   ' u  ' 1 u 2 c где и'—относительная скорость; v — переносная скорость; и u—  абсолютная скорость. ВОПРОСЫ Какие методы определения скорости света вам известны? Какие   экспериментальные   методы   позволяют   определить величину показателей преломления различных газов и зависимость показателя преломления данного газа от давления? Распространение   какого   параметра   колебаний характеризуется фазовой  скоростью волны? Какую величину называют групповой скоростью? Объясните, почему все экспериментальные методы определения скорости  света дают значения групповой скорости. Каким соотношением связаны групповая и фазовая скорости? В каком случае групповая и фазовая скорости равны? Какую величину принято называть средней дисперсией вещества в диапазоне  длин волн от λг до λ2? Какую величину называют дисперсией вещества для данной длины волны? 10. Как   групповая   скорость связана с дисперсией вещества? И. Почему  аномальная   дисперсия наблюдается в области поглощения и вблизи от  нее? Как   экспериментально   обнаруживаются области  аномальной дисперсии  среды? Начертите примерный   график зависимости показателя преломления от  длины волны в области полосы поглощения. При  каких   условиях применимы формулы преобразования Галилея и когда следует применять формулы преобразования специальной  теории относительности? Как сказывается быстрое движение тела на плотности вещества этого тела? Примеры решения задач 1. Установка для измерения скорости света, предложенная Фуко, состоит  из линзы (рис. 61), зеркала аа, вращающегося вокруг перпендикулярной  чертежу оси С, неподвижного зеркала А и источника света S, находящегося в фокальной плоскости линзы. Какое значение скорости света получили,  π ­1; расстояние  если зеркало аа вращалось с угловой скоростью   с между вращающимся и неподвижным зеркалами l = 4 м, фокусное  расстояние  = 1600  ω Рис. 6.1 линзы F = 1  м   и    смещение    изображения    источника    света х = 0,28  мм? Р е ш е н и е Так как лучи после преломления в линзе и после отражения от  вращающегося зеркала идут параллельными пучками, то источник света S и его изображение S' находятся на пересечении фокальной плоскости линзы и  оптических осей OS и OS'. Следовательно, угол поворота пучка лучей L x при этом зеркало повернулось на угол  2 Такой поворот зеркала произошел за время t =    Значит, за это время свет прошел расстояние, равное 2l.  Скорость света  u l a  lL x  4 l   4   l 2 t 2  Вычисления дают и = 2,87*108 м/с. a)  2. Найдите зависимость между групповой скоростью и и фазовой скоростью  v для следующих законов дисперсии:  bk б)  ;  c в)  2   a ; 3 2  b  a  1 2  3 2 , u  ,        a           a где    a, b, с — некоторые постоянные; λ, k,   ω — соответственно длина  волны, волновое число и циклическая частота. Р е ш е н и е   Воспользуемся формулой u а)  б) k в)   2 u 3. Показатель преломления воздуха при нормальных условиях для желтой  линии натрия (λ = 5893*10­10 м) п1 = 1,0002918. Определите показатель  преломления n2 воздуха при температуре 30° С и давлении 3*106 Па.    2 2 , c 2   1 3  , 2   2 2  4 2   ,  2 b     ,    2       3 2  , 3 1 3        2 c 2  4 , a 1 2 c 2  4  3 2   1 2 , 3 2 3 1 2   l 2 1 N    m 2 0 Р е ш е н и е Области поглощения в спектрах азота кислорода и натрия не совпадают,   поэтому для  решения  задачи  используем  уравнение n Полагая, что концентрация электронов прямо пропорциональна  концентрации молекул или массе единицы объема вещества, а масса  пропорциональна плотности, можем записать: N 1 N   1 2 (1) 2 0 2 Циклическая частота обращения электронов в атоме не зависит от  температуры вещества, так что ωо = const. Отношение   1    определим из системы уравнений Клапейрона —Менделеева  2  2  1,  1  RT p 2 для двух состояний газа:   p 1 откуда    1 2 p T 1 2 p T 2 1 RT 2 Уравнение (1) также используем для составления системы уравнений двух  состояний газа: 2 N e 2 n 1  1 m 0   1   1 N e 2  m 0 2 n 2 , 2  1 2  0  1 2  0 откуда    1 1 2 n 1 2 n 2 N 1 n 2   1  2  p T 1 2 p T 2 1 Разрешая  полученное уравнение относительно n2,   получаем: n 2  ( 2 n 1 p T 2 1  1) p T 1 2  1 Вычисления дают: n2 = 1,00793. Показатель преломления прозрачного вещества для небольшого интервала  длин волн, вдали от линий поглощения, связан с длиной волны  соотношением n A  B 2   Определите:   а)   дисперсию   вещества;   б)   фазовую   скорость; в)  групповую скорость. Р е ш е н и е а) Дисперсия  п от изменения длины волны λ: d Дифференцируя   (1),   получаем:  показывает зависимость изменения показателя  η dn преломления    2 B 3  ,  0 c A , c n B 2     следовательно, дисперсия нормальная,  б) Фазовая скорость света в веществе    2  c 2   A в) Групповая скорость   u   5. С какой скоростью удаляется от Солнечной системы некоторая  туманность, если линия водорода λ = 434 нм в ее спектре смещена в сторону       2    c 2  B (  2 cB 2   A B A ( 2  A   u B ) 2 ) B (   2 ) длинных волн на 13 нм? Р е ш е н и е Смещение спектральной линии произошло вследствие эффекта Доплера v  v 0   1 c   1 c (1) c   Так как v ,c v   0 (1) запишем в виде:   ) ,(     c      c   c c  и,   упрощая   подкоренное   выражение,    соотношение  2  c c     Разрешая последнее уравнение относительно v, получаем:  c  1 (  1 ( 2      )    ) 2 , 3 c 1 6. Ионизированный атом, вылетев из ускорителя со скоростью 0,89с  испустил фотон в направлении своего движения. Определите скорость  фотона относительно ускорителя. Р е ш е н и е Применим формулу релятивистского сложения скоростей u   ' n  ' 1 u 2 c Фотон — квант света, его скорость с (скорость света), тогда u  0,89 1  c c  0.89 c c 2 c Скорость света в вакууме не зависит от скорости источника света и  одинакова во всех инерциальных системах отсчета (2­й постулат  Эйнштейна). Задачи для самостоятельного решения 6.1. При определении скорости света по способу Физо зеркало отстояло от  зубчатого колеса на расстоянии l = 8633 м. Колесо имело N = 720  зубцов и столько  же  промежутков.   Для     xм наблюдателя   свет  исчезает  впервые  при v = 12,6  об/с.   Какое значение  скорости света было получено при этих условиях? 6.2. Каким должно быть смещение х изображения   источника света в опыте Фуко (см. рис. 6.1), если расстояние между неподвижным и  вращающимся зеркалами  l = 10 м, зеркало   аа    делает 500 об/с, фокусное расстояние линзы F = 1,25 м? Путь между зеркалами  свет проходит в воде  (n=4/8) Скорость света   принять равной 3­108 м/с.  Ответ  69,8 10 6.3. Насыщающие пары бензола (С6Н6) для света, длина волны которого λ = 5893*10­10 м (желтая линия натрия), при температуре 40° С и  давлении 7,6 мм рт. ст. имеют показатель преломления n1 =s 1,001812,   Чему  равен  показатель  преломления  этого  газа при температуре 400° G и давлении 60,6 мм рт, ст?  Ответ    п = 1,000684.   u     1 . .  5    2 1      1 2  n  n 1  2  n 2   2   n 1     n 1 1 2    2 1    6.4. Показатель преломления некоторого прозрачного вещества при длине  волны света λ1 равен n1 а при длине волны λ2 равен n2 (λ1 > λ2, п1 < n2). Определите отношение групповой и фазовой скоростей   света   в   этом   веществе   для  света   с длиной  волны  Ответ  Р е ш е н и е .    Фазовая скорость   Для определения п используем  . c n n 2 V n n 1 V    1    2 , откуда понятие средней дисперсии в диапазоне    2 : 1   n    1  1  2 .    n Тогда   n 1  c n n 2 1   2 1   .    1 2   Так  как  d    ,  d     c d n d ,     c 2 n dn  .  d то  u   1 dn    n d .           V Далее,  n V можно заменить конечными приращениями                   1,56.  1  2  0,925 , 2 u 0,952 , 1 2 6.5. Показатель преломления сероуглерода для  света, длина волны которого соответственно равна λ1 = 589  нм,   λ2 = 527 нм и λ3 = 656 нм, имеет следующие значения: п1 = 1,629, п2 = 1,642, n3 = 1,620.  Определите соотношение между средней фазовой   и средней групповой скоростью в интервалах длин волн λ1 — λ3 и λ1 — λ2. В каком из этих интервалов дисперсия больше?  Ответ  1 u 6.6. Коэффициент преломления  воды в  интервале длин волн от 546 до 589 нм меняется от 1,33447 до 1,33300. Определите среднюю фазовую и среднюю групповую скорости света для этого интервала длин волн.  6.7. Вычислите  групповую скорость для  различных  законов дисперсии,   если   фазовая    скорость:     a) vt = а\    б) v2 = b  в) v3 = ck2, где a, b, с — некоторые постоянные; k — волновое число.  Ответ   1 u 6.8. С какой скоростью по направлению к Земле должен лететь космический корабль, чтобы луч лазера, направленный с Земли на корабль (длина волны рубинового лазера λ0 = 694,3 нм), пока зался наблюдателю, находящемуся на корабле, зеленым (λ= 555 нм)? Ответ (аномальная дисперсия).  3 3  2 1 2 u 2   1 ,   , u 3  c   2  1  1 d 0    0   2  57 10  3 / . км с  . нм   2,11 V  , нм 2 3,11  При помощи приемника радиолокационной станции определяют  У к а з а н и е .    См. решение задачи 2 (§ 6). 6.9. Каково  доплеровское смещение  ∆λ, линии  водорода  Нз (λ = 486,1  нм)   при наблюдении вдоль пучка водородных канало­ вых лучей, имеющих среднюю скорость v = 1,3*108 см/с? Ответ V  1 6.10. скорость приближения самолета по частоте биений между частотой сигнала передатчика и частотой отраженных от самолета сигналов. На какой длине волны должен работать радиолокатор, чтобы приближающийся со скоростью v = 800 км/ч самолет дал частоту биений ∆v = 400 Гц?  Ответ    0 0,55 .см                  