Сложение, умножение и деление чисел в различных системах счисления

Практическая работа №3

Тема: Сложение, умножение и деление чисел в различных системах счисления

Цель:

- закрепление знаний о способах выполнения арифметических операций в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления;

 - формирование практических навыков по выполнению арифметических операций в различных системах счисления.

Вид работы: индивидуальный

Время выполнения: 2 часа.

Теоретические сведения

Арифметические операции во всех позиционных системах счисления выполняются по одним и тем же правилам.

Сложение. Рассмотрим сложение в двоичной системе счисления. В его основе лежит таблица сложения одноразрядных двоичных чисел:

0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=10

При сложении двух единиц происходит перевыполнение разряда и производится перенос в старший разряд. Переполнение разряда наступает тогда, когда значение числа в нем становится равным или большим основания. Для двоичной системы счисления, это число равно двум. Сложение многоразрядных двоичных чисел происходит с учетом возможных переносов из младших разрядов в старшие.

Вычитание. Рассмотрим вычитание двоичных чисел. В его основе лежит таблица вычитания одноразрядных двоичных чисел. При вычитании из меньшего числа (0) большего (1) производится заем из старшего разряда. Вычитание многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с таблицей вычитания с учетом возможных займов в старших разрядах.

0-0=0

0-1=10 (с займом)

1-0=1

1-1=0

Умножение. В основе умножения лежит таблица умножения одноразрядных двоичных чисел.

Деление. Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления.

Арифметические операции в восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления. Аналогично, можно выполнить арифметические действия в восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления. Необходимо только понять, что перенос в следующий разряд при сложении и заем из старшего разряда при вычитании определяется величиной основания системы счисления. Для проведения арифметических операций над числами, представленными в различных системах счисления, необходимо предварительно перевести их в одну систему.

Ход работы

Пример 1. Сложим двоичные числа 110₂ и 11₂. При сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд. Переполнение разряда наступает тогда, когда значение числа в нем становится равным или больше основания. Для двоичной системы счисления, это число равно двум.

Пример 2. В качестве примера произведем вычитание двоичных чисел 110₂ и 11₂. При Вычитании из меньшего числа (0) большего (1) производится заем из старшего разряда.

Пример 3. При выполнении арифметических действий в других системах счисления необходимо помнить, что перенос в следующий разряд при сложении при сложении и заем из старшего разряда при вычитании определяется величиной основания системы счисления. Вычитание многоразрядных двоичных чисел происходит с учетом возможных займов старших разрядах. Сложение многоразрядных двоичных чисел происходит с учетом возможных переносов из младших разрядов в старшие.

Умножение в восьмеричной                            Сложение в восьмеричной

системе счисления                                                  системе счисления

Сложение в шестнадцатеричной системе счисления

Умножение в шестнадцатеричной системе счисления

Пример 4. Выполните умножение двоичных чисел 110₂ и 11₂. Умножение многоразрядных двоичных чисел происходит по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя.

Пример 5. Выполните деление двоичных чисел 101000101₂ и 1101_2. Для деления в двоичной системе счисления нужно уметь сравнивать числа (определять, какое больше) и хорошо вычитать.

Пример 6. Выполните деление двоичных чисел 1001₂ и 11₂ с точностью до 3 знаков после запятой.

Задания к практической работе

Задание 1. Сложите числа:

1)    а)11111001101₂+1111111₂;          б) 56037₈+55572₈;

2)    а)101010111₂+111110₂;              б) 5BE1₁₆+70EF3₁₆;

3)    а)111,1101₂+101,0011₂;               б) 536,241₈+5673,66₈;

4)    а)111,0101011₂+101011,1111₂;    б) EB,5A₁₆+7C,B74₁₆;

5)    а) 110111,011+1110,10111;         б) 1FC₁₆ + 1D1₁₆;

6)    а) 110111,011+10111,001;           б) A,B₁₆ + E,F₁₆;

7)    а) 1111001,11001+1011101,11;   б) 165₈ + 37₈;

8)    а) 1110001,001+10001,11001;     б) F9E₁₆ + 2А30₁₆.

Задание 2. Выполните вычитание:

1)    а) 111₂ - 10100₂;                          б) 15₈ - 20₈;

2)    а) 10,11₂ - 100,1₂;                        б) 201,25₁₀ - 59,75₁₀;

3)    а) 111,1₂ – 10010₂;                       б) ABC₁₆ – 5678₁₆;

4)    а) 10001₂ – 1110,11₂;                  б) F9E₁₆ – 2A30₁₆;

5)    а) 10101₂ - 11₂;                            б) 7631₈ – 456₈;

6)    а) 101111101101₂ - 01111001₂;    б) BEDA₁₆ – ВАС₁₆;

7)    а) 111111101010₂ – 01110101₂;   б) 7325₈ – 346₈;

8)    а) 11110101,0111₂ – 1010,0011₂; б) FA9C₁₆ – B7A₁₆.

Задание 3. Выполните умножение:

1)    а) 100111₂* 1000111₂;                 б) 1170,64₈ * 46,3₈;

2)    а) 61,A₁₆ * 40,D₁₆;                       б) 100001₂*1001010₂;

3)    а) 1723,2₈*15,2₈;                         б) 54,3₁₆*9,6₁₆;

4)    а) 1011010₂*1000010₂;                б) 632,2₈*141,34₈;

5)    а) 2A,7₁₆*18,8₁₆;                          б) 1011100₂*1100100₂;

6)    а) 347,2₈*125,64₈;                       б) 10,A8₁₆*35,4₁₆;

7)    а) 1101100₂*1010011₂;                б) 516,54₈*44,64₈;

8)    а) 61,8₁₆*48,9₁₆;                           б) 1000000₂*110110₂.

Задание 4. Выполните деление:

1)    а) 110011000₂:10001₂;                 б) 2410₈:27₈;

2)    а) D4A₁₆:1B₁₆;                             б) 10010100100₂:1100₂;

3)    а) 2760₈:23₈;                               б) 4AC₁₆:17₁₆;

4)    а) 111010110₂:1010₂;                  б) 4120₈:23₈;

5)    а) 4F8₁₆:18₁₆;                               б) 1000101000₂:1100₂;

6)    а) 5101₈:31₈;                               б) D7A₁₆:1E₁₆;

7)    а) 11000100000₂:10000₂;             б) 3074₈:25₈;

8)    6D5₁₆:21₁₆;                                  б) 10001110011₂:10001₂.

Контрольные вопросы и задания

1.     Дать определение системы счисления. Назвать и охарактеризовать свойства системы счисления.

2.     Что называется основанием системы счисления?

3.     Чему равны веса разрядов слева от точки, разделяющей целую и дробную часть, в двоичной системе счисления (восьмеричной, шестнадцатеричной)?

4.     Чему равны веса разрядов справа от точки, разделяющей целую и дробную часть, в двоичной системе счисления (восьмеричной, шестнадцатеричной)?

5.     Расскажите об алгоритме выполнения сложения в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

6.     Расскажите об алгоритме выполнения вычитания в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

7.     Переведите числа из десятичной системы счисления в другие (двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную) и выполнить арифметические операции (сложение, вычитание и умножение в указанных системах счисления): 247₁₀, 123₁₀.

8.