Сложение и умножение Вероятностей
Сложение и умножение
Вероятностей Выполнила: ученица 9 А Ситнова В. Учитель: Дюпина Е.А.
СЛОЖЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Суммой событий
СЛОЖЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Суммой событий A и B (которые могут произойти в одном испытании) называется событие A+B, которое состоит в том, что происходит хотя бы одно из этих событий.
Пример:
Несовместные события:
Если при бросании одной игральной кости событие A - выпало 3 очка, а событие В - выпало чётное число очков, то событие A+B состоит в появлении либо 3, либо одного из четных чисел (2, 4 или 6). Здесь события A и В несовместные и событию А+В благоприятствуют 4 исхода.
Совместные события:
Если при бросании кости событие А - выпало 2
очка, а событие В - выпало чётное число очков, то
событие A+B совпадает с событием В, то есть ему
благоприятствуют исходы с появлением чётных
чисел (2, 4 или 6).
При одновременном бросании двух игральных костей событие
При одновременном бросании двух игральных костей событие А состоит в том, что сумма выпавших очков равна 3, а событие В - в том, что сумма выпавших очков равна 4. Тогда событие А+В состоит в том, что сумма выпавших очков равна либо 3, либо 4. В таком случае событие А+В наступит при появлении пар: 1 и 2; 2 и 1; 1 и 3; 3 и 1; 2 и 2; Событию А благоприятствуют 2 исхода, а событию В - 3 исхода, а общее число всевозможных исходов - 36 (6*6). Поэтому:
Событию А+В благоприятствуют 5 элементарных исходов, то есть:
Но:
ТЕОРЕМА: Вероятность суммы двух несовместимых событий
ТЕОРЕМА:
Вероятность суммы двух несовместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий
Р(А)+Р(В)=Р(А+В)
Для каждого события А можно рассматривать противоположное ему событие Ā, которое наступает тогда, когда не наступает событие
Для каждого события А можно рассматривать противоположное ему событие Ā, которое наступает тогда, когда не наступает событие А
Пример: Если событие А - попадание стрелком по мишени в результате 1 выстрела, то противоположное ему событие Ā - промах в результате 1 выстрела. Очевидно, что событие P(А+Ā)=1
По теореме: P(А+Ā)=P(А)+Р(Ā)=1, то есть
P(А)+Р(Ā)= .
ЗадачА Какова вероятность, что сумма очков, выпавши на двух игральных костях (в результате одного броска), будет не меньше 4? (≥4)
ЗадачА
Какова вероятность, что сумма очков, выпавши на двух игральных костях (в результате одного броска), будет не меньше 4? (≥4)
Пусть событие А - сумма выпавших очков на двух костях не меньше 4, тогда событие Ā - сумма выпавших очков меньше 4 (т. е. 2 или 3). Число всех возможных исходов - 36. Число пар очков благоприятствующих событию Ā, равно 3 (это пары 1 и 1; 1 и 2; 2 и 1). Таким образом,
Из формулы P(А)+Р(Ā)= . имеем:
УМНОЖЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Произведением событий
УМНОЖЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Произведением событий А и В (которые могут произойти во дном испытании) называется событие АВ, которое состоит в том, что происходят оба этих события.
Независимые события Существуют пары событий (которые могут произойти во одном испытании), наступлении или не наступление каждого из которых не влияет на вероятность наступления другого
Независимые события
Существуют пары событий (которые могут произойти во одном испытании), наступлении или не наступление каждого из которых не влияет на вероятность наступления другого. Например, в опыте с бросанием двух игральных костей появление определенного числа очков на одной кости не влияет на появление любого числа очков на другой кости. Такие события называют независимыми событиями.
Для них справедливо равенство:
P(AB)=Р(А)*Р(В)
Стрелок делает по мишени два выстрела
Стрелок делает по мишени два выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,8, а при втором - 0,9. Найти вероятность того, что стрелок: 1) оба раза попадет по мишени; 2)оба раза промахнется; 3)попадет в первый раз, во второй - промахнется; 4)попадет во второй раз, в первый - промахнется.
ЗАДАЧА
А - стрелок попал по мишени при первом выстреле, В - попал при втором выстреле P(А)=0,8, P(В)=0,9 Очевидно, что события А и В независимые.
С₁ - попал оба раза С₁=АВ Р(С₁)=Р(АВ)=Р(А)*Р(В)=0,8*0,9=0,72
С₂ - оба раза промахнулся С₂= ĀВ Р(С₂)=Р(ĀВ) Р(ĀВ)=Р(Ā)*Р(В)= (1-Р(А))*(1-Р(В))=(1-0,8)*(1-0,9)=0,2*0,1=0,02
С₃ - стрелок попал при первом выстреле и промахнулся при втором
3. С₃ - стрелок попал при первом выстреле и промахнулся при втором С₃ =Р(АВ)=Р(А)*Р(В)=0,8*0,1=0,08
4. С₄ - стрелок попал при втором выстреле и промахнулся при первом С₄=Р(ĀВ)=Р(Ā)*Р(В)=0,2*0,9=0,18
Ответ: 1)0,72 2)0,02 3)0,08 4)0,18
P(С₁)+P(С₂)+P(С₃)+P(С₄)=0,72+0,02+0,08+0,18=1
Сумма вероятностей всех элементарных
событий, которые могут
произойти в одном опыте, равна 1
Опыт состоит из трёх выстрелов по мишени, причем вероятность попадания по мишени в каждом выстреле равна 0,8
Опыт состоит из трёх выстрелов по мишени, причем вероятность попадания по мишени в каждом выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что мишень будет поражена хотя бы одним из выстрелов.
Задача*
А - мишень поражена хотя бы одним выстрелом Ā - мишень не поражена ни одним выстрелом.
B - попадание В - промах Р(В)=0,8, откуда Р(В)=1-Р(В)=1-0,8=0,2
Ā= ВВВ, Р(Ā)=Р(ВВВ)=Р(В)*Р(В)*Р(В)=(0,2)³=0,008, тогда Р(А)=1-Р(Ā)=1-0,008=0,992
относительная частота и закон больших чисел
относительная частота и закон больших чисел
Относительная частота Относительной частотой события
Относительная частота
Относительной частотой события А в данной серии испытаний называют отношения числа испытаний М, в которых это событие произошло, к числу всех проведенных испытаний N. При этом М называют частотой события А. Обозначается буквой W.
Во время тренировка по стрельбе по цели было сделано 30 выстрелов и зарегистрировано 26 попаданий
Во время тренировка по стрельбе по цели было сделано 30 выстрелов и зарегистрировано 26 попаданий. Какова относительная частота попадания по цели в данной серии выстрелов?
Задача
А - попадание по цели произошло в 26 случаях, то есть M=26 Общее число испытаний N=30
Статистическая вероятность Под статистической вероятностью понимают число, oколо которого колеблется относительная частота события при большом числе повторений
Статистическая вероятность
Под статистической вероятностью понимают число, oколо которого колеблется относительная частота события при большом числе повторений
Жорж Луи Леклерк де Бюффон
Карл Пирсон
ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ Можно считать достоверным тот факт, что при большом числе испытаний относительная частота
ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
Можно считать достоверным тот факт, что при большом числе испытаний относительная частота W(A) практически не отличается от его вероятности P(A), то есть Р(А)≈W(A) при большом числе испытаний.
Якоб Бернулли
Родильный дом некоторого города вёл по годам подсчёт рождения мальчиков и девочек
Родильный дом некоторого города вёл по годам подсчёт рождения мальчиков и девочек. Результаты заносились в таблицу. Найти относительную частоту рождения мальчик за рассматриваемый период.
Задача
Число родившихся мальчиков: М=823+665+769+798+811=3866
Число родившихся девочек: 802+629+714+756+783=3684
Общее число родившихся детей N=3866+3684=7550
Год | Число родившихся детей | ||
Девочки | Мальчики | ||
1998 | 802 | 823 | |
1999 | 629 | 665 | |
2000 | 714 | 769 | |
2001 | 756 | 798 | |
2002 | 783 | 811 | |
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.
